離散數(shù)學(xué)群與環(huán)

離散數(shù)學(xué)群與環(huán)1第一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日半群、獨(dú)異點(diǎn)與群的定義半群、獨(dú)異點(diǎn)、群的實(shí)例群中的術(shù)語(yǔ)群的基本性質(zhì)10.1群的定義與性質(zhì)2第二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日半群、獨(dú)異點(diǎn)與群的定義定義10.1(1)設(shè)V=<S,°

>是代數(shù)系統(tǒng)，°為二元運(yùn)算，如果°運(yùn)算是可結(jié)合的，則稱V為半群.(2)設(shè)V=<S,°>是半群，若e∈S是關(guān)于°運(yùn)算的單位元，則稱V是含幺半群，也叫做獨(dú)異點(diǎn).有時(shí)也將獨(dú)異點(diǎn)V記作V=<S,°,e>.(3)設(shè)V=<S,°>是獨(dú)異點(diǎn)，eS關(guān)于°運(yùn)算的單位元，若aS，a1S，則稱V是群.通常將群記作G.3第三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)例例1

(1)<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+是普通加法.這些半群中除<Z+,+>外都是獨(dú)異點(diǎn).(2)設(shè)n是大于1的正整數(shù)，<Mn(R),+>和<Mn(R),·>都是半群，也都是獨(dú)異點(diǎn)，其中+和·分別表示矩陣加法和矩陣乘法.(3)<P(B),>為半群，也是獨(dú)異點(diǎn)，其中為集合對(duì)稱差運(yùn)算.(4)<Zn,>為半群，也是獨(dú)異點(diǎn)，其中Zn={0,1,…,n1}，為模n加法.(5)<AA,?>為半群，也是獨(dú)異點(diǎn)，其中?為函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算.(6)<R*,?>為半群，其中R*為非零實(shí)數(shù)集合，?運(yùn)算定義如下：x,yR*,x?y=y.4第四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日例2

設(shè)G={e,a,b,c}，G上的運(yùn)算由下表給出，稱為Klein四元群

eabceabc

eabcaecbbceacbae實(shí)例特征：1.滿足交換律2.每個(gè)元素都是自己的逆元3.a,b,c中任何兩個(gè)元素運(yùn)算結(jié)果都等于剩下的第三個(gè)元素5第五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日有關(guān)群的術(shù)語(yǔ)定義10.2(1)若群G是有窮集，則稱G是有限群，否則稱為無(wú)限群.群G的基數(shù)稱為群G的階，有限群G的階記作|G|.(2)只含單位元的群稱為平凡群.

(3)若群G中的二元運(yùn)算是可交換的，則稱G為交換群或阿貝爾(Abel)群.6第六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日有關(guān)群的術(shù)語(yǔ)實(shí)例：<Z,+>和<R,+>是無(wú)限群.<Zn,>是有限群，也是n階群.Klein四元群是4階群.<{0},+>是平凡群.上述群都是交換群，n階(n≥2)實(shí)可逆矩陣集合關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成的群是非交換群.7第七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定義10.3

設(shè)G是群，a∈G，n∈Z，則a的n次冪.群中元素的冪群中元素可以定義負(fù)整數(shù)次冪.在<Z3,>中有

23

=(21)3=13=111=0

在<Z,+>中有

(2)3

=23=2+2+2=6

8第八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日元素的階定義10.4

設(shè)G是群，a∈G，使得等式ak=e成立的最小正整數(shù)k稱為a的階，記作|a|=k，稱a為k階元.

若不存在這樣的正整數(shù)k，則稱a為無(wú)限階元.例如，在<Z6,>中，

2和4是3階元，

3是2階元，

1和5是6階元，

0是1階元.在<Z,+>中，0是1階元，其它整數(shù)的階都不存在.

9第九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日群的性質(zhì)：冪運(yùn)算規(guī)則定理10.1

設(shè)G為群，則G中的冪運(yùn)算滿足：(1)a∈G，(a1)1=a(2)a,b∈G，(ab)1=b1a1(3)a∈G，anam=an+m，n,m∈Z(4)a∈G，(an)m=anm，n,m∈Z(5)若G為交換群，則(ab)n=anbn.10第十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日群的性質(zhì)：方程存在惟一解定理10.2G為群，a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且僅有惟一解.證a1b代入方程左邊的x得

a(a1b)=(aa1)b=eb=b所以a1b是該方程的解.下面證明惟一性.

