2017-2021北京初三（上）期中數(shù)學(xué)匯編：正多邊形和圓

15/152017-2021北京初三（上）期中數(shù)學(xué)匯編正多邊形和圓一、單選題1．（2021·北京市第二十二中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，正方形內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在A(yíng)D上，則的度數(shù)（

）A．25° B．50° C．45° D．100°2．（2021·北京市第五中學(xué)分校九年級(jí)期中）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，以為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，得，連接，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．3．（2021·北京師范大學(xué)第二附屬中學(xué)西城實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）弧三角形，又叫萊洛三角形，是機(jī)械字家萊洛首先進(jìn)行研究的.弧三角形是這樣畫(huà)的：先畫(huà)正三角形，然后分別以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，其邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧得到的三角形.在大片的麥田或農(nóng)田中，由農(nóng)作物倒?fàn)钚纬傻膸缀螆D案被稱(chēng)為“麥田怪圈”.圖1中的麥田怪圈主要由圓和弧三角形構(gòu)成，某研究小組根據(jù)照片嘗試在操場(chǎng)上繪制類(lèi)似的圖形.如圖2，成員甲先借繩子繞行一周畫(huà)出⊙O，再將⊙O三等分，得到A，B，三點(diǎn).接著，成員乙分別以A，B，為圓心畫(huà)出圖中的弧三角形.研究小組在A(yíng)，B，，四點(diǎn)中的某一點(diǎn)放置了檢測(cè)儀器，記成員甲所在的位置為P，成員乙所在的位置為，若將射線(xiàn)繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過(guò)甲或乙的旋轉(zhuǎn)角記為自變量x（單位：°，），甲、乙兩人到檢測(cè)儀器的距離分別記為和y2（單位：m），繪制出兩個(gè)函數(shù)的圖象（如圖3）.結(jié)合以上信息判斷，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．的半徑為 B．圖3中的值為270C．當(dāng)時(shí)，1取得最大值12 D．檢測(cè)儀器放置在點(diǎn)處4．（2019·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，點(diǎn)P在⊙O上（P不與A，B重合），則∠APB的度數(shù)為（）A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°5．（2021·北京市第三十九中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知⊙O的半徑為4，則它的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為（

）A．4 B．8 C． D．6．（2020·北京市第二中學(xué)分校九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A，B，C，D，E為⊙O的五等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M從圓心O出發(fā)，沿線(xiàn)段OA→劣弧AC→線(xiàn)段CO的路線(xiàn)做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，∠DME的度數(shù)為y，則下列圖象中表示y與t之間函數(shù)關(guān)系最恰當(dāng)?shù)氖牵?/p>

）A．B．C．D．二、填空題7．（2021·北京·東直門(mén)中學(xué)九年級(jí)期中）已知正三角形ABC的邊心距為cm，則正三角形的半徑為_(kāi)_____cm．8．（2021·北京一七一中九年級(jí)期中）2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日（πDay）．歷史上求圓周率π的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾卡西的計(jì)算方法是：當(dāng)正整數(shù)n充分大時(shí)，計(jì)算某個(gè)圓的內(nèi)接正6n邊形的周長(zhǎng)和外切正6n邊形各邊均與圓相切的正6n邊形的周長(zhǎng)，再將它們的平均數(shù)作為2π的近似值．當(dāng)n=1時(shí)，右圖是⊙O及它的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形．（1）若⊙O的半徑為1，則⊙O的內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)是_______；（2）按照阿爾卡西的方法，計(jì)算n=1時(shí)π的近似值是_______．（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：）9．（2021·北京市西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為6，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________．10．（2018·北京八十中九年級(jí)期中）正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則其外接圓的半徑為_(kāi)____，正六邊形的面積為_(kāi)____．11．（2019·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)九年級(jí)期中）頤和園是我國(guó)現(xiàn)存規(guī)模最大，保存最完整的古代皇家園林，它和承德避暑山莊、蘇州拙政園、蘇州留園并稱(chēng)為中國(guó)四大名園．該園有一個(gè)六角亭，如果它的地基是半徑為2米的正六邊形，那么這個(gè)地基的面積是_____米2．12．（2021·北京市第五中學(xué)分校九年級(jí)期中）如圖，AC是⊙O的內(nèi)接正六邊形的一邊，點(diǎn)B在弧AC上，且BC是⊙O的內(nèi)接正十邊形的一邊，若AB是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，則n=____.13．（2019·北京四中九年級(jí)期中）有一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形，若要剪一張圓形紙片完全蓋住這個(gè)正方形，則這個(gè)圓形紙片的半徑最小是____．14．（2019·北京市第十三中學(xué)分校九年級(jí)期中）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為6，則這個(gè)正六邊形的邊心距OM的長(zhǎng)為_(kāi)_．15．（2019·北京市第四十四中學(xué)九年級(jí)期中）圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)是8cm，則該正六邊形的半徑為_(kāi)___．三、解答題16．（2021·北京師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)華夏女子中學(xué)九年級(jí)期中）已知：射線(xiàn)求作：，使得點(diǎn)在射線(xiàn)上，，．作法：如圖，①在射線(xiàn)上取一點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，與射線(xiàn)相交于點(diǎn)；②以為圓心，為半徑作弧，在射線(xiàn)上方交⊙于點(diǎn)；③連接，．則即為所求的三角形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接．∵為⊙的直徑，∴__________．∵，∴等邊三角形．∴．∵點(diǎn)，都在⊙上，∴．（）（填推理的依據(jù)）∴．即為所求的三角形．

