(浙江專版)2018年高中數學課時跟蹤檢測(十九)基本不等式新人教A版必修5

a＋b課時追蹤檢測（十九）基本不等式：ab≤2層級一學業(yè)水平達標1．以下結論正確的選項是( )1A．當x>0且x≠1時，lgx＋lgx≥21B．當x>0時，x＋≥2x1C．當x≥2時，x＋x的最小值為21D．當0<x≤2時，x－x無最大值1分析：選BA中，當0<x<1時，lgx<0，lgx＋lgx≥2不建立；由基本不等式知B正確；C中，由對勾函數的單一性，知151x＋的最小值為；D中，由函數f(x)＝x－在區(qū)間x2x13(0,2]上單一遞加，知x－x的最大值為2，應選B.2．以下各式中，對任何實數x都建立的一個式子是()A．lg(x2＋1)≥lg(2x)B．x2＋1>2x11C.x2＋1≤1D．x＋x≥2分析：選C關于A，當x≤0時，無心義，故A不恒建立；關于B，當x＝1時，x2＋1＝2x，故B不建立；關于D，當x<0時，不建立．關于C，x2＋1≥1，∴21≤1建立．故x＋1選C.3．設a，b為正數，且a＋b≤4，則以下各式中正確的一個是()1111A.a＋b<1B.a＋b≥1C.1＋1<2D.1＋1≥2abab分析：選B由于a＋b2≤42＝4，因此1111≤＋≥2≥2＝1.ab22abab44．四個不相等的正數a，b，c，d成等差數列，則()＋da＋dbcbcA.2>B.2<C.a＋d＝bcD.a＋d≤bc221分析：選A由于a，b，c，d成等差數列，則a＋d＝b＋c，又由于a，b，c，d均大于b＋c>2bc，故a＋dbc.0且不相等，因此2>5．若x>0，y>0，且2＋8＝1，則xy有()xy1A．最大值64B．最小值64C．最小值1D．最小值64228分析：選D由題意xy＝x＋yxy＝2y＋8x≥22y·8x＝8xy，∴xy≥8，即xy有最小值64，等號建立的條件是x＝4，y＝16.11，則3＋3的最小值為________．6．若>0，>0，且＋＝abababab分析：∵a>0，b>0，∴111≥2，當且僅當＝＝2時取等號，＝＋≥2，即ababababab∴a3＋b3≥2ab3≥223＝42，當且僅當＝＝2時取等號，則3＋b3的最小值為42.aba答案：427．已知正數x，y知足x2＋2xy－3＝0，則2x＋y的最小值是________．3－x2分析：由題意得，y＝2x，∴＋＝＋3－x232＋33x＋1≥，2x2xy2x2x2x3當且僅當x＝y(tǒng)＝1時，等號建立．答案：3x8．若對隨意x>0，x2＋3x＋1≤a恒建立，則a的取值范圍是________．1分析：由于x>0，因此x＋x≥2.當且僅當x＝1時取等號，x111因此有x2＋3x＋1＝1≤2＋3＝5，x＋＋3xx1，故a≥1.即x2＋3x＋1的最大值為551答案：5，＋∞49．(1)已知x<3，求f(x)＝x－3＋x的最大值；23已知x，y是正實數，且x＋y＝4，求x＋y的最小值．解：(1)∵x<3，x－3<0，44f(x)＝x－3＋x＝x－3＋(x－3)＋34－x＋3≤－24－x＋3＝－1，＝－3－x＋3－x4當且僅當3－x＝3－x，即x＝1時取等號，f(x)的最大值為－1.(2)∵x，y是正實數，13y3x∴(x＋y)x＋y＝4＋x＋y≥4＋23.3x當且僅當x＝y(tǒng)，即x＝2(3－1)，y＝2(3－3)時取“＝”號．又x＋y＝4，133∴x＋y≥1＋2，133故x＋y的最小值為1＋2.10．設a，bb＋c＋c＋aa＋b，c都是正數，試證明不等式：＋≥6.abc證明：由于a>0，b>0，c>0，bacabc因此a＋b≥2，a＋c≥2，c＋b≥2，bacabc因此a＋b＋a＋c＋c＋b≥6，bacacb當且僅當a＝b，a＝c，b＝c，即a＝b＝c時，等號建立．b＋cc＋aa＋b因此a＋b＋c≥6.層級二應試能力達標1．a，b∈R，則a2＋b2與2|ab|的大小關系是( )3A．a2＋b2≥2|ab|B．a2＋b2＝2|ab|C．a2＋2≤2||D．