假設(shè)c是方程ax=b的解，必有ac=b，從而有

c=ec=(a1a)c=a1(ac)=a1b

同理可證ba1是方程ya=b的惟一解.11第十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日群的性質(zhì)：方程存在惟一解例3

設(shè)群G=<P({a,b}),>，其中為對(duì)稱差.解下列群方程：{a}X=，Y{a,b}=解X={a}1={a}={a}，

Y={a,b}1={a,b}={a}12第十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日群的性質(zhì)：消去律定理10.3G為群，則G中適合消去律，即對(duì)任意a,b,c∈G

有(1)若ab=ac，則b=c.(2)若ba=ca，則b=c.例4

設(shè)G={a1,a2,…,an}是n階群，令

aiG={aiaj

|j=1,2,…,n}證明aiG=G.證由群中運(yùn)算的封閉性有aiGG.假設(shè)aiGG，即|aiG|<n.必有aj,ak∈G使得

aiaj

=aiak

（j≠k）由消去律得aj

=ak,與|G|=n矛盾.13第十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日群的性質(zhì)：元素的階證(1)充分性.由于r|k，必存在整數(shù)m使得k=mr，所以有ak

=amr

=(ar)m

=em=e.必要性.根據(jù)除法，存在整數(shù)m和i使得

k=mr+i,0≤i≤r1從而有e=ak

=amr+i=(ar)mai=eai

=ai因?yàn)閨a|=r，必有i=0.這就證明了r|k.定理10.4G為群，a∈G且|a|=r.設(shè)k是整數(shù)，則(1)ak=e當(dāng)且僅當(dāng)r|k

(2)|a1|=|a|14第十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日群的性質(zhì)：元素的階證(2)由(a1)r

=(ar)1=e1=e可知a1的階存在.令|a1|=t，根據(jù)上面的證明有t|r.

a又是a1的逆元，所以r|t.從而證明了r=t，即|a1|=|a|.定理10.4G為群，a∈G且|a|=r.設(shè)k是整數(shù)，則(1)ak=e當(dāng)且僅當(dāng)r|k

(2)|a1|=|a|15第十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)例例5

設(shè)G是群，a,b∈G是有限階元.證明(1)|b1ab|=|a|(2)|ab|=|ba|證(1)設(shè)|a|=r，|b1ab|=t，則有從而有t|r.另一方面，由a=(b1)1(b1ab)b1可知

r|t.從而有|b1ab|=|a|.16第十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)例(2)設(shè)|ab|=r，|ba|=t，則有由消去律得(ab)t=e，從而可知，r|t.同理可證t|r.因此|ab|=|ba|.17第十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日10.2

子群與群的陪集分解定義10.5

設(shè)G是群，H是G的非空子集，(1)如果H關(guān)于G中的運(yùn)算構(gòu)成群，則稱H是G的子群,記作H≤G.(2)若H是G的子群，且HG，則稱H是G的真子群，記作H<G.例如nZ(n是自然數(shù))是整數(shù)加群<Z,+>的子群.當(dāng)n≠1時(shí),nZ是Z的真子群.

對(duì)任何群G都存在子群.

G和{e}都是G的子群，稱為G的平凡子群.

18第十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日子群判定定理1定理10.5（判定定理一）設(shè)G為群，H是G的非空子集，則H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)(1)a,b∈H有ab∈H(2)a∈H有a1∈H.證必要性是顯然的.為證明充分性，只需證明e∈H.因?yàn)镠非空，存在a∈H.由條件(2)知a1∈H，根據(jù)條件(1)aa1∈H，即e∈H.

19第十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日子群判定定理2定理10.6

（判定定理二）設(shè)G為群，H是G的非空子集.H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)a,b∈H有ab1∈H.

證必要性顯然.只證充分性.因?yàn)镠非空，必存在a∈H.根據(jù)給定條件得aa1∈H，即e∈H.任取a∈H,由e,a∈H

得ea1∈H，即a1∈H.任取a,b∈H，知b1∈H.再利用給定條件得a(b1)1∈H，即ab∈H.綜合上述，可知H是G的子群.20第二十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日子群判定定理3定理10.7

（判定定理三）

設(shè)G為群，H是G的非空有窮子集，則H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)a,b∈H有ab∈H.證必要性顯然.為證充分性，只需證明a∈H有a1∈H.任取a∈H,若a=e,則a1=e∈H.若a≠e，令S={a,a2,…}，則SH.由于H是有窮集，必有ai

=aj（i<j）.根據(jù)G中的消去律得aji

=e，由a≠e可知ji>1，由此得aji1a=e

和aaji1=e從而證明了a1=aji1∈H.21第二十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日典型子群的實(shí)例:生成子群定義10.6

設(shè)G為群，a∈G，令H={ak|k∈Z}，則H是G的子群，稱為由a生成的子群，記作<a>.證首先由a∈<a>知道<a>≠.任取am,al∈<a>，則

am(al)1=amal

=aml∈<a>根據(jù)判定定理二可知<a>≤G.實(shí)例：例如整數(shù)加群，由2生成的子群是

<2>={2k|k∈Z}=2Z<Z6,>中，由2生成的子群<2>={0,2,4}Klein四元群G={e,a,b,c}的所有生成子群是：

<e>={e},<a>={e,a},<b>={e,b},<c>={e,c}.

