第三章矩陣的初等變換與線性方程組

第三章初等矩陣與

線性方程組§3-1矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換的定義(一)初等行(列)變換設則以下三種變換稱為矩陣A的初等行(列)變換(1)交換A的兩行(列)(對調兩行記作,對調兩列記作)(2)用一個非零常數(shù)k乘以A的某一行(列)(用非零常數(shù)k乘以矩陣的第i行(列))(3)用一個數(shù)乘以A的某一行(列)的各元素后再加到A的另一行(列)對應的元素上去(二)初等變換：矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換。(三)、初等變換的逆變換三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換。1、的逆變換就是其本身2、的逆變換為3、變換的逆變換為二、矩陣的等價關系(一)定義：1、如果矩陣A經有限次初等行變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B行等價，記作2、如果矩陣A經有限次初等列變換變成矩陣B，則稱矩陣A與B列等價,記作3、如果矩陣A經有限次初等變換變成矩陣B，則稱矩陣A與B等價，記作(二)矩陣的等價關系的性質1、反身性2、對稱性：若則3、傳遞性：若

則三、矩陣的幾種特殊類型(一)行階梯形矩陣特點:1.矩陣的所有元素全為0的行(如果存在的話),都集中在矩陣的最下面.2.每行左起第一個非零元素(稱為首非零元)的下方元素全為0.(即可以在該矩陣中畫出一條階梯線,線的下方全為零,每個階梯只有一行,階梯數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線(每段豎線的長度為一行)后面的第一個元素即為首非零元.)(二)行最簡形矩陣特點：行階梯形矩陣非零行首非零元為1，且這些首非零元所在的列的其它元素都為0。(對任何矩陣,總可以經過有限次初等行變換把它變成行階梯形矩陣和行最簡形矩陣)(三)矩陣A的等價標準形矩陣特點:矩陣A的等價標準形矩陣的左上角是一個單位矩陣,其余元素全為零,對于矩陣A,總可經過初等變換(行變換和列變換)把它化為等價標準形其中是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)。例1、設,把化成行最簡形。四、初等矩陣(一)定義：對單位矩陣E施行一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。(二)初等矩陣的類型1、將單位矩陣兩行(列)對換得到的矩陣,記作2、以數(shù)乘單位矩陣E的第i行(列)得到的矩陣，記作

3、將單位矩陣E第j行的k倍加到第i行(或第i列的k倍加到第j列)得到的矩陣稱為初等消去矩陣，記作(三)初等矩陣的性質1、初等矩陣的轉置矩陣仍為初等矩陣

2、初等矩陣均為可逆矩陣,并且其逆矩陣仍為同類型的初等矩陣

(四)初等矩陣在矩陣乘積中的作用1.用m階初等矩陣左乘矩陣得：

相當于把矩陣的第行與第行對調,類似地,以n階初等矩陣右乘矩陣其結果相當于把的第列第列對調.2.以m階初等矩陣左乘矩陣其結果相當于以數(shù)乘的第,以右乘矩陣,其結果相當于以數(shù)的3、以左乘矩陣,其結果相當于把A的第j行乘k加到第i行上

,以右乘矩陣其結果相當于把的第i列乘k加到

第j列上

例2、設矩陣求五、定理及推論（一）定理1:用初等矩陣左乘A,相當于對A施行相應的初等行變換,用初等矩陣右乘A,相當于對A施行相應的初等列變換。（二）定理2

若方陣A可逆,A可以經過有限次的初等行變換(初等列變換),化為單位矩陣E,即(三)推論:可逆矩陣A可表示為有限個初等矩陣的乘積。六、初等變換的應用（一）求可逆矩陣A的逆矩陣例3、設，

求(二)的求法1、對于n階矩陣A和矩陣B,則A可逆,且2、對于n階矩陣A和矩陣C,則A可逆,且3、對于n階矩陣A和矩陣C,則A可逆,且例4、求矩陣X,使其中

例5、解矩陣方程,其中例6、設

找出相應的初等矩陣

例7、求可逆矩陣的逆矩陣。例8、若可逆矩陣A作下列變化,則

相應地有怎樣的變化例9、求滿足關系式

的矩陣A,其中

§3-2矩陣的秩

一、矩陣的秩的概念(一)矩陣A的一個階子式在矩陣A中,任取列位于這些行、列交叉處的個元素,不改變它們在A中所處的位置次序而得的階行列式,稱為矩陣A的階子式.矩陣A的階子式共有個(二)最高階非零子式，矩陣的秩