2＋2>2|ab|babab分析：選A∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(當且僅當|a|＝|b|時，等號建立)．1112．已知實數a，b，c知足條件a>b>c且a＋b＋c＝0，abc>0，則a＋b＋c的值( )A．必定是正數B．必定是負數C．可能是0D．正負不確立分析：選B由于a>b>c且a＋b＋c＝0，abc>0，因此a>0，b<0，c<0，且a＝－(b＋c)，111111因此a＋b＋c＝－b＋c＋b＋c，由于b<0，c<0，因此b＋c≤－2bc，11111因此－b＋c≤2bc，又b＋c≤－2bc，因此－1＋1＋1≤1－21＝－3<0，應選B.b＋cbc2bcbc2bca＋b23．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差數列，x，c，d，y成等比數列，則的cd最小值為( )A．0B．1C．2D．4a＋b＝x＋y，2222分析：選Da＋bx＋y＝x＋y＋2xy由題意，知因此＝＝cd＝xy，cdxyxyx2＋y2xy＋2≥2＋2＝4，當且僅當x＝y(tǒng)時，等號建立．x2y4．若實數x，y知足xy>0，則x＋y＋x＋2y的最大值為()A．2－2B．2＋2C．4＋22D．4－22y分析：選Dx2y12·xx＋y＋x＋2y＝y(tǒng)＋y，1＋x1＋2·xy設t＝x>0，412t12t＋1－1t1∴原式＝1＋＋2＋1＝t＋1＋2＋1＝1＋t＋t＋＝1＋1.ttt2t＋t＋31∵2t＋t≥22，∴最大值為1＋1＝4－22.22＋314y25．若兩個正實數x，y知足x＋y＝1，且不等式x＋4<m－3m有解，則實數m的取值范圍是________．分析：由于不等式x＋y2－有解，因此x＋ymin2－，由于，，且1＋4＝4<m3m4<m3mx>0y>0xyyy144y4xy4yx＋41，因此x＋4＝x＋y＝y(tǒng)＋4x＋2≥2y·4x＋2＝4，當且僅當y＝4x，即x＝2，y＝8時，等號是建立的，因此x＋y24min＝4，因此m－3m>4，即(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4.答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)6．若正數a，b知足a＋b＝1，則311a＋2＋3＋2的最小值為________．b分析：由＋＝1，知1＋1＝3b＋2＋3a＋2＝7，又＋a≤ab2b3a＋23b＋2a＋b＋9ab＋10ab2114974＝4(當且僅當a＝b＝2時等號建立)，∴9ab＋10≤4，∴9＋10≥7.ab4答案：77．某廠家擬在2016年舉行某產品的促銷活動，經檢查，該產品的年銷售量(即該產品的年產量)x(單位：萬件)與年促銷花費m(m≥0)(單位：萬元)知足x＝3－k(k為常數)，＋1m假如不舉行促銷活動，該產品的年銷售量是1萬件．已知2016年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價錢定為每件產品年均勻成本的1.5倍(產品成本包含固定投入和再投入兩部分資本，不包含促銷花費)．將2016年該產品的收益y(單位：萬元)表示為年促銷花費m的函數；該廠家2016年的促銷花費為多少萬元時，廠家的收益最大？2解：(1)由題意，可知當m＝0時，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－m＋1，又每件產品的銷售價錢為1.5×8＋16x元，x5y＝x1.5×8＋16x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－mx24＋83－m＋1－m＝－16＋m＋＋≥0)．m＋129(m1616∵m≥0，m＋1＋(m＋1)≥216＝8，當且僅當m＋1＝m＋1，即m＝3時等號建立，y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.故該廠家2016年的促銷花費為3萬元時，廠家的收益最大，最大收益為21萬