22第二十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日典型子群的實(shí)例:中心C定義10.7

設(shè)G為群,令C={a|a∈G∧x∈G(ax=xa)}，則C是G的子群，稱為G的中心.證e∈C.C是G的非空子集.任取a,b∈C，只需證明ab1與G中所有的元素都可交換.x∈G，有

(ab1)x=ab1x=ab1(x1)1

=a(x1b)1=a(bx1)1=a(xb1)=(ax1)b1=(xa)b1=x(ab1)由判定定理二可知C≤G.對(duì)于阿貝爾群G，因?yàn)镚中所有的元素互相都可交換，G的中心就等于G.但是對(duì)某些非交換群G，它的中心是{e}.23第二十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日典型子群的實(shí)例:子群的交例6

設(shè)G是群，H,K是G的子群.證明(1)H∩K也是G的子群.(2)H∪K是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)HK或KH.證(1)由e∈H∩K

知H∩K非空.任取a,b∈H∩K，則a∈H,a∈K,b∈H,b∈K.必有ab1∈H和ab1∈K，從而ab1∈H∩K.因此H∩KG.24第二十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日典型子群的實(shí)例:子群的交例6

設(shè)G是群，H,K是G的子群.證明(1)H∩K也是G的子群.(2)H∪K是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)HK或KH.證(2)充分性顯然，只證必要性.用反證法.假設(shè)H?K且K?H，那么存在h和k使得

h∈H∧hK,k∈K∧kH推出hkH.否則由h1∈H得k=h1(hk)∈H，與假設(shè)矛盾.同理可證hkK.從而得到hkH∪K.與H∪K是子群矛盾.

25第二十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D1定義10.8

設(shè)G為群,令

L(G)={H|H是G的子群}則偏序集<L(G),>稱為G的子群格.子群格實(shí)例：Klein四元群的子群格如下：

26第二十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日陪集定義與實(shí)例定義10.9

設(shè)H是G的子群，a∈G.令

Ha={ha|h∈H}稱Ha是子群H在G中的右陪集.稱a為Ha的代表元素.

例7(1)設(shè)G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=<a>是G的子群.H所有的右陪集是：

He={e,a}=H,Ha={a,e}=H,Hb={b,c},Hc={c,b}不同的右陪集只有兩個(gè)，即H和{b,c}.27第二十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)例(2)設(shè)A={1,2,3}，f1,f2,…,f6是A上的雙射函數(shù).其中

f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}，f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>}

f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}，f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}

f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}，f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}令G={f1,f2,…,f6}，則G關(guān)于函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成群.考慮G的子群H={f1,f2}.做出H的全體右陪集如下:

Hf1={f1f1,f2f1}=H,Hf2={f1f2,f2f2}=H

Hf3={f1f3,f2f3}={f3,f5},Hf5={f1f5,f2f5}={f5,f3}

Hf4={f1f4,f2f4}={f4,f6},Hf6={f1f6,f2f6}={f6,f4}結(jié)論：Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6.28第二十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日陪集的基本性質(zhì)定理10.8

設(shè)H是群G的子群，則(1)He=H(2)a∈G有a∈Ha證(1)He={he|h∈H}={h|h∈H}=H

(2)任取a∈G，由a=ea和ea∈Ha得a∈Ha29第二十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定理10.9

設(shè)H是群G的子群，則a,b∈G有

a∈Hb

ab1∈H

Ha=Hb陪集的基本性質(zhì)證先證a∈Hb

ab1∈H

a∈Hb

h(h∈H∧a=hb)

h(h∈H∧ab1=h)

ab1∈H

30第三十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定理10.9

設(shè)H是群G的子群，則a,b∈G有

a∈Hb

ab1∈H

Ha=Hb陪集的基本性質(zhì)證再證a∈Hb

Ha=Hb.充分性.若Ha=Hb，由a∈Ha可知必有a∈Hb.必要性.由a∈Hb可知存在h∈H使得a=hb，即b=h1a

任取h1a∈Ha，則有h1a=h1(hb)=(h1h)b∈Hb

從而得到HaHb.反之，任取h1b∈Hb，則有

h1b=h1(h1a)=(h1h1)a∈Ha從而得到HbHa.綜合上述，Ha=Hb得證.31第三十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定理10.10

設(shè)H是群G的子群，在G上定義二元關(guān)系R:a,b∈G,<a,b>∈R

ab1∈H則R是G上的等價(jià)關(guān)系，且[a]R=Ha.陪集的基本性質(zhì)證先證明R為G上的等價(jià)關(guān)系.

