第4章+導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法

第四章

熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值解法1、重點(diǎn)內(nèi)容：

①掌握導(dǎo)熱問題數(shù)值解法的基本思路；②利用熱平衡法和泰勒級(jí)數(shù)展開法建立節(jié)點(diǎn)的離散方程。2、掌握內(nèi)容：數(shù)值解法的實(shí)質(zhì)。求解導(dǎo)熱問題的三種基本方法：(1)實(shí)驗(yàn)法;(2)理論分析法；(3)數(shù)值計(jì)算法三種方法的特點(diǎn)實(shí)驗(yàn)法:是傳熱學(xué)的基本研究方法。a適應(yīng)性不好；b費(fèi)用昂貴分析法:

a能獲得所研究問題的精確解，可以為實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算提供比較依據(jù)；b局限性很大，對(duì)復(fù)雜的問題無法求解；c分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見

數(shù)值計(jì)算法有效解決復(fù)雜問題的方法；是具有一定精度的近似方法。在很大程度上彌補(bǔ)了分析法的缺點(diǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)，特別對(duì)于復(fù)雜問題更顯其優(yōu)越性；與實(shí)驗(yàn)法相比成本低。數(shù)值解法：有限差分法（finite-difference）有限元法（finite-lement）邊界元法（boundary-element）分子動(dòng)力學(xué)模擬（MD）

分析解法與數(shù)值解法的異同點(diǎn)：

?

相同點(diǎn)：根本目的是相同的，即確定：①t=f(x,y,z)；②熱流量。?

不同點(diǎn)：數(shù)值解法求解的是區(qū)域或時(shí)間空間坐標(biāo)系中離散點(diǎn)的溫度分布代替連續(xù)的溫度場(chǎng)；分析解法求解的是連續(xù)的溫度場(chǎng)的分布特征，而不是分散點(diǎn)的數(shù)值。

對(duì)物理問題進(jìn)行數(shù)值解法的基本思路可以概括為：把原來在時(shí)間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量的場(chǎng)，如導(dǎo)熱物體的溫度場(chǎng)等，用有限個(gè)離散點(diǎn)上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，來獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值，該方法稱為數(shù)值解法。

這些離散點(diǎn)上被求物理量值的集合稱為該物理量的數(shù)值解。4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想4.1.1基本思想建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場(chǎng)的迭代初值求解代數(shù)方程是否收斂解的分析改進(jìn)初場(chǎng)是否4.1.2物理問題的數(shù)值求解過程二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問題2例題條件（a）（1）建立控制方程及定解條件

控制方程（即導(dǎo)熱微分方程）

二維矩形域內(nèi)無內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)熱問題采用數(shù)值解法的步驟：（2）區(qū)域離散化（確立節(jié)點(diǎn)）

用一系列與坐標(biāo)軸平行的網(wǎng)格線把求解區(qū)域劃分成若干個(gè)子區(qū)域，用網(wǎng)格線的交點(diǎn)作為需要確定溫度值的空間位置，稱為節(jié)點(diǎn)(結(jié)點(diǎn))，節(jié)點(diǎn)的位置用該節(jié)點(diǎn)在兩個(gè)方向上的標(biāo)號(hào)m，n表示。

相鄰兩節(jié)點(diǎn)間的距離稱步長(zhǎng)。xynm(m,n)MN（b）xynm(m,n)MN基本概念：網(wǎng)格線、節(jié)點(diǎn)、界面線、步長(zhǎng)、控制容積二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問題

（3）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程（離散方程）

節(jié)點(diǎn)上物理量的代數(shù)方程稱離散方程。?

首先劃分各節(jié)點(diǎn)的類型；?

其次，建立節(jié)點(diǎn)離散方程；?

最后，代數(shù)方程組的形成。

對(duì)節(jié)點(diǎn)(m,n)的代數(shù)方程，當(dāng)△x=△y時(shí)，有：（4）設(shè)立迭代初場(chǎng)

代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳熱問題的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解時(shí)，需對(duì)被求的溫度場(chǎng)預(yù)先設(shè)定一個(gè)解，這個(gè)解稱為初場(chǎng)，并在求解過程中不斷改進(jìn)。

（5）求解代數(shù)方程組

本例中除m=1的左邊界上各節(jié)點(diǎn)的溫度已知外，其余(M-1)N個(gè)節(jié)點(diǎn)均需建立離散方程，共有(M-1)N個(gè)方程，則構(gòu)成一個(gè)封閉的代數(shù)方程組。xynm(m,n)MN

求解時(shí)遇到的問題：

①線性；②非線性；③收斂性等。

2）非線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)求解過程中不斷更新。3）是否收斂判斷：是指用迭代法求解代數(shù)方程是否收斂，即本次迭代計(jì)算所得之解與上一次迭代計(jì)算所得之解的偏差是否小于允許值。

1）線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)系數(shù)在整個(gè)求解過程中不再變化；（6）解的分析

