2023年高考數(shù)學(xué)黃金100題系列第15題指數(shù)函數(shù)理

第15題指數(shù)函數(shù)I．題源探究·黃金母題【例1】對(duì)于函數(shù)：〔1〕探索函數(shù)的單調(diào)性；〔2〕是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)為奇函數(shù)？【解析】〔1〕在上是增函數(shù)．證明：任取，且，＝＝－＝．因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以，即，所以，即，所以函?shù)在上是增函數(shù)．〔2〕假設(shè)存在實(shí)數(shù)使為奇函數(shù)，那么＋＝0，即，所以＝，即存在實(shí)數(shù)使為奇函數(shù)．精彩解讀【試題來(lái)源】人教版A版必修一83頁(yè)B組第34題【母題評(píng)析】此題以指數(shù)型函數(shù)為載體，考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性問(wèn)題．此類考查方式是近幾年高考試題常常采用的命題形式之一，到達(dá)考查運(yùn)算能力、分析與探究問(wèn)題的能力、逆向思維能力的目的．【思路方法】考察指數(shù)型函數(shù)與對(duì)數(shù)型函數(shù)的奇偶性單調(diào)性通常有兩種常規(guī)方法解決：一是利用定義來(lái)解決；二是利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性間的運(yùn)算性質(zhì)解決．性質(zhì)求相關(guān)的參數(shù)問(wèn)題通常要建立方程來(lái)解決．II．考場(chǎng)精彩·真題回放【例1】【2023高考北京卷文理】函數(shù)，那么〔〕A．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)【答案】B【解析】，所以函數(shù)是奇函數(shù)，并且是增函數(shù)，是減函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，應(yīng)選B．【例2】【2023高考山東卷】假設(shè)函數(shù)(e=2．71828，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在的定義域上單調(diào)遞增，那么稱函數(shù)具有M性質(zhì)，以下函數(shù)中具有M性質(zhì)的是A．B．C．D．【答案】A【解析】由A，令，，那么在R上單調(diào)遞增，具有M性質(zhì)，應(yīng)選A．【例3】【2023高考新課標(biāo)III】設(shè)函數(shù)那么滿足的x的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意得：當(dāng)時(shí)恒成立，即；當(dāng)時(shí)恒成立，即；當(dāng)時(shí)，即；綜上x(chóng)的取值范圍是．【命題意圖】本類題考查指數(shù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用．【考試方向】這類試題在考查題型上，通常根本以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等，往往以考查指數(shù)運(yùn)算構(gòu)成的指數(shù)型函數(shù)奇偶性、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、指數(shù)函數(shù)的圖象、在實(shí)際生活中的應(yīng)用．【難點(diǎn)中心】〔1〕處理含有參數(shù)的指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性時(shí)，常常要運(yùn)用逆向思維的方法，表達(dá)待定系數(shù)法的應(yīng)用；〔2〕應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的圖象時(shí)，常常涉及不太標(biāo)準(zhǔn)的指數(shù)型函數(shù)的圖象，其作法可能較難；〔3〕解決指數(shù)不等式問(wèn)題的方法就是化為同底的指數(shù)或?qū)?shù)的形式，再利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為熟悉的代數(shù)不等式求解；〔4〕在實(shí)際生活中的應(yīng)用時(shí)如何建立與指數(shù)相關(guān)的函數(shù)模型，也是相對(duì)較難．III．理論根底·解題原理考點(diǎn)一指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且∈*．負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作．當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：〔1〕；〔2〕0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①；②；③．考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)〔，且〕叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)定義域?yàn)椋键c(diǎn)三指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)圖象特征函數(shù)性質(zhì)向、軸正負(fù)方向無(wú)限延伸函數(shù)的定義域?yàn)閳D象關(guān)于原點(diǎn)和軸不對(duì)稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都在軸上方函數(shù)的值域?yàn)楹瘮?shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)〔0，1〕自左向右看，圖象逐漸上升自左向右看，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1圖象上升趨勢(shì)是越來(lái)越陡圖象上升趨勢(shì)是越來(lái)越緩函數(shù)值開(kāi)始增長(zhǎng)較慢，到了某一值后增長(zhǎng)速度極快；函數(shù)值開(kāi)始減小極快，到了某一值后減小速度較慢；考點(diǎn)四指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用主要以指數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用，因此建立此模型時(shí)注意確定參數(shù)及底數(shù)是解題的關(guān)鍵．