再證明：a∈G，[a]R

=Ha.

任取b∈G，

b∈[a]R

<a,b>∈R

ab1∈H

Ha=Hb

b∈Ha32第三十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日推論推論設(shè)H是群G的子群,則(1)a,b∈G，Ha=Hb

或Ha∩Hb=

(2)∪{Ha|a∈G}=G

證明：由等價(jià)類性質(zhì)可得.定理10.11

設(shè)H是群G的子群，則

a∈G，H≈

Ha

33第三十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日左陪集的定義與性質(zhì)設(shè)G是群，H是G的子群，H的左陪集，即

aH={ah|h∈H}，a∈G

關(guān)于左陪集有下述性質(zhì)：(1)eH=H(2)a∈G，a∈aH

(3)a,b∈G，a∈bH

b1a∈H

aH=bH(4)若在G上定義二元關(guān)系R，

a,b∈G，<a,b>∈R

b1a∈H

則R是G上的等價(jià)關(guān)系，且[a]R

=aH.(5)a∈G，H≈aH34第三十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日Lagrange定理定理10.12

（Lagrange）設(shè)G是有限群，H是G的子群，則|G|=|H|·[G:H]其中[G:H]是H在G中的不同右陪集(或左陪集)數(shù)，稱為H在G中的指數(shù).證設(shè)[G:H]=r，a1,a2,…,ar分別是H的r個(gè)右陪集的代表元素，G=Ha1∪Ha2∪…∪Har

|G|=|Ha1|+|Ha2|+…+|Har|由|Hai|=|H|，i=1,2,…,r,得

|G|=|H|·r=|H|·[G:H]35第三十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日Lagrange定理的推論推論1

設(shè)G是n階群，則a∈G，|a|是n的因子，且有an

=e.證任取a∈G，<a>是G的子群，<a>的階是n的因子.<a>是由a生成的子群，若|a|=r，則

<a>={a0=e,a1,a2,…,ar1}即<a>的階與|a|相等,所以|a|是n的因子.從而an

=e.36第三十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日Lagrange定理的推論推論2

對(duì)階為素?cái)?shù)的群G，必存在a∈G使得G=<a>.證設(shè)|G|=p，p是素?cái)?shù).由p≥2知G中必存在非單位元.任取a∈G，a≠e，則<a>是G的子群.根據(jù)拉格朗日定理，<a>的階是p的因子，即<a>的階是p或1.

顯然<a>的階不是1，這就推出G=<a>.

37第三十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日Lagrange定理的應(yīng)用命題：如果群G只含1階和2階元，則G是Abel群.證設(shè)a為G中任意元素，有a1=a.任取x,y∈G，則

xy=(xy)1=y1x1=yx，因此G是Abel群.38第三十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日Lagrange定理的應(yīng)用例8

證明6階群中必含有3階元.證設(shè)G是6階群，則G中元素只能是1階、2階、3階或6階.若G中含有6階元，設(shè)為a，則a2是3階元.若G中不含6階元，下面證明G中必含有3階元.如若不然，G中只含1階和2階元，即a∈G，有a2=e，由命題知G是Abel群.取G中2階元a和b，a

b，令H={e,a,b,ab}，則H是G的子群，但|H|=4，|G|=6，與拉格朗日定理矛盾.

39第三十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日例9

證明階小于6的群都是Abel群.Lagrange定理的應(yīng)用證1階群是平凡的，顯然是阿貝爾群.2,3和5都是素?cái)?shù)，由推論2它們都是單元素生成的群，都是Abel群.設(shè)G是4階群.若G中含有4階元，比如說a，則G=<a>，由上述分析可知G是Abel群.若G中不含4階元，G中只含1階和2階元，由命題可知G也是Abel群.40第四十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日10.3

循環(huán)群與置換群定義10.10

設(shè)G是群，若存在a∈G使得G={ak|k∈Z}則稱G是循環(huán)群，記作G=<a>，稱a為G的生成元.

循環(huán)群的分類：n階循環(huán)群和無(wú)限循環(huán)群.

設(shè)G=<a>是循環(huán)群，若a是n階元，則

G={a0=e,a1,a2,…,an1}那么|G|=n，稱G為n階循環(huán)群.若a是無(wú)限階元，則

G={a0=e,a±1,a±2,…}稱G為無(wú)限循環(huán)群.

41第四十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日循環(huán)群的生成元定理10.13

設(shè)G=<a>是循環(huán)群.

(1)若G是無(wú)限循環(huán)群，則G只有兩個(gè)生成元，即a和a1.