通過求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫度場(chǎng)應(yīng)進(jìn)一步計(jì)算通過的熱流量，熱應(yīng)力及熱變形等。因此，對(duì)于數(shù)值分析計(jì)算所得的溫度場(chǎng)及其它物理量應(yīng)作詳細(xì)分析，以獲得定性或定量上的結(jié)論。4.2內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法(1)Taylor（泰勒）級(jí)數(shù)展開法；(2)控制容積平衡法(熱平衡法)4.2.1泰勒級(jí)數(shù)展開法用節(jié)點(diǎn)(m,n)的溫度tm,n來表示節(jié)點(diǎn)(m-1,n)的溫度tm-1,n根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)展開式，用節(jié)點(diǎn)(m,n)的溫度tm,n來表示節(jié)點(diǎn)(m+1,n)的溫度tm+1,n將上兩式相加可得將上式改寫成的表達(dá)式，有同樣可得：表示未明確寫出的級(jí)數(shù)余項(xiàng)中的ΔX的最低階數(shù)為2

根據(jù)導(dǎo)熱問題的控制方程(導(dǎo)熱微分方程)若△x=△y則有

得一階基本思想：對(duì)每個(gè)有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場(chǎng)的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。能量守恒：流入控制體的總熱流量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝流出控制體的總熱流量＋控制體內(nèi)能的增量4.2.2控制容積平衡法(熱平衡法)

從所有方向流入控制體的凈熱流量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝控制體內(nèi)能的增量注意：上面的公式對(duì)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)均適用穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源時(shí)：從所有方向流入控制體的總熱流量＝0從節(jié)點(diǎn)通過界面?zhèn)鲗?dǎo)到節(jié)點(diǎn)(m,n)的熱流量：對(duì)元體(m,n).根據(jù)能量守恒定律可知：

+++=0穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源時(shí)：從所有方向流入控制體的總熱流量＝0說明：①上述分析與推導(dǎo)在笛卡兒坐標(biāo)系中進(jìn)行的；②熱平衡法概念清晰，過程簡(jiǎn)捷；③熱平衡法與建立微分方程的思路與過程一致，但不同的是前者是有限大小的元體，后者是微元體。

4.3邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解

對(duì)于第一類邊界條件的熱傳導(dǎo)問題，處理比較簡(jiǎn)單，因?yàn)橐阎吔绲臏囟?，可將其以?shù)值的形式加入到內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。對(duì)于第二類或第三類邊界條件的導(dǎo)熱問題，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程組成的代數(shù)方程組是不封閉的，因未知邊界溫度，因此應(yīng)對(duì)邊界上的節(jié)點(diǎn)補(bǔ)充相應(yīng)的代數(shù)方程，才能使方程組封閉，以便求解。為了求解方便，將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達(dá)式。為使結(jié)果更具一般性，假設(shè)物體具有內(nèi)熱源Φ(不必均勻分布)。xyqw邊界節(jié)點(diǎn)(m,n)只代表半個(gè)元體，若邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為qw，據(jù)能量守恒定律：

4.3.1邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立(1)平直邊界上的節(jié)點(diǎn)(2)外部角點(diǎn)如圖所示，二維墻角計(jì)算區(qū)域中，該節(jié)點(diǎn)外角點(diǎn)僅代表1/4個(gè)以為邊長(zhǎng)的元體。假設(shè)邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為，則據(jù)能量守恒定律得其熱平衡式為：

(3)內(nèi)部角點(diǎn)內(nèi)部角點(diǎn)代表了3/4個(gè)元體，在同樣的假設(shè)條件下xyqw討論關(guān)于邊界熱流密度的三種情況：

（1）絕熱邊界即令上式即可。

（2）值不為零（3）對(duì)流邊界此時(shí)，將此表達(dá)式代入上述方程，并將此項(xiàng)中的與等號(hào)前的合并。對(duì)于的情形有：流入元體，取正，流出元體，取負(fù)（a）平直邊界（b）外部角點(diǎn)（c）內(nèi)部角點(diǎn)4.3.2處理不規(guī)則區(qū)域的階梯型逼進(jìn)法當(dāng)計(jì)算區(qū)域出現(xiàn)曲線邊界或傾斜邊界時(shí)，常常采用階梯形的折線來模擬真實(shí)邊界，然后用上述方法建立邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程。4.3.3代數(shù)方程的求解方法

2）迭代法：先對(duì)要計(jì)算的場(chǎng)作出假設(shè)（設(shè)定初場(chǎng)），在迭代計(jì)算中不斷予以改進(jìn)，直到計(jì)算前的假定值與計(jì)算結(jié)果相差小于允許值為止的方法，稱迭代計(jì)算收斂。1）直接解法：通過有限次運(yùn)算獲得精確解的方法，如：矩陣求解，高斯消元法。

2迭代法目前應(yīng)用較多的是：

1）雅可比迭代法（簡(jiǎn)單迭代）：每次迭代計(jì)算，均用上一次迭代計(jì)算出的值。2）高斯——賽德爾迭代法：每次迭代計(jì)算，均是使用節(jié)點(diǎn)溫度的最新值。

