初中數(shù)學(xué)浙教版八年級上冊第2章特殊三角形2．2等腰三角形 全市一等獎

【等腰三角形歸納】

1、等腰三角形的一些重要性質(zhì)：

①等腰三角形的兩底角相等。

②等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合(“三合一”)?！镜湫屠}】

①等腰三角形兩腰上的中線相等

已知：在ΔABC中，AB＝AC，若BD，CE分別是AC，AB邊上的中線，則有BD＝CE。

②等腰三角形兩腰上的高相等

已知：在ΔABC中，AB＝AC，如果BD，CE分別是AC，AB邊上的高，那么BD＝CE。

③等腰三角形兩底角的平分線相等

已知：在ΔABC中，AB＝AC，如果BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線，那么BD＝CE。

3、等腰三角形的判定

判定定理：如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱“等角對等邊”)。

已知：如圖，在ΔABC中，∠B＝∠C，求證：AB＝AC。

4、等腰三角形分類

等腰三角形

5、有關(guān)等腰三角形周長的計算

給出三角形中兩邊的數(shù)據(jù)求周長時，一定要考慮對某一邊有兩種可能情況：一它可能是腰，二它可能是底。最后確定具體是腰還是底，就要看得出的三邊關(guān)系是否符合：任兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

如：已知等腰三角形的兩邊分別是3cm，5cm，則周長此時有兩種情況：11cm或13cm。當(dāng)腰長為3cm時，周長為：3cm+3cm+5cm=11cm；當(dāng)腰長為5cm時，周長為：3cm+5cm+5cm=13cm。

若兩邊分別是4cm，8cm，則周長只有一種結(jié)果，長為20cm（8cm做腰，4cm做底）。另一種可能是以4cm做腰，8cm做底，此時，4cm+4cm=8cm，不符合任兩邊之和大于第三邊的三角形三邊關(guān)系，故不能考慮在內(nèi)。

【例題講解】

例1：已知：如圖，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求證：CE＝CB。

例2：如圖，已知點D，E在BC上，AB＝AC，AD＝AE，求證：BD＝CE。

例3：如圖，點D，E在AC上，∠ABD＝∠CBE，∠A＝∠C，求證：BD＝BE。

例4：求證：有兩條高相等的三角形是等腰三角形。

例5：已知：在ΔABC中，AB＝AC，O是ΔABC內(nèi)一點，且OB＝OC，求證：AO⊥BC。

例6：已知：如圖，ΔABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC到E，使CE＝CD，求證：DB＝DE。

