河北省保定市立德中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

河北省保定市立德中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)A={x|x﹣1＜0}，B={x|log2x＜0}，則A∩B等于（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜1} C．{x|x＜0} D．?參考答案：A【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】解對(duì)數(shù)不等式求出集合B，再根據(jù)兩個(gè)集合的交集的定義求出A∩B．【解答】解：∵A={x|x﹣1＜0}={x|x＜1}，B={x|log2x＜0}={x|0＜x＜1}，∴A∩B={x|0＜x＜1}，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，兩個(gè)集合的交集的定義，屬于中檔題．2.某班共有人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)興趣小組，其中參加數(shù)學(xué)興趣小組的有人，參加化學(xué)興趣小組的有人，參加物理興趣小組的有人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)、物理興趣小組的有人，參加數(shù)學(xué)、化學(xué)興趣小組的有人，三個(gè)興趣小組都參加的有人。問同時(shí)參加化學(xué)、物理興趣小組的有幾人？

（

）A.3

B.4

C.5

D.6參考答案：A3.已知x0是函數(shù)f（x）=2x+的一個(gè)零點(diǎn)．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），則（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】因?yàn)閤0是函數(shù)f（x）=2x+的一個(gè)零點(diǎn)可得到f（x0）=0，再由函數(shù)f（x）的單調(diào)性可得到答案．【解答】解：∵x0是函數(shù)f（x）=2x+的一個(gè)零點(diǎn)∴f（x0）=0∵f（x）=2x+是單調(diào)遞增函數(shù)，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）故選B．4.設(shè)，則在下列區(qū)間中，使函數(shù)有零點(diǎn)的區(qū)間是A．

B． C．

D．參考答案：B5.（12分）已知函數(shù)（其中且，為實(shí)常數(shù)）.（1）若，求的值（用表示）（2）若，且對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（用表示）參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

由條件可知，，即，解得

(2)當(dāng)時(shí)，即

，

故m的取值范圍是略6.已知集合，則A．

B．

C．

D．參考答案：C7.已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且滿足，（p為非零常數(shù)），則下列結(jié)論中:①數(shù)列{an}必為等比數(shù)列；②時(shí)，；③；④存在p，對(duì)任意的正整數(shù)m,n，都有正確的個(gè)數(shù)有（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：C【分析】由數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義可得數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，即可判斷．【詳解】，可得，即，時(shí)，，，相減可得，即有數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故①正確；由①可得時(shí)，，故②錯(cuò)誤；，，則，即③正確；由①可得，等價(jià)為，可得，故④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，以及等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式的運(yùn)用，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．8.已知函數(shù)f（x）=﹣log2x，在下列區(qū)間中，包含f（x）零點(diǎn)的區(qū)間是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零點(diǎn)的判定定理可得．【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，滿足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在區(qū)間（2，4）內(nèi)必有零點(diǎn)，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查還是零點(diǎn)的判斷，屬基礎(chǔ)題．9.若向量，，，則A.

參考答案：B試題分析：設(shè)考點(diǎn)：平面向量基本定理10.若,則=

（

）

A．

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.關(guān)于函數(shù)(x≠0，x∈R)．有下列命題：①函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②在區(qū)間(1，+∞)上，函數(shù)f(x)是增函數(shù)．③函數(shù)f(x)的最小值為；④在區(qū)間(–∞，0)上，函數(shù)y=f(x)是減函數(shù)；其中正確命題序號(hào)為

參考答案：（1）（2）（3）12.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，第k項(xiàng)滿足5＜ak＜8，則k的值為．參考答案：8考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題：計(jì)算題．分析：根據(jù)數(shù)列的第n項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系可得a1=S1=﹣8，當(dāng)n≥2

an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣10，由5＜2k﹣10＜8求得正整數(shù)k的值．解答：解：∵數(shù)列的前n項(xiàng)和，∴a1=S1=1﹣9=﹣8．當(dāng)n≥2

an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣9n﹣[（n﹣1）2﹣9（n﹣1）]=2n﹣10，由5＜ak＜8可得

5＜2k﹣10＜8，解得＜k＜9，故正整數(shù)k=8，故答案為8．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的第n項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，解一元一次不等式，屬于基礎(chǔ)題．13.若，則_____________.參考答案：，故答案為.