如果矩陣A中有一個子式,而所有階子式(如果存在的話)的值全等于0，則稱為矩陣A的一個最高階非零子式,其階數(shù)稱為矩陣A的秩,記作.例1、求矩陣A和B的秩其中(三)行滿秩矩陣,列滿秩矩陣,滿秩矩陣

設A為矩陣,當時.稱A為行滿秩矩陣,當時,稱A為列滿秩矩陣。

若A為n階矩陣,且，則稱A為滿秩矩陣,否則稱降秩矩陣二、矩陣的秩的性質1.若矩陣A中有一個S階非零子式，2.若矩陣A中所有t階子式全為0，3.若A為矩陣,5.n階可逆矩陣A的秩等于階數(shù),即當時,,所以可逆矩陣又稱滿秩矩陣,不可逆矩陣又稱降秩矩陣。6.行階梯形矩陣,非零行的行數(shù)等于矩陣的秩。三、用初等變換求矩陣的秩(一)定理1:若A與B是同型矩陣,A與B等價的充分必要條件是(二)推論:設有可逆矩陣P,Q,使PAQ=B

則例2、設求R(A)，并求A的一個最高階非零子式。(三)定理2設有任意矩陣A,B,則特別地,當B=b為列向量時,有例3、設已知,求的值例4、設A為n階矩陣,證明

例5、求矩陣

的秩.例6、設求例7、設B是秩為1的3×5矩陣,問矩陣的秩為多少.例8、設A為5×3矩陣(2)齊次線性方程組(A)無解;(B)有唯一解;(C)有無窮多組解;(D)解不能確定,可能有解;可能無解.例9.以下命題正確的是()且說明理由(1)對任何矩陣A，均有;(2)A,B,C,D均為n階方陣,若

(3)A,B為階方陣,則

(4)A,B均為可逆矩陣,則AXB=C有唯一解例10、已知A為3階方陣,例11、設A是n階可逆方陣,將A的第i行和第j行互換后得到的矩陣記為B(1)證明B是可逆矩陣例12、設A為矩陣,B為矩陣,當時，證明:(3)齊次線性方程組有非零解.

§3-3線性方程組的消元法一、線性方程組的概念(一)非齊次線性方程組,齊次線性方程組設有n個未知數(shù)m個方程的線性方程組

當不全為零時,稱方程組(1)為非齊次線性方程組。當全為零時,稱方程組叫做齊次線性方程組。其中稱為方程組的系數(shù),稱為這個方程組的未知量,稱為方程組的常數(shù)項,同時稱線性方程組(2)為與線性方程組(1)相應的齊次線性方程組,或線性方程組(1)稱為線性方程組(2)的導出的組。(二)線性方程組寫成矩陣方程的形式如果令則線性方程組(1)可以表示為稱A為這個方程組的系數(shù)矩陣,稱是這個方程組的增廣矩陣.（三）線性方程組的解如果使得方程組(1)中每一個方程都成立,則稱這n個數(shù)是方程組(1)的解,或者說是(1)的解(或解向量)

如果線性方程組(1)有解,就稱方程組(1)是相容的,否則,就稱方程組(1)是不相容的。一個線性方程組的解的全體構成的集合,稱為這個線性方程組的解集合,兩個具有相同解集合的線性方程組稱為是同解的.

表示線性方程組全部解的表達式稱為線性方程組的通解。

二、高斯消元法(一)矩陣在高斯消元法中的應用利用消元法解線性方程組,可通過線性方程組的增廣矩陣的初等行變換來完成.例1、解線性方程組(二)定理:n元線性方程組

(1)無解的充分必要條件是(2)有唯一解的充分必要條件是(3)有無窮多組解的充分必要條件是(三)求解線性方程組的步驟1、若為n元齊次線性方程組,將系數(shù)矩陣A化成行最簡形,若只有零解,若有非零解,把行最簡形中個非零行的非零首元所對應的未知數(shù)取出非自由未知數(shù)，其余個未知數(shù)取作自由未知數(shù)，并令自由未知數(shù)分別等于，由A的行最簡形即可寫出含個參數(shù)的通解。例2、解線性方程組2、若為非齊次線性方程組，把它的增廣矩陣B=(A,b)化成行階梯形矩陣,若,則方程組無解,若,則進一步把B化成行最簡形。3、若,則方程組有唯一解,若則方程組有無窮多組解,把行最簡形中r個非零行的的非零首元所對應的未知數(shù)作非自由未知數(shù),并令自由未知數(shù)分別等于，,由B的最簡形,即可寫出含個參數(shù)的通解。例