標(biāo)準(zhǔn)差的意義

標(biāo)準(zhǔn)差的意義第一頁，共二十一頁，2022年，8月28日

樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息.平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀況，因此，我們需要一個統(tǒng)計(jì)數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度.第二頁，共二十一頁，2022年，8月28日實(shí)際問題：有兩位射擊運(yùn)動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：７８７９５４９１０７４乙：９５７８７６８６７７如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對這次射擊作出評價?如果是一次選拔考核，你應(yīng)該如何做選擇？計(jì)算可得兩人射擊的平均成績是一樣的.那么兩個人的水平就沒有什么差異嗎?第三頁，共二十一頁，2022年，8月28日45678910環(huán)數(shù)頻率0.10.20.3(甲)456789100.10.20.30.4環(huán)數(shù)頻率(乙)甲成績比較分散,乙成績相對集中看來，平均數(shù)還難以概括樣本的實(shí)際狀態(tài)，因此,我們還需要從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù).第四頁，共二十一頁，2022年，8月28日思考：什么樣的指標(biāo)可以反映一組數(shù)據(jù)變化范圍的大??？

我們可以用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍。用這種方法得到的差稱為極差．

極差＝最大值－最小值

第五頁，共二十一頁，2022年，8月28日

在生活中，我們常常會和極差打交道．班級里個子最高的學(xué)生比個子最矮的學(xué)生高多少？家庭中年紀(jì)最大的長輩比年紀(jì)最小的孩子大多少？這些都是求極差的例子．例1.（口答）求下列各題的極差。（1）某班個子最高的學(xué)生身高為1.70米，個子最矮的學(xué)生的身高為1.38米，求該班所有學(xué)生身高的極差。（2）小明家中，年紀(jì)最大的長輩的年齡是78歲，年紀(jì)最小的孩子的年齡是9歲，求小明家中所有成員年齡的極差。第六頁，共二十一頁，2022年，8月28日甲的環(huán)數(shù)極差=10-4=6乙的環(huán)數(shù)極差=9-5=4.極差對極端值非常敏感，在一定程度上表明樣本數(shù)據(jù)的的波動情況．但極差只能反映一組數(shù)據(jù)中兩個極端值之間的差異情況，對其他數(shù)據(jù)的波動情況不敏感，到底是A組還是B組數(shù)據(jù)更加穩(wěn)定呢？有必要重新找一個對整組數(shù)據(jù)波動情況更敏感的指標(biāo)本節(jié)課我們就要來學(xué)習(xí)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)穩(wěn)定程度的兩個量――方差、標(biāo)準(zhǔn)差．第七頁，共二十一頁，2022年，8月28日考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差．標(biāo)準(zhǔn)差是樣本平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示．所謂“平均距離”，其含義可作如下理解：：x。xxxxxin的距離是到表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是--,,...,21第八頁，共二十一頁，2022年，8月28日

于是樣本數(shù)據(jù)x1，x2，……xn，到x的平均距離是平均距離標(biāo)準(zhǔn)差由于上式含有絕對值，運(yùn)算不太方便，因此，通常改用如下公式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差．第九頁，共二十一頁，2022年，8月28日考慮一個容量為2的樣本:標(biāo)準(zhǔn)差的幾何意義a顯然,標(biāo)準(zhǔn)差越大,則a越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小.標(biāo)準(zhǔn)差用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大小(即這批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小).第十頁，共二十一頁，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么?標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)?標(biāo)準(zhǔn)差是怎樣表現(xiàn)數(shù)據(jù)的離散程度的?標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍:[0,+∞)標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù).標(biāo)準(zhǔn)差表現(xiàn)為：標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明數(shù)據(jù)的離散程度就越大；反之，標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明各數(shù)據(jù)的離散程度就越小。它用來描述樣本數(shù)據(jù)的離散程度。在實(shí)際應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)差常被理解為穩(wěn)定性。標(biāo)準(zhǔn)差的作用:第十一頁，共二十一頁，2022年，8月28日例題分析例1

畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明他們的異同點(diǎn).(1)5，5，5，5，5，5，5，5，5；(2)4，4，4，5，5，5，6，6，6；O頻率1.00.80.60.40.212345678

（1）O頻率1.00.80.60.40.212345678

（2）第十二頁，共二十一頁，2022年，8月28日(3)3，3，4，4，5，6，6，7，7；(4)2，2，2，2，5，8，8，8，8.頻率1.00.80.60.40.212345678

O（3）1.00.80.60.40.2（4）頻率12345678

O第十三頁，共二十一頁，2022年，8月28日對于城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)=1.973，標(biāo)準(zhǔn)差s=0.868.在這100個數(shù)據(jù)中，落在區(qū)間（-s，+s）=[1.105，2.841]外的有28個；落在區(qū)間（-2s，+2s）=[0.237,3.709]外的只有4個；落在區(qū)間（-3s，+3s）=[-0.631，4.577]外的有0個.一般地,對于一個正態(tài)總體(,),數(shù)據(jù)落在區(qū)間()、()、()內(nèi)的百分比分別為68.3%、95.4%、99.7%，這個原理在產(chǎn)品質(zhì)量控制中有著廣泛的應(yīng)用（參考教材P79“閱讀與思考”）.標(biāo)準(zhǔn)差還可用于對樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋第十四頁，共二十一頁，2022年，8月28日

從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2_--------方差來代替標(biāo)準(zhǔn)作為測量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具。步驟：求平均數(shù)；作差；平方；再求平均數(shù)第十五頁，共二十一頁，2022年，8月28日如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，那么第十六頁，共二十一頁，2022年，8月28日第十七頁，共二十一頁，2022年，8月28日練習(xí)２：從甲乙兩種玉米苗中各抽１０株，分別測得它們的株高如下（單位：cm）問:(1)哪一種玉米長得高？(2)哪種玉米的苗長得齊？————第十八頁，共二十一頁，2022年，8月28日小結(jié)1.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，是指用樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)總體相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).2.平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表一組數(shù)據(jù)的平均水平.標(biāo)準(zhǔn)差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的幅度.在實(shí)際應(yīng)用中，我們常綜合樣本的多個統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對總體進(jìn)行估計(jì)，為解決問題作出決策.3.對同一個總體，可以抽取不同的樣本，相應(yīng)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都會發(fā)生改變.如果樣本的代表性差，則對總體所作的估計(jì)就會產(chǎn)生偏差；如果樣本沒有代表性，則對總體作出錯誤估計(jì)的可能性就非常大，由此可見抽樣方法的重要性.第十九頁，共二十一頁，2022年，8月28日4.在抽樣過程中，抽取的樣本是具有隨機(jī)性的，如從一個包含6個個體的總體中抽取一個容量為3的樣本就有20中可能抽樣，因此樣本的數(shù)字特征也有隨機(jī)性.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征，是一種統(tǒng)計(jì)思想，沒有惟一答案.第二十頁，共二十一頁，2022年，8月28日練習(xí)：（1）如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，中位數(shù)為a，求數(shù)據(jù)3x1+5，3