IV．題型攻略·深度挖掘【考試方向】1．通常根本以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等或中等偏下，往往與函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、圖象，以及不等式、方程有聯(lián)系；2．在解答題中常常與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等．【技能方法】1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的實(shí)質(zhì)是相同的，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，通常利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算．2．利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：〔1〕在上，值域是或；〔2〕假設(shè)，那么；取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)；〔3〕對(duì)于指數(shù)函數(shù)，總有；〔4〕當(dāng)時(shí)，假設(shè)，那么；當(dāng)時(shí)，假設(shè)，那么．【易錯(cuò)指導(dǎo)】1．無(wú)視隱含條件，如化簡(jiǎn)；2．平方開(kāi)方轉(zhuǎn)換時(shí)不等價(jià)，如化簡(jiǎn)：；3．混用運(yùn)算性質(zhì)，如化簡(jiǎn)：；4．對(duì)指數(shù)函數(shù)的定義理解不透徹，如函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，那么是多少？5．無(wú)視對(duì)底數(shù)的討論而致錯(cuò)，如求函數(shù)的定義域；6．無(wú)視換元后新元的取值范圍，如求函數(shù)的值域；7．無(wú)視復(fù)合指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性的復(fù)合性，如求的單調(diào)區(qū)間．V．舉一反三·觸類旁通考向1指數(shù)型函數(shù)的定義域【例1】【2023北京海淀模擬】函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)________．【答案】【解析】要使原式有意義需滿足，即，故函數(shù)的定義域?yàn)椋痉椒c(diǎn)撥】通常根據(jù)表達(dá)式中含有的分式、對(duì)數(shù)式、根式建立不等式組后，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可．【跟蹤練習(xí)】1．【2023浙江寧波模擬】假設(shè)指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，那么_________；不等式的解集為_(kāi)__________．【答案】，【名師點(diǎn)睛】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的解析式中只含有一個(gè)參數(shù)，因此只須一個(gè)條件發(fā)即可求解，如知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)．2．【2023吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)二?！考僭O(shè)函數(shù)的定義域和值域都是，那么〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】假設(shè)，那么在單調(diào)遞減，那么，解得，此時(shí)，；假設(shè)，那么在單調(diào)遞增，那么〔無(wú)解〕；應(yīng)選D．考向2指數(shù)的運(yùn)算法那么的應(yīng)用【例2】〔1〕計(jì)算〔2〕，求值：．【答案】〔1〕；〔2〕6【解析】〔1〕．〔2〕．【技巧點(diǎn)撥】應(yīng)用指數(shù)的運(yùn)算法那么進(jìn)行計(jì)算注意兩點(diǎn)：〔1〕如果題目中的式子既有根式又有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，那么先化為分類指數(shù)冪以便用法那么運(yùn)算；〔2〕如果題目中給出的是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，先看是否符合運(yùn)算法那么的條件，如符合用法那么直接運(yùn)算，如不符合應(yīng)創(chuàng)設(shè)條件去求．【例3】函數(shù)，那么〔〕A．B．C．D．【答案】C【技巧點(diǎn)撥】含有省略號(hào)“…〞的代數(shù)式的求值問(wèn)題，通常要根據(jù)條件尋求規(guī)律：〔1〕看前后兩項(xiàng)相加是否為同一常數(shù)；〔2〕分析相鄰幾項(xiàng)之和是否為同一常數(shù)，或?yàn)橐?guī)律變化的數(shù)．【跟蹤練習(xí)】1．【2023江西臨川實(shí)驗(yàn)學(xué)校一?！繉?shí)數(shù)滿足，，那么等于〔〕A．8B．4C．2D．【答案】A【解析】此題考査指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)．，所以，得，那么．應(yīng)選A．2．【2023河北曲周縣第一中學(xué)一模】，，有如下四個(gè)結(jié)論：①，②，③滿足，④那么正確結(jié)論的序號(hào)是〔〕A．②③B．①④C．②④D．①③【答案】B【解析】，，不妨令，，滿足條件；那么，，①正確，②錯(cuò)誤；又，④正確，③錯(cuò)誤；綜上，正確的命題是①④，應(yīng)選B．點(diǎn)睛：此題考查了用特殊值判斷數(shù)值大小的應(yīng)用問(wèn)題，是根底題根據(jù)題意，用特殊值代入計(jì)算，即可判斷命題是否正確；高考數(shù)學(xué)選擇題中常用的方法有1、特例法，其包括特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等；2、篩選排除法；3、代入驗(yàn)算法；4、圖解法；5、極限法等．考向3指數(shù)型函數(shù)的奇偶性【例4】【2023江西百校聯(lián)盟2月聯(lián)考】是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，假設(shè)，那么的取值范圍為〔〕A．B．C．D．【答案】B【例5】【2023寧夏銀川二?！