河北省唐山市第二十中學2021-2022學年高二數(shù)學理上學期期末試卷含解析

河北省唐山市第二十中學2021-2022學年高二數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知矩形的邊長滿足，則矩形面積的最大值為

（A）3

（B）6

（C）8

（D）9參考答案：A略2.有如下三個命題：①分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線；②垂直于同一個平面的兩條直線是平行直線；③過平面α的一條斜線有一個平面與平面α垂直．其中正確命題的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：C【考點】異面直線的判定；平面的基本性質(zhì)及推論．【分析】①此命題考查的是異面直線的判定，分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線，三種位置關系均有可能；只有分別在兩個平行平面中的兩條直線才一定是異面直線．②此命題是直線與平面垂直的性質(zhì)定理．③根據(jù)平面的基本性質(zhì)及其推論可知：兩條相交直線，有且只有一個平面．故可過斜線與平面α的交點作一條垂直于平面α的直線，則斜線與垂線所確定的平面即與平面α垂直，這樣的平面有且只有一個．【解答】解：①分別在兩個平行平面中的兩條直線一定是異面直線，故①錯誤．②此命題是直線與平面垂直的性質(zhì)定理，故②正確．③可過斜線與平面α的交點作一條垂直于平面α的直線，則斜線與垂線所確定的平面即與平面α垂直，這樣的平面有且只有一個．故③正確．∴②③正確．故選C．3.如圖，四面體ABCD中，設M是CD的中點，則

化簡的結果是（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：A略4.已知，且的最大值是最小值的3倍，則的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）A．2+ B．4+ C．2+2 D．5參考答案：C【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：OA⊥面ABC，AC=AB，E為BC中點，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判斷幾何體的各個面的特點，計算邊長，求解面積．【解答】解：根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：OA⊥面ABC，AC=AB，E為BC中點，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，運用直線平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故該三棱錐的表面積是2，故選：C．【點評】本題考查了空間幾何體的三視圖的運用，空間想象能力，計算能力，關鍵是恢復直觀圖，得出幾何體的性質(zhì)．6.下列各式中，最小值等于的是（

）A

B

C

D

參考答案：D略7.已知圓C與直線及都相切，圓心在直線上，則圓C的方程為

（

）A.

B.C.

D.參考答案：C8.在中，“”是“”的

A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充分必要條件

D．既非充分也非必要條件參考答案：A9.已知，則函數(shù)的最大值是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C略10.已知等差數(shù)列，公差，，則使前項和取最大值的正整數(shù)的值是A．5

B．6

C．7

D．8參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果橢圓的弦被點(4，2)平分，則這條弦所在的直線方程是__________。參考答案：x+2y-8=0

12.若直線l經(jīng)過直線和的交點,且平行于直線，則直線l方程為 .參考答案：

13.從甲，乙，丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率是______________．參考答案：略14.已知，當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值是__________________．參考答案：4當x≤0時，f(x)＝x2－4x＋3，對稱軸為直線x＝2，故在區(qū)間內(nèi)遞減，f(x)≥f(0)＝3；當x>0時，f(x)＝－x2－2x＋3，對稱軸為直線x＝－1，故在區(qū)間內(nèi)遞減，f(x)<f(0)＝3.可知函數(shù)f(x)在整個區(qū)間內(nèi)遞減．∴當x∈[－2,2]時不等式f(x＋a)≥f(2a－x)恒成立，∴x＋a≤2a－x，∴2x≤a，∴a≥4.15.已知有窮等差數(shù)列{an}中，前四項的和為124，后四項的和為156，又各項和為210，那么此等差數(shù)列的項數(shù)為

．參考答案：6【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】：由題意可得a1+a2+a3+a4=12，并且an+an﹣1+an﹣2+an﹣3=156，所以根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+an=70，再結合等差數(shù)列的前n項和的表達式可得答案．【解答】解：由題意可得，a1+a2+a3+a4=124，…①并且an+an﹣1+an﹣2+an﹣3=156，…②由等差數(shù)列的性質(zhì)可知①+②可得：4（a1+an）=280，所以a1+an=70．由等差數(shù)列的前n項和公式可得：=210，所以解得n=6．故答案為6．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項和公式的簡單運用，屬于對基礎知識的簡單綜合．16.已知經(jīng)過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B兩點，則直線AB的方程為

．參考答案：由切點弦方程得直線的方程為

17.方程表示橢圓，則的取值范圍是_____

___參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.表示下列不等關系（1）a是正數(shù)

（2）a+b是非負數(shù)

（3）a小于3，但不小于－1

（4）a與b的差的絕對值不大于5。參考答案：解析：（1）a>0；（2）a+b≥0；（3）－1≤a<3；（4）│a－b│≤5；19.已知數(shù)列{an}滿足.（1）求，，的值，猜想并證明{an}的單調(diào)性；（2）請用反證法證明數(shù)列{an}中任意三項都不能構成等差數(shù)列．參考答案：（1）計算得，猜想該數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.………2分下面給出證明：，因為，故，所以恒成立，即數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.………6分（2）假設中存在三項成等差數(shù)列，不妨設為這三項，………8分由（1）證得數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，即，兩邊同時乘以，則等式可以化為，（※）……………12分因為，所以均為正整數(shù)，故與為偶數(shù)，而為奇數(shù)，因此等式（※）兩邊的奇偶性不同，故等式（※）不可能成立，所以假設不成立，故數(shù)列中任意三項都不能構成等差數(shù)列．

………14分

20.(本小題滿分14分)在中，(Ⅰ)證明：；

(Ⅱ)若，求的值．參考答案：21.一動圓與圓內(nèi)切，與圓外切．（1）求動圓圓心M的軌跡L的方程；（2）設過圓心F2的直線l：x=my+1與軌跡L相交于A，B兩點，請問△ABF1的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線l的方程，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】軌跡方程；圓與圓的位置關系及其判定．【分析】（1）利用圓內(nèi)切，與圓外切，可得|MF1|+MF2|=4，由橢圓定義知M在以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓上，從而可得動圓圓心M的軌跡L的方程；（2）表示出三角形的面積，利用換元法，結合函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，即可求得結論．【解答】解：（1）設動圓圓心為M（x，y），半徑為R，由題意，得|MF1|=R+1，|MF2|=3﹣R，所以|MF1|+MF2|=4，由橢圓定義知M在以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓上，且a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=4﹣1=3．動圓圓心M的軌跡L的方程為．（2）設A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），則，由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，∴，，令，則t≥1，且m2=t2﹣1，有，∵在[1，+∞）遞增，∴，∴，此時t=1，m=0，∴存在直線l：x=1，△ABF1的面積最大值為3．22.（本小題滿分12分）已知向量，，且．（Ⅰ）將表示為的函數(shù)，并求的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）已知分別為的三個內(nèi)角對應的邊長，若，且，，求的面積．參