(2)若G是n階循環(huán)群，則G含有(n)個(gè)生成元.對(duì)于任何小于n且與n互質(zhì)的數(shù)r∈{0,1,…,n-1},ar是G的生成元.(n)稱為歐拉函數(shù)，例如n=12，小于或等于12且與12互素的正整數(shù)有4個(gè)：

1,5,7,11，所以(12)=4.42第四十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日證明證(1)顯然<a1>G.ak∈G，

ak=(a1)k

<a1>，因此G<a1>，a1是G的生成元.再證明G只有a和a1這兩個(gè)生成元.假設(shè)b也是G的生成元，則

G=<b>.由a∈G可知存在整數(shù)t使得a=

bt.由b∈G=<a>知存在整數(shù)m使得b=am.從而

a=bt=(am)t=amt由G中的消去律得

amt1=e因?yàn)镚是無(wú)限群，必有mt1=0.從而證明了m=t=1或m=t=1，即b=a或b=a1.43第四十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日(2)只須證明：對(duì)任何正整數(shù)r(r≤n)，

ar是G的生成元

n與r互質(zhì).

充分性.設(shè)r與n互質(zhì)，且r≤n，那么存在整數(shù)u和v使得ur+vn=1從而a=aur+vn=(ar)u(an)v=(ar)u這就推出ak∈G，ak

=(ar)uk∈<ar>，即G<ar>.另一方面，顯然有<ar>G.從而G=<ar>.必要性.設(shè)ar是G的生成元，則|ar|=n.令r與n的最大公約數(shù)為d，則存在正整數(shù)t使得r=dt.因此,|ar|是n/d的因子，即n整除n/d.從而證明了d=1.證明44第四十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)例例10(1)設(shè)G={e,a,…,a11}是12階循環(huán)群，則(12)=4.小于12且與12互素的數(shù)是1,5,7,11,由定理10.13可知a,a5,a7

和a11是G的生成元.(2)設(shè)G=<Z9,>是模9的整數(shù)加群，則(9)=6.小于9且與9互素的數(shù)是1,2,4,5,7,8.根據(jù)定理10.13，G的生成元是1,2,4,5,7和8.(3)設(shè)G=3Z={3z|z∈Z},G上的運(yùn)算是普通加法.那么G只有兩個(gè)生成元：3和3.45第四十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日循環(huán)群的子群定理10.14

設(shè)G=<a>是循環(huán)群.

(1)設(shè)G=<a>是循環(huán)群，則G的子群仍是循環(huán)群.(2)若G=<a>是無(wú)限循環(huán)群，則G的子群除{e}以外都是無(wú)限循環(huán)群.(3)若G=<a>是n階循環(huán)群，則對(duì)n的每個(gè)正因子d，G恰好含有一個(gè)d階子群.46第四十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日證明證(1)設(shè)H是G=<a>的子群，若H={e}，顯然H是循環(huán)群，否則取H中的最小正方冪元am，下面證明H=<am>.易見<am>H.下面證明H<am>.為此，只需證明H中任何元素都可表成am的整數(shù)次冪.任取al∈H，由除法可知存在整數(shù)q和r，使得l=qm+r，其中0≤r≤m1ar=alqm=al(am)q由al,am∈H且H是G的子群可知ar∈H.因?yàn)閍m是H中最小正方冪元，必有r=0.這就推出

al

=(am)q∈<am>47第四十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日證明(2)設(shè)G=<a>是無(wú)限循環(huán)群，H是G的子群.若H≠{e}可知H=<am>，其中am為H中最小正方冪元.假若|H|=t，則|am|=t，從而得到amt

=e.這與a為無(wú)限階元矛盾.48第四十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日證明(3)設(shè)G=<a>是n階循環(huán)群，則G={a0=e,a1,…,an1}下面證明對(duì)于n的每個(gè)正因子d都存在一個(gè)d階子群.易見是G的d階子群.假設(shè)H1=<am>也是G的d階子群，其中am為H1中的最小正方冪元.則由

(am)d=e

可知n整除md，即n/d整除m.令m=(n/d)·l，l是整數(shù)，則有

這就推出H1H.又由于|H1|=|H|=d，得H1=H.

49第四十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)例例11(1)G=<Z,+>是無(wú)限循環(huán)群，其生成元為1和1.

