電路第六章一階電路

6.1一階電路的零輸入響應(yīng)6.2恒定電源作用下一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)6.3恒定電源作用下一階電路的全響應(yīng)和疊加定理6.4復(fù)雜一階電路的分析方法6.5階躍函數(shù)和階躍響應(yīng)第六章一階電路分析1.一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)求解；重點(diǎn)

3.一階電路的階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)。2.穩(wěn)態(tài)分量、暫態(tài)分量求解；6.1一階電路的零輸入響應(yīng)換路后外加激勵(lì)為零，僅由動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能產(chǎn)生的電壓和電流。1.RC電路的零輸入響應(yīng)已知

uC

(0－)=U0

uR=Ri零輸入響應(yīng)iS(t=0)+–uRC+–uCR特征根特征方程RCp+1=0則代入初始值

uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0iS(t=0)+–uRC+–uCR或tU0uC0I0ti0令

=RC,稱為一階電路的時(shí)間常數(shù)電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；連續(xù)函數(shù)躍變響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與RC有關(guān);表明時(shí)間常數(shù)的大小反映了電路過渡過程時(shí)間的長短

=RC

大→過渡過程時(shí)間長小→過渡過程時(shí)間短電壓初值一定：R大（C一定）i=u/R

放電電流小放電時(shí)間長U0tuc0小大C大（R一定）W=Cu2/2

儲(chǔ)能大物理含義a.:電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時(shí)間。工程上認(rèn)為,經(jīng)過3－5

,

過渡過程結(jié)束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

注意＝

t2－t1

t1時(shí)刻曲線的斜率等于ucU0t0t1t2次切距的長度b.時(shí)間常數(shù)的幾何意義：能量關(guān)系電容不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢.設(shè)

uC(0+)=U0電容放出能量：電阻吸收（消耗）能量：uCR+－C例1圖示電路中的電容原充有24V電壓，求k閉合后，電容電壓和各支路電流隨時(shí)間變化的規(guī)律。解這是一個(gè)求一階RC零輸入響應(yīng)問題，有：+uC45F－i1t>0等效電路i3S3+uC265F－i2i1+uC45F－i1分流得：i3S3+uC265F－i2i12.

RL電路的零輸入響應(yīng)特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值A(chǔ)=iL(0+)=I0t>0iLS(t=0)USL+–uLRR1+-iL+–uLRtI0iL0連續(xù)函數(shù)躍變電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；表明-RI0uLt0iL+–uLR響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與L/R有關(guān);令

稱為一階RL電路時(shí)間常數(shù)

=L/R時(shí)間常數(shù)

的大小反映了電路過渡過程時(shí)間的長短L大

W=LiL2/2

起始能量大R小

P=Ri2

放電過程消耗能量小放電慢，

大大→過渡過程時(shí)間長小→過渡過程時(shí)間短物理含義電流初值iL(0)一定：能量關(guān)系電感不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢。設(shè)

iL(0+)=I0電感放出能量：電阻吸收（消耗）能量：iL+–uLRiL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V

造成V損壞。例1t=0時(shí),打開開關(guān)S，求uv。電壓表量程：50V解iLS(t=0)+–uVL=4HR=10VRV10k10ViLLR10V+-例2t=0時(shí),開關(guān)S由1→2，求電感電壓和電流及開關(guān)兩端電壓u12。解i+–uL66Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3446+－uL212i+–uL66Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3446+－uL212一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件的初值引起的響應(yīng),都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC電路RL電路小結(jié)一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比，稱為零輸入線性。衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù)同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)。小結(jié)

=RC

=L/RR為與動(dòng)態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。RC電路RL電路動(dòng)態(tài)元件初始能量為零，由t>0電路中外加激勵(lì)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)。方程：6.2恒定電源作用下一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)解答形式為：1.RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)非齊次方程特解齊次方程通解iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=0+–非齊次線性常微分方程與輸入激勵(lì)的變化規(guī)律有關(guān)，為電路的穩(wěn)態(tài)解變化規(guī)律由電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定的通解通解（自由分量，暫態(tài)分量）特解（強(qiáng)制分量）的特解全解uC(0+)=A+US=0

A=－US由初始條件uC(0+)=0

定積分常數(shù)A從以上式子可以得出：-USuC‘uC“USti0tuC0電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩部分構(gòu)成：連續(xù)函數(shù)躍變穩(wěn)態(tài)分量（強(qiáng)制分量）暫態(tài)分量（自由分量）表明+響應(yīng)變化的快慢，由時(shí)間常數(shù)＝RC決定；大，充電慢，小充電就快。響應(yīng)與外加激勵(lì)成線性關(guān)系；能量關(guān)系電容儲(chǔ)存能量：電源提供能量：電阻消耗能量：電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉(zhuǎn)換成電場能量儲(chǔ)存在電容中。表明RC+-US例t=0時(shí),開關(guān)S閉合，已知