渴嵌x在R上的偶函數(shù)，且對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，，那么A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)閷?duì)恒成立，所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)．因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，應(yīng)選B．點(diǎn)睛：如果定義域在R上函數(shù)滿足，那么是函數(shù)的一個(gè)周期，可推廣為：如果義域在R上函數(shù)滿足或，那么是函數(shù)的一個(gè)周期．【跟蹤練習(xí)】1．【208山東濱州模擬】假設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，那么的解集為〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】由于函數(shù)為上奇函數(shù)，所以，所以．由于為增函數(shù)，而為減函數(shù)，所以是減函數(shù)，又因?yàn)?，由可得，從而，?yīng)選D．【思路點(diǎn)晴】解決此題的根本思路及切入點(diǎn)是：首先根據(jù)函數(shù)是上的奇函數(shù)求出的值，進(jìn)而確定的表達(dá)式，其次再確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，并從中求得不等式的解集，最終使問(wèn)題得到解決．2．【2023高考山東卷】假設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，那么使成立的的取值范圍為〔〕A．B．C．D．【答案】C3．【2023高考天津卷】定義在上的函數(shù)〔為實(shí)數(shù)〕為偶函數(shù)，記，那么，的大小關(guān)系為〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以由，得，所以，解得，所以，，．又在為增函數(shù)，所以，應(yīng)選B．考向4指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)【例6】【2023吉林松原模擬】函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)在直線上，其中，，那么的最小值為()A．4B．5C．7D．【答案】D【解析】由題可知，代入直線得：，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，應(yīng)選擇D．【例7】【2023江西新余一中二模】函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)在直線上，且為正數(shù)，那么的最小值為_(kāi)_________．【答案】4【易錯(cuò)點(diǎn)晴】此題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及利用根本不等式求最值，屬于難題．利用根本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等〞的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值〔和定積最大，積定和最小〕；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立〔主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是屢次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立〕．【跟蹤練習(xí)】1．【2023吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模】當(dāng)，且時(shí)，函數(shù)必過(guò)定點(diǎn)____________．【答案】【解析】令，得，即函數(shù)必過(guò)定點(diǎn)．2．【2023河北保定一?！亢瘮?shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，假設(shè)點(diǎn)在直線上，那么的最大值為_(kāi)_________【答案】【解析】函數(shù)，時(shí)恒過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，即，根據(jù)根本不等式:，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故填．考向5求指數(shù)復(fù)合型函數(shù)的單調(diào)性〔單調(diào)區(qū)間〕【例8】函數(shù)的增區(qū)間為_(kāi)__________．減區(qū)間為_(kāi)__________．【答案】；．【規(guī)律總結(jié)】此題指數(shù)復(fù)合型函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，因此解答遵循單調(diào)性的復(fù)合規(guī)律，即復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性就根據(jù)外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減〞的原那么．【跟蹤練習(xí)】1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．【答案】【解析】．令，那么是關(guān)于上的減函數(shù)，而在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，∴函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是．2．求函數(shù)的值域?yàn)?；其在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【答案】；；【解析】．令，那么當(dāng)，即時(shí)取最小值；當(dāng)，即時(shí)取最大值，故函數(shù)的值域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．考向6指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【例9】【2023天津河西區(qū)二?！浚?dāng)時(shí)，有，那么必有〔〕A．，，B．，，C．D．