對(duì)于自然數(shù)m∈N，1的m次冪是m，m生成的子群是mZ，m∈N.即

<0>={0}=0Z

<m>={mz|z∈Z}=mZ，m>0(2)G=Z12是12階循環(huán)群.12正因子是1,2,3,4,6和12，G的子群:

1階子群<12>=<0>={0}

2階子群<6>={0,6}

3階子群<4>={0,4,8}

4階子群<3>={0,3,6,9}

6階子群<2>={0,2,4,6,8,10}

12階子群<1>=Z12

50第五十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日n元置換及乘法定義10.11

設(shè)S={1,2,…,n},S上的任何雙射函數(shù)σ:S→S稱為S上的n元置換.例如S={1,2,3,4,5},下述為5元置換定義10.12

設(shè)σ,τ是n元置換,σ和τ的復(fù)合σ

°τ也是n元置換,稱為σ與τ的乘積,記作στ.例如51第五十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日n元置換的輪換表示定義10.13

設(shè)σ是S={1,2,…,n}上的n元置換。若

(i1)=i2,(i2)=i3,…,(ik1)=ik,(ik)=i1且保持S中其它元素不變，則稱σ是S上的k階輪換.記作(i1

i2…ik)。若k=2，稱σ是S上的對(duì)換.52第五十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日n元置換的輪換表示設(shè)S={1,2,…,n}，對(duì)于任何S上的n元置換,存在著一個(gè)有限序列i1,i2,…,ik,k≥1,(可以取i1=1)使得(i1)=i2,(i2)=i3,…,(ik1)=ik,(ik)=i1令1=(i1

i2…ik)是分解的第一個(gè)輪換.將寫作1,

繼續(xù)對(duì)分解.由于S只有n個(gè)元素,經(jīng)過有限步得到

=

1

2…

t53第五十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日n元置換的輪換表示輪換分解式的特征輪換的不交性分解的惟一性:若

=12…t

和

=12…s

是的兩個(gè)輪換表示式，則有

{1,2,…,t}={1,

2,…,s}54第五十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日例12

設(shè)S={1,2,…,8},

則輪換分解式為：

=(15236)(4)(78)=(15236)(78)

=(18342)(567)實(shí)例55第五十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日置換的對(duì)換分解設(shè)S={1,2,…,n}，

=(i1

i2…ik)是S上的k階輪換，

可以進(jìn)一步表成對(duì)換之積，即

(i1

i2…ik)=(i1

i2)(i1i3)…(i1

ik)任何n元置換表成輪換之積，然后將每個(gè)輪換表成對(duì)換之積.例如8元置換

=(15236)(78)=(15)(12)(13)(16)(78)=(18342)(567)=(18)(13)(14)(12)(56)(57)56第五十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)換分解的特征對(duì)換分解式中對(duì)換之間可以有交，分解式也不惟一.

例如4元置換

可以有下面不同的對(duì)換表示：

=(12)(13)，

=(14)(24)(34)(14)表示式中所含對(duì)換個(gè)數(shù)的奇偶性是不變的.

如果n元置換可以表示成奇數(shù)個(gè)對(duì)換之積，則稱為奇置換，否則稱為偶置換.

不難證明奇置換和偶置換各有n!/2個(gè).57第五十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日n元置換群所有的n元置換構(gòu)成的集合Sn關(guān)于置換乘法構(gòu)成群，

稱為n元對(duì)稱群.n元對(duì)稱群的子群稱為n元置換群.例13

設(shè)S={1,2,3}，3元對(duì)稱群S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}

(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)

(1)(12)(13)(23)(123)(132)(12)(1)(123)(132)(13)(23)(13)(132)(1)(123)(23)(12)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(123)(23)(12)(13)(132)(1)(132)(13)(23)(12)(1)(123)58第五十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日Sn的子群n元交錯(cuò)群An是Sn的子群，An是所有的n元偶置換的集合.證恒等置換(1)是偶置換，所以An非空.根據(jù)判定定理三，只需證明封閉性：任取,∈An，,

都可以表成偶數(shù)個(gè)對(duì)換之積，那么

也可以表成偶數(shù)個(gè)對(duì)換之積，所以

∈An.59第五十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日Sn的子群實(shí)例：S3的子群格S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},A3={(1),(123),(132)},{(1)},{(1),(12)},{(1),(13)},{(1),(23)}.60第六十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日10.4環(huán)與域

定義10.12

設(shè)<R,+,·>是代數(shù)系統(tǒng)，+和·是二元運(yùn)算.如果滿足以下條件:(1)<R,+>構(gòu)成交換群(2)<R,·>構(gòu)成半群(3)·運(yùn)算關(guān)于+運(yùn)算適合分配律則稱<R,+,·>是一個(gè)環(huán).通常稱+運(yùn)算為環(huán)中的加法，·運(yùn)算為環(huán)中的乘法.環(huán)中加法單位元記作0，乘法單位元（如果存在）記作1.對(duì)任何元素x，稱x的加法逆元為負(fù)元，記作x.若x存在乘法逆元的話，則稱之為逆元，記作x1.61第六十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日環(huán)的實(shí)例例15(1)整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集和復(fù)數(shù)集關(guān)于普通的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，分別稱為整數(shù)環(huán)Z，有理數(shù)環(huán)Q，實(shí)數(shù)環(huán)R和復(fù)數(shù)環(huán)C.(2)n(n≥2)階實(shí)矩陣的集合Mn(R)關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，稱為n階實(shí)矩陣環(huán).(3)集合的冪集P(B)關(guān)于集合的對(duì)稱差運(yùn)算和交運(yùn)算構(gòu)成環(huán).(4)設(shè)Zn＝{0,1,...,n－1}，和分別表示模n的加法和乘法，則<Zn,,>構(gòu)成環(huán)，稱為模n的整數(shù)環(huán).62第六十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日定理10.16