【等邊三角形歸納】1、等邊三角形的定義：三條邊都_______的三角形是等邊三角形，等邊三角形是一種特殊的三角形。2、等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都,并且每一個角都等于度；3、等邊三角形的判定1：三個角都的三角形是等邊三角形；等邊三角形的判定2：有一角是度的三角形是等邊三角形；4、教師點撥：（1）判定一個三角形是等邊三角形的方法：=1\*GB3①定義法：證明三邊相等=2\*GB3②判定定理1：證明三角相等=3\*GB3③判定定理2：一角等于60°且兩邊相等（2）等邊三角形的判定較為復(fù)雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒āＨ魪囊话闳切纬霭l(fā)，則可以通過“三邊相等”或“三角相等”來判定；CBA若從等腰三角形出發(fā)，則想辦法獲取“CBA【自學(xué)檢測】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴==∠=∠=∠=度（2）∵==∴△ABC是等邊三角形.()（3）∵∠=∠=∠∴△ABC是等邊三角形()（4）∵∠A=60°，AB=AC∴△ABC是三角形()【典型例題】1、等邊三角形是___________圖形，它有_______條對稱軸，它的對稱軸是_________________.2、下列三角形中是等邊三角形的是（）：=1\*GB3①有兩個角等于60°的三角形；=2\*GB3②有一個角等于60°的等腰三角形；=3\*GB3③三個外角（每個頂點處各取一個外角）都相等的三角形；=4\*GB3④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形.A.=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③B.=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④C.=1\*GB3①=3\*GB3③D.=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④3、在等邊△ABC的邊AB、AC上分別截取AD=AE．△ADE是等邊三角形嗎？試說明理由．變式1：在等邊△ABC中,過邊AB上一點D作∠ADE=60°，交邊AC于點E，△ADE是等邊三角形嗎？試說明理由．變式2：在等邊△ABC中，過邊AB上點D作DE∥BC，交邊AC于點E呢？△ADE是等邊三角形嗎？試說明理由．3、探究：等邊三角形三條中線相交于一點。請在圖中畫出圖形，找出圖中所有的全等三角形，并選擇其中一組全等三角形進行證明。【學(xué)生練習(xí)題】1、如圖，等邊三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°圖中有哪些與BD相等的線段？FFECDBA2、已知：如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC到E，使CE=CD．求證：DB=DE．EECDBA變式：已知：如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC到E，使CE=CD．DF⊥BC,垂足為F.求證：F是BE的中點.FFECDBA3、已知等邊△ABC和點P，設(shè)點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別是h1，h2，h3，△ABC的高為h，若點P在一邊BC上（圖1），此時h3=0，可得結(jié)論h1+h2+h3=h，請你探索以下問題：當(dāng)點P在△ABC內(nèi)（圖2）和點P在△ABC外（圖3）這兩種情況時，h1、h2、h3與h之間有怎樣的關(guān)系，請寫出你的猜想，并簡要說明理由．4、如圖，等邊三角形ABC中，三條內(nèi)角平分線AD、BE、CF相交于點O。（1）△AOB,△BOC,△AOC有何關(guān)系？并說明理由（2）求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度數(shù)，將△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)，問要旋轉(zhuǎn)多少度就能和原來的三角形重合（只要求說出一個旋轉(zhuǎn)度數(shù)）？AABCDEFO5、如圖所示，已知：AB=BC=AC，CD=DE=EC，求證：AD=BE．6、如圖，已知：在等邊三角形ABC中，D、E分別在AB和AC上，且AD=CE，BE和CD相交于點P。（1）說明△AD≌△CEB（2）求：∠BPC的度數(shù).7、已知，如圖，延長的各邊，使得，，順次連接，得到為等邊三角形．求證：（1）；（2）為等邊三角形．【等腰三角形練習(xí)題】

1、填空。

①等腰三角形中，兩腰上的中線，頂角的平分線底邊。

②若等腰三角形的一個角是時，則這個角可以是頂角，也可以是底角。若有一個角是時，則這個角一定是頂角。

2、已知：如圖，AB＝AC，DB＝DC，AD的延長線交BC于點E，求證：BE＝EC。

3、已知：如圖，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F(xiàn)是CD的中點，求證：AF⊥CD。

4、已知：如圖，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延長線于點E，求證：ΔACE是等腰三角形。

5、已知：如圖，AD＝BC，AC＝BD，求證：AE＝EB。

6、已知：如圖，在ΔABC中，AB＝AC，E，F(xiàn)分別是AB邊和AC邊延長線上的點，且BE＝CF，EF與BC交于點D，求證：DE＝DF。

7、已知：如圖，ΔABC中，∠A＝2∠C，BD是∠B的平分線，求證：BC＝AB＋AD。

【等邊三角形練習(xí)題】ABABCDE（1）等邊三角形的三條邊都，三個內(nèi)角都，且每個內(nèi)角都等于。（2）等邊三角形有條對稱軸。（3）等邊三角形的、、互相重合。（4）如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，如果∠ABE=40°，那么∠CBD=度。

2、如圖，在等邊△ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上一點，且CE=CD，請說明DB=DE的理由。AABCDE3、若a、b、c為△ABC的三邊，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，請說明△ABC是等邊三角形。ABABCDE5、已知，如圖，△ABC是正三角形，D，E，F(xiàn)分別是各邊上的一點，且AD=BE=CF。請你說明△DEF是正三角形。AABCDEF拓展思考：已知：