廣西壯族自治區(qū)桂林市第十三中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

廣西壯族自治區(qū)桂林市第十三中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B略2.若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，則m的范圍是（）A．[1，9） B．[2，+∞） C．（﹣∞，1] D．[2，9]參考答案：A【考點】一元二次不等式的解法．【分析】若m﹣1=0，即m=1時，滿足條件，若m﹣1≠0，即m≠1，若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，則對應(yīng)的函數(shù)的圖象開口朝上，且與x軸沒有交點，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于m的不等式，進(jìn)而得到m的取值范圍【解答】解：當(dāng)m﹣1=0，即m=1時，原不等式可化為2＞0恒成立，滿足不等式解集為R，當(dāng)m﹣1≠0，即m≠1時，若不等式（m﹣1）x2+（m﹣1）x+2＞0的解集是R，則，解得：1＜m＜9；故選：A．【點評】本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，不等式恒成立問題，是函數(shù)和不等式的綜合應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題3.如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F(xiàn)（﹣2，0）為C的左焦點，P為C上一點，滿足|OP|=|OF|且|PF|=4，則橢圓C的方程為（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=1參考答案：B【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】第一步：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點為F′，由|OP|=|OF|及橢圓的對稱性知，△PFF′為直角三角形；第二步：由勾股定理，得|PF′|；第三步：由橢圓的定義，得a2；第四步：由b2=a2﹣c2，得b2；第五步：根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，直接寫出橢圓的方程．【解答】解：設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為2c，右焦點為F′，連接PF′，如右圖所示．因為F（﹣2，0）為C的左焦點，所以c=2．由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，由橢圓定義，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，從而a=6，得a2=36，于是，所以橢圓的方程為．故選B．4.已知曲線上一點，則A處的切線斜率等于(

)A.9 B.1 C.3 D.2參考答案：A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后在導(dǎo)數(shù)中令，可得出所求切線的斜率.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得，故該曲線在點處的切線斜率為，故選：A.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，解題時要熟知導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查對導(dǎo)數(shù)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.5.已知命題;命題，且的一個充分不必要條件是，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A6.曲線在點(1,2)處的切線斜率為（

）A.4 B.3 C.2 D.1參考答案：D【分析】由函數(shù)，則，求得，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，函數(shù)，則，所以，即曲線在點處的切線斜率，故選D．【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某點處的切線的斜率，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7.若集合M={（x，y）|x+y=0}，N={（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R}，則有（）A．M∪N=M B．M∪N=N C．M∩N=M D．M∩N=?參考答案：A【考點】交集及其運(yùn)算．【分析】據(jù)集合的表示法知兩個集合一個表示直線一個表示一個點且點在直線上，得到兩集合的并集．【解答】解：∵M(jìn)={（x，y）|x+y=0}表示的是直線x+y=0又N={（x，y）|x2+y2=0}表示點（0，0）∵（0，0）在直線x+y=0上∴M∪N=M故選項為A8.已知A，B，P是雙曲線上的不同三點，且AB連線經(jīng)過坐標(biāo)原點，若直線PA，PB的斜率乘積，則該雙曲線的離心率e=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)出點的坐標(biāo)，求出斜率，將點的坐標(biāo)代入方程，兩式相減，再結(jié)合，即可求得結(jié)論．【解答】解：由題意，設(shè)A（x1，y1），P（x2，y2），則B（﹣x1，﹣y1）∴kPA?kPB=，A，B代入兩式相減可得=，∵，∴=，∴e2=1+=，∴e=．故選：B．9.下列說法正確的個數(shù)有（

）①用刻畫回歸效果，當(dāng)R2越大時，模型的擬合效果越差；反之，則越好；②命題“，”的否定是“，”；③若回歸直線的斜率估計值是2.25，樣本點的中心為(4,5)，則回歸直線方程是；④綜合法證明數(shù)學(xué)問題是“由因索果”，分析法證明數(shù)學(xué)問題是“執(zhí)果索因”。A．1個

B．2個

C.3個

D．4個參考答案：C①為相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)的結(jié)論是：越大表明模擬效果越好，反之越差，故①錯誤；②命題“，”的否定是“，”；正確；③若回歸直線的斜率估計值是，樣本點的中心為，則回歸直線方程是；根據(jù)回歸方程必過樣本中心點的結(jié)論可得③正確；④綜合法證明數(shù)學(xué)問題是“由因索果”，分析法證明數(shù)學(xué)問題是“執(zhí)果索因”。根據(jù)綜合法和分析法定義可得④的描述正確；故正確的為：②③④

10.設(shè)，則（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等差數(shù)列｛an｝的前n項和為，若，且A、B、C三點共線（該直線不過原點O），則＝