設(shè)<R,+,·>是環(huán)，則

(1)a∈R，a0=0a=0

(2)a,b∈R，(a)b=a(b)=ab

(3)a,b,c∈R，a(bc)=abac，(bc)a=baca

(4)a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2)

環(huán)的運(yùn)算性質(zhì)

63第六十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日

環(huán)的運(yùn)算性質(zhì)

證(1)a∈R有a0=a(0+0)=a0+a0

由環(huán)中加法的消去律得a0=0.同理可證0a=0.

(2)a,b∈R，有

(a)b+ab=(a+a)b=0b=0

ab+(a)b=(a+(a))b=0b=0

(a)b是ab的負(fù)元.由負(fù)元惟一性(a)b=ab.同理a(b)=ab

.64第六十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日同理可證,b1,b2,...,bm有

(4)證明思路：用歸納法證明a1,a2,...,an有于是證明(4)65第六十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)例例16

在環(huán)中計(jì)算(a+b)3,(ab)2解(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)

=(a2+ba+ab+b2)(a+b)

=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3

(ab)2=(ab)(ab)=a2baab+b2

66第六十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日特殊的環(huán)定義10.13

設(shè)<R,+,·>是環(huán)(1)若環(huán)中乘法·適合交換律，則稱R是交換環(huán).(2)若環(huán)中乘法·存在單位元，則稱R是含幺環(huán).(3)若a,b∈R，ab=0

a=0∨b=0，則稱R是無(wú)零因子環(huán).(4)若R既是交換環(huán)、含幺環(huán)、無(wú)零因子環(huán)，則稱R是整環(huán).(5)設(shè)R是整環(huán)，且R中至少含有兩個(gè)元素.若a∈R*，其中R*=R{0}，都有a－1∈R，則稱R是域.67第六十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日例17(1)整數(shù)環(huán)Z、有理數(shù)環(huán)Q、實(shí)數(shù)環(huán)R、復(fù)數(shù)環(huán)C都是交換環(huán),含幺環(huán),無(wú)零因子環(huán)和整環(huán).除了整數(shù)環(huán)以外都是域.(2)令2Z={2z|z∈Z}，則<2Z,+,·>構(gòu)成交換環(huán)和無(wú)零因子環(huán).但不是含幺環(huán)和整環(huán).(3)設(shè)nZ,n2,則n階實(shí)矩陣的集合Mn(R)關(guān)于矩陣加法和乘法構(gòu)成環(huán)，它是含幺環(huán)，但不是交換環(huán)和無(wú)零因子環(huán)，也不是整環(huán).(4)<Z6,,>構(gòu)成環(huán)，它是交換環(huán),含幺環(huán),但不是無(wú)零因子環(huán)和整環(huán).23=32=0，2和3是零因子.注意：對(duì)于一般的n,Zn是整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)n是素?cái)?shù).實(shí)例68第六十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)例例18

設(shè)p為素?cái)?shù)，證明Zp是域.證p為素?cái)?shù)，所以|Zp|≥2.易見Zp可交換，單位是1,對(duì)于任意的i,j∈Zp,i≠0有

ij=0

p整除ij

p|j

j=0所以Zp中無(wú)零因子，Zp為整環(huán).

下面證明每個(gè)非零元素都有逆元.任取i∈Zp，i≠0，令

iZp={ij|j∈Zp}則iZp=Zp，否則j,k∈Zp，使得ij=ik，由消去律得j=k.由1∈Zp，存在j∈Zp，使得ij=1.由于交換性可知j就是i的逆元.69第六十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)11.判斷下列集合和運(yùn)算是否構(gòu)成半群、獨(dú)異點(diǎn)和群.(1)a

是正整數(shù)，G={an|nZ},運(yùn)算是普通乘法.(2)Q+是正有理數(shù)集，運(yùn)算為普通加法.(3)一元實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的集合關(guān)于多項(xiàng)式加法.解(1)是半群、獨(dú)異點(diǎn)和群(2)是半群但不是獨(dú)異點(diǎn)和群(3)是半群、獨(dú)異點(diǎn)和群方法：根據(jù)定義驗(yàn)證，注意運(yùn)算的封閉性70第七十頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日2.設(shè)V1=<Z,+>,V2=<Z,>,其中Z為整數(shù)集合,+和