【答案】D點(diǎn)睛：求解此題的思路是運(yùn)用推理的思維模式先確定必有一個(gè)是負(fù)數(shù)和一個(gè)正數(shù)，否那么都與題設(shè)是矛盾的，進(jìn)而借助絕對(duì)值的定義，先將絕對(duì)值符號(hào)脫去，進(jìn)而將不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而使得問(wèn)題獲解．【例10】【2023全國(guó)Ⅲ理】，，，那么〔〕A．BC．D．【答案】A【解析】，，．因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以．又函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，那么，應(yīng)選A．【技巧點(diǎn)撥】此題實(shí)質(zhì)上是聯(lián)用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性比擬數(shù)的大小，一般利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)注意統(tǒng)一底數(shù)，而利用冪函數(shù)的單調(diào)性時(shí)注意統(tǒng)一指數(shù)．【例11】【2023高考天津卷】是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，假設(shè)實(shí)數(shù)滿足，那么的取值范圍是〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，那么由，知．又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，所以，解得，應(yīng)選C．【名師點(diǎn)睛】指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用主要表達(dá)在兩個(gè)方面：〔1〕根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)由自變量大小導(dǎo)出函數(shù)值的大小，如此題；〔2〕根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)值的大小導(dǎo)出自變量的大?。靖櫨毩?xí)】1．【2023高考江蘇】不等式的解集為_(kāi)_______．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，那么由，得，解得，所以不等式的解集為．【技巧點(diǎn)撥】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式關(guān)鍵是統(tǒng)一底數(shù)，因此須注意到常見(jiàn)的“3與，9、27、…〞，“2與，4，8，…〞等的關(guān)系．2．是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且時(shí)，，那么不等式的解集為〔〕A．B．C．D．【答案】D考向7指數(shù)函數(shù)的最值〔值域〕【例12】【2023山東壽光現(xiàn)代中學(xué)開(kāi)學(xué)考試】函數(shù)的定義域和值域都是，那么__________．【答案】4【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)過(guò)點(diǎn)(-1，-1)和點(diǎn)(0，0)，所以無(wú)解；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)過(guò)點(diǎn)(-1，0)和點(diǎn)(0，-1)，所以，解得．所以【例13】【2023遼寧撫順模擬】當(dāng)，不等式恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【名師點(diǎn)睛】不等式恒成立求參數(shù)取值范圍，經(jīng)常采用別離參數(shù)法，象此題一樣化不等式為，只要求出的最大值，只要解不等式即得結(jié)論，其中的最值一般利用函數(shù)的單調(diào)性求得．【跟蹤練習(xí)】1．【2023高考山東理14】函數(shù)的定義域和值域都是，那么___________．【答案】【解析】假設(shè)，那么在上為增函數(shù)，所以，此方程組無(wú)解；假設(shè)，那么在上為減函數(shù)，所以，解得，所以．【易錯(cuò)警示】由于底數(shù)的范圍不確定，因此解答時(shí)注意分與兩種情況進(jìn)行討論．2．函數(shù)〔是常數(shù)，且〕在區(qū)間上有最大值，最小值為．試求的值．【答案】或．【解析】令．∵，∴．當(dāng)時(shí)，，∴．依題意得；當(dāng)時(shí)，，∴依題意得．綜上知，或【方法點(diǎn)晴】此題是含有參數(shù)且與指數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，欲求其在某區(qū)間上的最值，需先確定它在該區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出最值，步驟：〔1〕求復(fù)合函數(shù)的定義域，〔2〕弄清函數(shù)是由哪些根本函數(shù)復(fù)合而成，〔3〕分層逐一求解函數(shù)的單調(diào)性，〔4〕求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間〔注意同增異減〕，〔5〕根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性列出方程〔組〕求其最值．考向8指數(shù)函數(shù)的圖象的識(shí)別【例14】【2023山西45校第一次聯(lián)考】函數(shù)〔且〕與函數(shù)在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是〔〕A．B．C．D．【答案】C【方法點(diǎn)晴】此題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．這類題型也是近年高考常見(jiàn)的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無(wú)路可循．解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，利用排除法，將不合題意選項(xiàng)一一排除．【例15】【2023廣東揭陽(yáng)4月?？肌亢瘮?shù)的大致圖象是ABCD【答案】B【解析】由可排除D，由，，可排A，C，應(yīng)選B．【例16】【2023江西鷹潭二模】定義運(yùn)算：，那么函數(shù)的圖象大致為〔〕ABCD【答案】A【跟蹤練習(xí)】1．