設(shè)有一三元方程組：

其中（i=1,2,3；j=1,2,3）及是已知的系數(shù)（均不為零）及常數(shù)。采用高斯——賽德爾迭代法的步驟：

（1）將三元方程變形為迭式方程：

（2）假設(shè)一組解（迭代初場(chǎng)），記為：并代入迭代方程求得第一次解每次計(jì)算均用最新值代入。

（3）以新的初場(chǎng)重復(fù)計(jì)算，直到相鄰兩次迭代值之差小于允許值，則稱迭代收斂，計(jì)算終止。判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：k及k+1表示迭代次數(shù)；—第k次迭代得到的最大值當(dāng)有接近于零的t時(shí)，第三個(gè)較好在計(jì)算后面的節(jié)點(diǎn)溫度時(shí)應(yīng)按下式（采用最新值）例如：根據(jù)第k次迭代的數(shù)值可以求得節(jié)點(diǎn)溫度：迭代能否收斂的判據(jù)

1）對(duì)于一個(gè)代數(shù)方程組，若選用的迭代方式不合適，有可能導(dǎo)致發(fā)散，即稱迭代過程發(fā)散；

2）對(duì)于常物性導(dǎo)熱問題，組成的差分方程組，迭代公式的選擇應(yīng)使一個(gè)迭代變量的系數(shù)總是大于或等于該式中其他變量系數(shù)絕對(duì)值的代數(shù)和，此時(shí)，結(jié)果一定收斂。判斷迭代能否收斂的判據(jù)：對(duì)于常物性導(dǎo)熱問題所組成的差分方程組，迭代公式的選擇應(yīng)使每一個(gè)迭代變量的系數(shù)總是大于或等于該式中其他變量系數(shù)絕對(duì)值之和，此時(shí)用迭代法求解代數(shù)方程一定收斂——對(duì)角占優(yōu)。對(duì)角占優(yōu)判斷迭代收斂的判據(jù)3）采用熱平衡法導(dǎo)出差分方程時(shí)，若每一個(gè)方程都選用導(dǎo)出該方程中心節(jié)點(diǎn)的溫度作為迭代變量，則上述條件必滿足，迭代一定收斂。

這一條件數(shù)學(xué)上稱主對(duì)角線占優(yōu)（對(duì)角占優(yōu)）；

非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)（擴(kuò)散項(xiàng)）源項(xiàng)由于非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的存在，除了對(duì)空間坐標(biāo)離散外，還需要對(duì)時(shí)間坐標(biāo)進(jìn)行離散。穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散項(xiàng)的離散格式：中心差分格式非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式：向前差分格式、向后差分格式、中心差分格式§4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法tfhtfhxt0平板加熱問題第三類邊界條件一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程及定解條件：邊界條件初始條件向前差分格式向后差分格式中心差分格式非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：泰勒級(jí)數(shù)展開法Δx為空間步長(zhǎng)Δτ為時(shí)間步長(zhǎng)偏微分方程離散化代數(shù)方程非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)向前差分?jǐn)U散項(xiàng)中心差分點(diǎn)（n,i）非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法從所有方向流入控制體的總熱量＝控制體內(nèi)能的增量?jī)?nèi)節(jié)點(diǎn)n非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法左邊對(duì)稱絕熱邊界顯示格式存在穩(wěn)定性問題：如果節(jié)點(diǎn)tn(i)

前面的系數(shù)小于零，則數(shù)值解出現(xiàn)不穩(wěn)定的震蕩結(jié)果。顯示格式2顯示格式：格式右邊全部為第i時(shí)間層的溫度值，只要i時(shí)間層溫度已知，即可計(jì)算得到i+1時(shí)間層的溫度。非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱節(jié)點(diǎn)離散方程的兩種格式：即：空間步長(zhǎng)?x和時(shí)間步長(zhǎng)?τ的選取有限制顯示格式的穩(wěn)定性條件：隱式格式非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱節(jié)點(diǎn)離散方程的兩種格式：隱式格式：空間離散采用（i+1）時(shí)層的值。隱式格式不存在穩(wěn)定性問題，對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)沒有限制，但是計(jì)算量較大。非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法右邊第三類邊界穩(wěn)定性條件：內(nèi)節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)定性條件：所以，邊界節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)定性條件比內(nèi)節(jié)點(diǎn)的要苛刻內(nèi)節(jié)點(diǎn)2例題4-6無限大平板的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題數(shù)值計(jì)算導(dǎo)熱問題的數(shù)值計(jì)算上機(jī)實(shí)踐導(dǎo)熱問題的數(shù)值計(jì)算上機(jī)實(shí)踐導(dǎo)熱問題的數(shù)值計(jì)算上機(jī)實(shí)踐計(jì)算傳熱學(xué)商業(yè)軟件簡(jiǎn)介

（CFD/NHT）前處理：生成網(wǎng)格（區(qū)域離散）2.求解器：建立離散方程，求解方程組3.后處理：將數(shù)字形式的計(jì)算結(jié)果用圖形顯示一般構(gòu)成：控制容積法PHOENICS、FLUENT、CFX、STAR-CD等TECPLOT、ORIGIN等GAMBIT、ICEMCFD、GRIDGEN、Tgrid等四邊形網(wǎng)格降落傘的零厚度壁面模擬網(wǎng)格生成質(zhì)量對(duì)計(jì)算精度與