14.函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間為

.參考答案：（-1，0）∪（1，+∞）15.若函數(shù)在定義域內(nèi)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式是_________________________．參考答案：16.已知函數(shù)f（x）=，若使不等式f（x）＜成立，則x的取值范圍為．參考答案：{x|x＜3}【考點(diǎn)】其他不等式的解法．【分析】根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式解關(guān)于x≥2時(shí)的不等式f（x）＜即可．【解答】解：∴f（x）=，∴x＜2時(shí)，不等式f（x）＜恒成立，x≥2時(shí)，x﹣＜，解得：2≤x＜3，綜上，不等式的解集是：{x|x＜3}，故答案為：{x|x＜3}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)問題，考查解不等式問題，是一道基礎(chǔ)題．17.設(shè)集合，它共有個(gè)二元子集，如、、等等．記這個(gè)二元子集、、、、，設(shè)，定義，則_____．（結(jié)果用數(shù)字作答）參考答案：1835028【分析】分別分析中二元子集中較大元素分別為、、、時(shí)，對(duì)應(yīng)的二元子集中較小的元素，再利用題中的定義結(jié)合數(shù)列求和思想求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)二元子集較大的數(shù)為，則較小的數(shù)為；當(dāng)二元子集較大的數(shù)為，則較小的數(shù)為、；當(dāng)二元子集較大的數(shù)為，則較小的數(shù)為、、；當(dāng)二元子集較大的數(shù)為，則較小的數(shù)為、、、、.由題意可得，令，得，上式下式得，化簡得，因此，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查新定義，同時(shí)也考查了數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵就是找出相應(yīng)的規(guī)律，列出代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=logm（m＞0且m≠1），（I）判斷f（x）的奇偶性并證明；（II）若m=，判斷f（x）在（3，+∞）的單調(diào)性（不用證明）；（III）若0＜m＜1，是否存在β＞α>0，使f（x）在[α，β]的值域?yàn)閇logmm（β-1），logm（α-1）]？若存在，求出此時(shí)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：（Ⅰ）f（x）是奇函數(shù)（Ⅱ）見解析（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）先求定義域，再判斷與f（x）關(guān)系，最后根據(jù)奇偶性定義作判斷與證明，（Ⅱ）根據(jù)單調(diào)性定義進(jìn)行判斷，（Ⅲ）先根據(jù)單調(diào)性確定方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩正根，再根據(jù)二次方程實(shí)根分布列方程，最后解不等式組得結(jié)果.【詳解】解：（Ⅰ）f（x）是奇函數(shù)；證明如下：由解得x＜-3或x＞3，所以f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-3）∪（3，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∵=，故f（x）為奇函數(shù)/（Ⅱ）任取x1，x2∈（3，+∞）且x1＜x2，=，∵（x1-3）（x2+3）-（x1+3）（x2-3）＜0，∴（x1-3）（x2+3）＜（x1+3）（x2-3），即，當(dāng)m=時(shí)，，即f（x1）＜f（x2）．故f（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞減．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f（x）在[α，β]上單調(diào)遞減．假設(shè)存在β＞α＞0，使f（x）在[α，β]的值域?yàn)閇logmm（β-1），logm（α-1）]．則有，∴．所以α，β是方程的兩正根，整理得mx2+（2m-1）x-3m+3=0在（0，+∞）有2個(gè)不等根α和β．令h（x）=mx2+（2m-1）x-3m+3，則h（x）在（0，+∞）有2個(gè)零點(diǎn)，解得，故m的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及一元二次方程實(shí)根分布，考查數(shù)形結(jié)合思想方法以及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法，考查綜合綜合分析與求解能力，屬難題.19.（本題滿分14分）．某工廠去年某產(chǎn)品的年產(chǎn)量為100萬只，每只產(chǎn)品的銷售價(jià)為10元，固定成本為8元．今年，工廠第一次投入100萬元（科技成本），并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬元（科技成本），預(yù)計(jì)產(chǎn)量年遞增10萬只，第n次投入后，每只產(chǎn)品的固定成本為（k＞0，k為常數(shù)，且n≥0），若產(chǎn)品銷售價(jià)保持不變，第n次投入后的年利潤為萬元．（1）求k的值，并求出的表達(dá)式；（2）問從今年算起第幾年利潤最高?最高利潤為多少萬元?參考答案：（14分）．解：（1）由，當(dāng)n＝0時(shí)，由題意，可得k＝8，…2分所以．…………6分（2）由．…………10分當(dāng)且僅當(dāng)，即n＝8時(shí)取等號(hào)，…………12分所以第8年工廠的利潤最高，最高為520萬元。…14分略20.(本題滿分12分)已知向量m=，n=，m·n．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式和最小正周期．（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．參考答案：（Ⅰ）∵m=，n=，∴m·n ∴,最小正周期為.…………6分（Ⅱ）∵，∴當(dāng)，即時(shí)，遞增，當(dāng)，即時(shí)，遞減.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，的單調(diào)遞減區(qū)間是．………………12分21.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x2+2x．（1）現(xiàn)已畫出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請(qǐng)補(bǔ)出完整函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f（x）的增區(qū)間；（2）寫出函數(shù)f（x）的解析式和值域．參考答案：【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象；函數(shù)的值域；函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間．【專題】計(jì)算題；作圖題．【分析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，故圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，由此補(bǔ)出完整函數(shù)f（x）的圖象即可，再由圖象直接可寫出f（x）的增區(qū)間．（2）可由圖象利用待定系數(shù)法求出x＞0時(shí)的解析式，也可利用偶函數(shù)求解析式，值域可從圖形直接觀察得到．【解答】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，故圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，補(bǔ)出完整函數(shù)圖象如有圖：所以f（x）的遞增區(qū)間是（﹣1，0），（1，+∞）．（2）設(shè)x＞0，則﹣x＜0，所以f（﹣x）=x2﹣2x，因?yàn)閒（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以f（﹣x）=f（x），所以x＞0時(shí)，f（x）=x2﹣2x，故f（x）的解析式為值域?yàn)閧y|y≥﹣1}【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)求解析式、作圖，同時(shí)考查函數(shù)的函數(shù)的奇偶性和值域等性質(zhì)．22.已知函數(shù)

(為實(shí)常數(shù))．

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，設(shè)在區(qū)間的最小值為，求的表達(dá)式；

（3）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答