【2023浙江嘉興模擬】假設(shè)函數(shù)的圖象如下圖，那么〔〕A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】由圖易知，而函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向下平移個(gè)單位得到的，而函數(shù)恒過(guò)點(diǎn)，所以由圖可知，應(yīng)選D．【技巧點(diǎn)撥】識(shí)別指數(shù)型函數(shù)的圖象主要考慮三點(diǎn)：〔1〕圖象的走向，即判斷其單調(diào)性確定圖象與底數(shù)的關(guān)系；〔2〕由指數(shù)函數(shù)所過(guò)定點(diǎn)確定指數(shù)型函數(shù)所過(guò)的定點(diǎn)位置；〔3〕由指數(shù)函數(shù)的漸近線線軸確定指數(shù)型函數(shù)的漸近線位置．2．【2023河南天一大聯(lián)考】是大于0的常數(shù)，把函數(shù)和的圖象畫(huà)在同一坐標(biāo)系中，選項(xiàng)中不可能出現(xiàn)的是〔〕A．B．C．D．【答案】D考向9指數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用【例17】【2023安徽阜陽(yáng)臨泉一中二模】假設(shè)點(diǎn)分別是函數(shù)與的圖像上的點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)恰好為原點(diǎn)，那么稱為兩函數(shù)的一對(duì)“孿生點(diǎn)〞，假設(shè)，，那么這兩個(gè)函數(shù)的“孿生點(diǎn)〞共有〔〕A．對(duì)B．對(duì)C．對(duì)D．對(duì)【答案】B【解析】根據(jù)題意：由“孿生點(diǎn)〞，可知，欲求的“孿生點(diǎn)〞，只須作出函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，看它與函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．如圖，觀察圖象可得：它們的交點(diǎn)對(duì)數(shù)是：2．即兩函數(shù)的“孿生點(diǎn)〞有：2對(duì)．故答案選B．點(diǎn)睛：此題涉及新概念的題型，屬于創(chuàng)新題，有一定的難度．解決此類問(wèn)題時(shí)，要緊扣給出的定義、法那么以及運(yùn)算，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想即可得到答案．【例18】【2023江西南昌一?！渴嵌x在上的奇函數(shù)，且時(shí)，，那么函數(shù)〔為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)〕的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是〔〕A．0B．1C．2D．【答案】C點(diǎn)睛:此題主要考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決．要能熟練掌握幾種根本函數(shù)圖像，如二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)等．掌握平移變換，伸縮變換，對(duì)稱變換，翻折變換，周期變換等常用的方法技巧來(lái)快速處理圖像．能利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)作出函數(shù)的草圖．【例19】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為〔〕A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程的根，也是函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖象易知交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，即函數(shù)的零點(diǎn)為2，應(yīng)選C．【思維點(diǎn)撥】圖象法是解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常用方法，通常情況是將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)新函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題【例20】【2023安徽合肥一?！亢瘮?shù)，．方程有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，那么的取值范圍是〔〕A．B．C．D．【答案】D【例21】【2023高考全真模擬卷】函數(shù)，設(shè)方程的四個(gè)實(shí)根從小到大依次為，對(duì)于滿足條件的任意一組實(shí)根，以下判斷中一定正確的為〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】不妨令，函數(shù)f〔x〕圖象與函數(shù)的圖象如圖，那么方程的根即為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象可知，可能大于2，所以A錯(cuò)誤，又，所以，所以B錯(cuò)誤；，所以，那么C錯(cuò)誤，綜上可知選D．【跟蹤練習(xí)】1．【2023廣東茂名五大聯(lián)盟學(xué)校9月份聯(lián)考】假設(shè)關(guān)于的不等式在上恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是()A．B．C．D．【答案】D2．【2023黑龍江哈爾濱三中二模】函數(shù)，與函數(shù)，假設(shè)與的圖象上分別存在點(diǎn)，使得關(guān)于直線對(duì)稱，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是〔〕．A．B．C．D．【答案】B【解析】由題設(shè)問(wèn)題可化為函數(shù)的反函數(shù)的圖像與在區(qū)間上有解的問(wèn)題．即方程在區(qū)間上有解，由此可得，即，所以，應(yīng)填答案．3．【2023河南息縣一中第七次適應(yīng)性考試】函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，假設(shè)函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上同時(shí)單調(diào)遞增或同時(shí)單調(diào)遞減，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是〔〕A．B．C．D．【答案】A【思路點(diǎn)