分別代表普通加法和乘法.判斷下述集合S是否構(gòu)成V1和V2的子半群和子獨(dú)異點(diǎn).(1)S={2k|kZ}(2)S={2k+1|kZ}(3)S={1,0,1}解(1)S關(guān)于V1構(gòu)成子半群和子獨(dú)異點(diǎn)，但是關(guān)于V2僅構(gòu)成子半群(2)S關(guān)于V1不構(gòu)成子半群也不構(gòu)成子獨(dú)異點(diǎn)，S關(guān)于V2構(gòu)成子半群和子獨(dú)異點(diǎn)(3)S關(guān)于V1不構(gòu)成子半群和子獨(dú)異點(diǎn)，關(guān)于V2構(gòu)成子半群和子獨(dú)異點(diǎn)練習(xí)271第七十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日3.設(shè)Z18

為模18整數(shù)加群,求所有元素的階.解：|0|=1,|9|=2，|6|=|12|=3,|3|=|15|=6,|2|=|4|=|8|=|10|=|14|=|16|=9,|1|=|5|=|7|=|11|=|13|=|17|=18.練習(xí)3說明：群中元素的階可能存在，也可能不存在.對(duì)于有限群，每個(gè)元素的階都存在，而且是群的階的因子.對(duì)于無(wú)限群，單位元的階存在，是1；而其它元素的階可能存在，也可能不存在.（可能所有元素的階都存在，但是群還是無(wú)限群）.72第七十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日4．證明偶數(shù)階群必含2階元.

由x2=e

|x|=1或2.換句話說,對(duì)于G中元素x，如果|x|>2,必有x1

x.由于|x|=|x1|，階大于2的元素成對(duì)出現(xiàn)，共有偶數(shù)個(gè).那么剩下的1階和2階元總共應(yīng)該是偶數(shù)個(gè).1階元只有1個(gè)，就是單位元，從而證明了G中必有

2階元.練習(xí)473第七十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日有關(guān)群性質(zhì)的證明方法有關(guān)群的簡(jiǎn)單證明題的主要類型:證明群中的元素某些運(yùn)算結(jié)果相等證明群中的子集相等證明與元素的階相關(guān)的命題.證明群的其它性質(zhì)，如交換性等.常用的證明手段或工具是:算律：結(jié)合律、消去律和特殊元素相關(guān)的等式，如單位元、逆元等冪運(yùn)算規(guī)則和元素的階相關(guān)的性質(zhì).特別地，a為1階或2階元的充分必要條件是a1=a.74第七十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日證明方法證明群中元素相等的基本方法就是用結(jié)合律、消去律、單位元及逆元的惟一性、群的冪運(yùn)算規(guī)則等對(duì)等式進(jìn)行變形和化簡(jiǎn).證明子集相等的基本方法就是證明兩個(gè)子集相互包含證明與元素的階相關(guān)的命題，如證明階相等，階整除等.證明兩個(gè)元素的階r和s相等或證明某個(gè)元素的階等于r，基本方法是證明相互整除.在證明中可以使用結(jié)合律、消去律、冪運(yùn)算規(guī)則以及關(guān)于元素的階的性質(zhì).特別地，可能用到a為1階或2階元的充分必要條件是a1=a.75第七十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)55．設(shè)G為群，a是G中的2階元，證明G中與a可交換的元素構(gòu)成G的子群.證令H={x|xGxa=ax},下面證明H是G的子群.首先e屬于H，H是G的非空子集.任取x,yH，有

(xy1)a=x(y1a)=x(a1y)1=x(ay)1

=x(ya)1

=xa1y1

=xay1=axy1

=a(xy1)因此xy1屬于H.由判定定理命題得證.分析：證明子群可以用判定定理，特別是判定定理二.證明的步驟是：驗(yàn)證H非空任取x,yH，證明xy1H76第七十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日6.(1)設(shè)G為模12加群,求<3>在G中所有的左陪集;(2)設(shè)X={x|xR,x0,1},在X上如下定義6個(gè)函數(shù)：

f1(x)=x，f2(x)=1/x,f3(x)=1x,f4(x)=1/(1x),f5(x)=(x1)/x,f6(x)=x/(x1),

則G={f1,f2,f3,f4,f5,f6}關(guān)于函數(shù)合成運(yùn)算構(gòu)成群.求子群H={f1,f2}的所有的右陪集.練習(xí)677第七十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)6解(1)<3>={0,3,6,9},<3>的不同左陪集有3個(gè)，即

0+<3>=<3>,1+<3>=4+<3>=7+<3>=10+<3>={1,4,7,10},2+<3>=5+<3>=8+<3>=11+<3>={2,5,8,11}.(2){f1,