uC(0－)=0，求(1)電容的電壓和電流,(2)uC＝80V時(shí)的充電時(shí)間t

。解(1)這是一個(gè)RC電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，有：(2)設(shè)經(jīng)過t1秒，uC＝80V50010F+-100VS+－uCi2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)已知iL(0－)=0，電路方程為：tiL0iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—uLUSt0iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—例1t=0時(shí),開關(guān)S打開，求t>0后iL、uL的變化規(guī)律。解這是RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，先化簡電路，有：t>0iLS+–uL2HR8010A200300iL+–uL2H10AReq例2t=0開關(guān)k打開，求t>0后iL、uL及電流源的電壓。解這是RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，先化簡電路，有：iL+–uL2HUoReq+－t>0iLK+–uL2H102A105+–u+6.3恒定電源作用下一階電路的全響應(yīng)和疊加定理電路的初始狀態(tài)不為零，同時(shí)又有外加激勵(lì)源作用時(shí)電路中產(chǎn)生的響應(yīng)。以RC電路為例，電路微分方程：1.全響應(yīng)全響應(yīng)iS(t=0)US+–uRC+–uCR解答為：

uC(t)=uC'+uC"特解

uC'=US通解=RCuC

(0－)=U0uC

(0+)=A+US=U0

A=U0

-US由初始值定A強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)2.全響應(yīng)的兩種分解方式uC"-USU0暫態(tài)解uC'US穩(wěn)態(tài)解U0uc全解tuc0全響應(yīng)=

強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)著眼于電路的兩種工作狀態(tài)物理概念清晰全響應(yīng)=

零狀態(tài)響應(yīng)+

零輸入響應(yīng)著眼于因果關(guān)系便于疊加計(jì)算零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0+S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0S(t=0)USC+–RuC(0－)=0零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)tuc0US零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)零輸入響應(yīng)U0*線性動(dòng)態(tài)電路的疊加定理：*一階電路的零輸入響應(yīng)與原始狀態(tài)成正比。*單電源電路的零狀態(tài)響應(yīng)與該電源成正比。*全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。*若電路中含有多個(gè)獨(dú)立電源和多個(gè)儲(chǔ)能元件，則電路中任一電流或電壓響應(yīng)等于各獨(dú)立源以及各儲(chǔ)能元件原始狀態(tài)單獨(dú)作用時(shí)該響應(yīng)的疊加。例1t=0時(shí),開關(guān)k打開，求t>0后的iL、uL。解這是RL電路全響應(yīng)問題，有：零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：全響應(yīng)：iLS(t=0)+–24V0.6H4+－uL8或求出穩(wěn)態(tài)分量：全響應(yīng)：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0時(shí),開關(guān)K閉合，求t>0后的iC、uC及電流源兩端的電壓。解這是RC電路全響應(yīng)問題，有：穩(wěn)態(tài)分量：+–10V1A1+－uC1+－u1全響應(yīng)：+–10V1A1+－uC1+－u13.三要素法分析一階電路一階電路的數(shù)學(xué)模型是一階線性微分方程：令

t=0+其解答一般形式為：特解分析一階電路問題轉(zhuǎn)為求解電路的三個(gè)要素的問題。用0+等效電路求解用t→的穩(wěn)態(tài)電路求解直流激勵(lì)時(shí)：A注意例1已知：t=0時(shí)合開關(guān)，求換路后的uC(t)解tuc2(V)0.66701A213F+-uC例2t=0時(shí),開關(guān)閉合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素為：iL+–20V0.5H55+–10Vi2i1三要素公式三要素為：0＋等效電路+–20V2A55+–10Vi2i1例3已知：t=0時(shí)開關(guān)由1→2，求換路后的uC(t)解三要素為：4+－4i12i1u+－2A410.1F+uC－+－4i12i18V+－12例4已知：t=0時(shí)開關(guān)閉合，求換路后的電流i(t)

。+–1H0.25F52S10Vi解三要素為：+–1H0.25F52S10Vi已知：電感無初始儲(chǔ)能t=0

時(shí)合S1

,t=0.2s時(shí)合S2，求兩次換路后的電感電流i(t)。0<t<0.2s解例5i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)32-t>0.2si10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)32-(0<t

0.2s)(t

0.2s)it(s)0.25(A)1.26206.5階躍函數(shù)和階躍響應(yīng)6.5.1階躍函數(shù)6.5.2階躍響應(yīng)6.5.1階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)延時(shí)單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)的起始作用利用階躍函數(shù)可將分段函數(shù)用一個(gè)式子表示若則階躍函數(shù)可表示接入恒定電源的換路情況例如右圖波形可表為6.5.2階躍響應(yīng)電路對單位階躍電源的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，用s(t)

表示。一階電路的階躍響應(yīng)可用三要素法求解。例：求圖示電路的單位階躍響應(yīng)i(t)。解：6.8例題例1：電路如圖一所示，已知uC(0)=-2V，求uC(t)及uR(t)，解：從電容元件兩端看進(jìn)去的戴維南等效電阻-uR+圖一1Ω1.5Ωi(t)uc

(t)iR(t)uR+-圖二用電壓為uC(t)的電壓源置換電容，如圖二例2:如圖所示電路中，已知當(dāng)時(shí)，