參考答案：100略12.將全體正奇數(shù)排成一個三角形數(shù)陣；接照圖中的排列規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數(shù)為 .參考答案：【n2－n+5】略13.已知過拋物線的焦點F的直線交該拋物線于A、B兩點，，則=_____．參考答案：2試題分析：焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，由|AF|＝2可知點A到準(zhǔn)線的距離為2，所以軸，考點：拋物線定義及直線與拋物線相交的弦長問題點評：拋物線定義：拋物線上的點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，依據(jù)定義可實現(xiàn)兩個距離的轉(zhuǎn)化14.青年歌手大獎賽共有10名選手參賽，并請了7名評委，如圖是7名評委給參加最后決賽的兩位選手甲、乙評定的成績的莖葉圖，去掉一個最高分和一個最低分后，甲、乙選手剩余數(shù)據(jù)的平均成績分別為

．

參考答案：84.2，85；15.的展開式中的常數(shù)項等于 .參考答案：-16016.已知圓C：x2＋(y－3)2＝4，一動直線l過點A(－1,0)與圓C相交于P、Q兩點，M為PQ的中點，l與直線x＋3y＋6＝0相交于點N，則|AM|·|AN|＝________.參考答案：17.7個人并排站在一排，B站在A的右邊，C站在B的右邊，D站在C的右邊，則不同的排法種數(shù)為______．參考答案：210【分析】根據(jù)排列問題中的定序問題縮倍法可求得結(jié)果.【詳解】7個人并排站成一排共有：種排法其中共有A，B，C，D四個人定序，則所有排法種數(shù)為：種本題正確結(jié)果：210

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.若的展開式中項的系數(shù)為.⑴求常數(shù)的值；⑵求證：能被整除.⑵易求，.

………參考答案：⑴通項，令得，∴，∴.

……⑵當(dāng)時，，，因為每一項都是的倍數(shù)，所以能被整除.得證.19.在銳角△中，分別為角所對的邊，且.（I）求角的大小；（II）若，且△的面積為，求的值參考答案：解：（I）由已知得

（II）（1）

（2）由（1）（2）得略20.（本小題滿分13分）已知雙曲線C：的焦距為，其一條漸近線的傾斜角為，且．以雙曲線C的實軸為長軸，虛軸為短軸的橢圓記為E．(I)求橢圓E的方程；(Ⅱ)設(shè)點A是橢圓E的左頂點，P、Q為橢圓E上異于點A的兩動點，若直線AP、AQ的斜率之積為，問直線PQ是否恒過定點?若恒過定點，求出該點坐標(biāo)；若不恒過定點，說明理由．參考答案：(I)；(Ⅱ)直線恒過定點.

(Ⅱ)在(I)的條件下，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為由，消去得：設(shè)則…………6分又,由題意知則且…………7分21.某中學(xué)對高三年級進(jìn)行身高統(tǒng)計，測量隨機(jī)抽取的20名學(xué)生的身高，其頻率分布直方圖如下（單位：cm）（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求出這20名學(xué)生身高中位數(shù)的估計值和平均數(shù)的估計值．（2）在身高為140﹣160的學(xué)生中任選2個，求至少有一人的身高在150﹣160之間的概率．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式；頻率分布直方圖．【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的左邊和右邊的直方圖的面積相等可求中位數(shù)；計算每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和可得平均數(shù)．（2）根據(jù)頻數(shù)=頻率×樣本容量，可以求出身高介于140～150的學(xué)生人數(shù)和身高介于150～160的學(xué)生人數(shù)，進(jìn)而由組合數(shù)公式，可求出從身高在140﹣160的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的事件個數(shù)及至少有一個人身高在150﹣160之間的事件個數(shù)，代入古典概型概率公式，可得答案．【解答】解：（1）中位數(shù)的左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數(shù)的值，∵0.1+0.3+0.04×2.5=0.5所以中位數(shù)的估計值為162.5．平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．則平均數(shù)的估計值為145×0.1+155×0.3+165×0.4+175×0.2=162，（2）這20名學(xué)生中，身高在140﹣150之間的有2個，分別為A，B，身高在150﹣160之間的有6人，從這8人中任選2個，有=28種選法，兩個身高都在140﹣﹣﹣150之間的選法有1種選法，所以至少有一個人在150﹣160之間的選法有28﹣1=27，故至少有一人的身高在150﹣160之間的概率為．22.如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是PC，PA的中點，且PA=AB=2AD．（I）求證：MN⊥CD；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣M的余弦值大?。唬á螅┰诰€段AD上是否存在一點G，使GM⊥平面PBC？若不存在，說明理由；若存在，確定點c的位置．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（I）建立空間直角坐標(biāo)系，證明，可得MN⊥CD；（II）求出平面ABM的法向量、平面APB的法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角P﹣AB﹣M的余弦值大小；（Ⅲ）設(shè)出G的坐標(biāo)，由，即可求得結(jié)論．【解答】（I）證明：設(shè)PA=AB=2AD=2，以AD為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，