參考答案1．C【分析】連接OB、OC，由題意易得，然后根據(jù)圓周角定理可求解．【詳解】解：連接OB、OC，如圖所示：∵正方形內(nèi)接于⊙O，∴，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形與圓及圓周角定理，熟練掌握正多邊形與圓及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】利用等六邊形的性質(zhì)計(jì)算出AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)扇形面積計(jì)算公式計(jì)算即可．【詳解】解：過(guò)B點(diǎn)作AC垂線(xiàn)，垂直為G，根據(jù)正六邊形性質(zhì)可知，，∴，∴S扇形=，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積的計(jì)算，根據(jù)正六邊形性質(zhì)計(jì)算出扇形的半徑是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】如圖，根據(jù)題意，找到甲、乙對(duì)應(yīng)的圖像，然后求得，以及，，進(jìn)而求出圓半徑，再對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】解：∵將射線(xiàn)繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過(guò)甲或乙的旋轉(zhuǎn)角記為自變量，且成員乙所在的位置為，∴根據(jù)如圖3所示，實(shí)線(xiàn)部分圖像距離先保持不變，再下降至0，然后上升可判斷則實(shí)線(xiàn)部分為應(yīng)為乙的圖象，（點(diǎn)Q在以A點(diǎn)為圓心畫(huà)的上，則AQ距離不變），∴當(dāng)Q點(diǎn)從B點(diǎn)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)，圖像如圖中實(shí)線(xiàn)所示，檢測(cè)儀器應(yīng)該在A(yíng)點(diǎn)，∵Q從B點(diǎn)到A點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)的角度為個(gè)圓周，∴，結(jié)合圖可得，，如圖，連接AB、OA、OB，過(guò)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，∵OA=OB,OD⊥AB，∴∴∴，∴的半徑為如圖，當(dāng)射線(xiàn)OB轉(zhuǎn)至中點(diǎn)位置時(shí)，即P在OA所在直線(xiàn)上，y1取最大值，長(zhǎng)度為的直徑12m，此時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為60°，即.∴A、C、D正確，故選B.【點(diǎn)睛】此題考查正多邊形和圓、等腰三角形三線(xiàn)合一及弧三角形的相關(guān)問(wèn)題，根據(jù)題意找到正確的函數(shù)的圖象是解本題的關(guān)鍵.4．D【分析】連接OA，OB，構(gòu)造圓心角，分兩種情況，利用同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半求得答案即可．【詳解】解：連接OA，OB，如圖所示：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB＝＝60°，當(dāng)點(diǎn)P不在弧AB上時(shí)，∠APB＝∠AOB＝30°，當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上時(shí)，∠APB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣30°＝150°，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓以及圓周角定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造圓心角．5．D【分析】利用正方形的性質(zhì)以及勾股定理可以求得正方形的邊長(zhǎng).【詳解】如圖所示：⊙O的半徑為4，∵四邊形ABCD是正方形，∠B=90°，∴AC是⊙O的直徑，∴AC=2×4=8，∵，AB=BC，∴=64，解得：AB=4，即⊙O的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)等于4．故選D．【點(diǎn)睛】正確掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．B【詳解】根據(jù)題意，分3個(gè)階段；①P在OA之間，∠DME逐漸減小，到A點(diǎn)時(shí)，為36°，②P在弧AC之間，∠DME保持36°，大小不變，③P在CO之間，∠DME逐漸增大，到O點(diǎn)時(shí)，為72°；又由點(diǎn)P作勻速運(yùn)動(dòng)，故①③都是線(xiàn)段；分析可得：B符合3個(gè)階段的描述；故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)圖象與幾何變換，解決此類(lèi)問(wèn)題，注意將過(guò)程分成幾個(gè)階段，依次分析各個(gè)階段得變化情況，進(jìn)而綜合可得整體得變化情況．7．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，連接OB、OC、過(guò)O作OD⊥BC于D，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：如圖所示，△ABC是等邊三角形，連接OB、OC，過(guò)O作OD⊥BC于D，則，故cm．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，解直角三角形，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用等邊三角形及直角三角形的性質(zhì)解答．8．

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3.23【分析】（1）如圖，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可證得△AOB為等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解；（2）利用銳角三角函數(shù)分別計(jì)算出圓的內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)和外切正六邊形的周長(zhǎng)，再利用它們的算術(shù)平均數(shù)作為2π的近似數(shù)值即可解答．【詳解】解：（1）如圖，∵該多邊形為圓內(nèi)接正六邊形，∴∠AOB=60°，∵OA=OB=1，∴△AOB為等邊三角形，∴AB=1，即則⊙O的內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)是1,故答案為：1；（2）如圖，設(shè)圓的半徑為1，當(dāng)n=1時(shí)，可得∠AOB=60°，∠BOC=30°，則圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為1，周長(zhǎng)為6，圓外切正六邊形的邊長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，根據(jù)題意得：2π=，則π=≈1.5+1.732=3.232≈3.23，故答案為：3.23．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周率π的近似值的計(jì)算、圓的內(nèi)接和外切正多邊形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)解直角三角形，根據(jù)題意，結(jié)合圖形，計(jì)算出單位圓內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形的邊長(zhǎng)是解答的關(guān)鍵．9．2π【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)得到∠AOB=，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】如圖連接OA、OB，∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，∴∠AOB=，∴的長(zhǎng)為，故答案為：．．【點(diǎn)睛】此題考查圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，熟記圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．

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6【分析】首先根據(jù)題意作出圖形，然后可得△OBC是等邊三角形，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，求得OH的長(zhǎng)，繼而求得正六邊形的面積．【詳解】解：如圖，連接OB，OC，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC＝×360＝60，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴BC＝OB＝OC＝2，∴它的半徑為2，邊長(zhǎng)為2；∵在Rt△OBH中，OH＝OB?sin60＝2×，∴邊心距是：；∴S正六邊形ABCDEF＝6S△OBC＝6××2×＝6．故答案為：2；6【點(diǎn)睛】本題考查了圓的內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)、正多邊形的內(nèi)角和、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．11．：6【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形,易得△OBC是等邊三角形,繼而可得正六邊形的邊長(zhǎng),由S正六邊形＝6S△OBC求得結(jié)果即可．【詳解】解：如圖所示：連接OB,OC,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H∵六邊形ABCDEF是正六邊形∴∠BOC=×360°＝60°∵OB＝OC∴△OBC是等邊三角形∴BC＝OB＝OC∴BH＝BC＝1∴OH＝∴S正六邊形＝6S△OBC＝6××2×＝6故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓和正多邊形，數(shù)形結(jié)合，求出一個(gè)等邊三角形面積×6即為所得12．15.【分析】連接OB，先求得∠AOB的度數(shù)，然后利用360°除以∠AOB度數(shù)，根據(jù)所得的結(jié)果進(jìn)行分析即可得.【詳解】連接OB，∵AC是⊙O的內(nèi)接正六邊形的一邊，∴∠AOC=360°÷6=60°，∵BC是⊙O的內(nèi)接正十邊形的一邊，∴∠BOC=360°÷10=36°，∴∠AOB=60°-36°=24°，即360°÷n=24°，∴n=15，故答案為15.【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，中心角等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.注意把圓周等分，然后順次連接各個(gè)分點(diǎn)就會(huì)得到正多邊形．13．2【分析】要剪一張圓形紙片完全蓋住這個(gè)正方形,這個(gè)圓形紙片的邊緣即為其外接圓,根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度與其外接圓半徑的關(guān)系即可求出.【詳解】正方形的邊長(zhǎng)是4,則正方形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為這個(gè)圓形紙片的最小半徑是.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形與圓的知識(shí).注意正方形的外接圓半徑與的關(guān)系,這是一個(gè)需要熟記的內(nèi)容.14．3【詳解】連接OB，∵六邊形ABCDEF是⊙O內(nèi)接正六邊形，∴∠BOM==30°，∴OM=OB?cos∠BOM=6×=3，故答案為3.15．8【分析】求出正六邊形的中心角，連接兩個(gè)頂點(diǎn)，可得等邊三角形，于是可得到正六邊形的邊長(zhǎng)．【詳解】連接OA，OB，∵正六邊形，∴∠AOB==60°，又OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=8．故答案為8．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓的知識(shí)；求得正六邊形的中心角為60°，得到等邊三角形是正確解答本題的關(guān)鍵；求得中心角的度數(shù)是此類(lèi)題目常用的，比較重要，應(yīng)注意掌握．16．（1）見(jiàn)解析；（2）90；一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半【分析】（1）以點(diǎn)C為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧線(xiàn)，交圓于一點(diǎn)即為點(diǎn)D，連接AD，補(bǔ)全圖形