第五講命題邏輯上

第五講命題邏輯上第一頁，共四十二頁，2022年，8月28日第一節(jié)基本的有效推理式問題：下列推理是否有效？（1）如果張珊是中國公民并且她有選舉權(quán)，那么她年滿18歲。（2）張珊是中國公民，但是她還沒滿18歲。所以，張珊沒有選舉權(quán)。一個推理的有效性是有其形式?jīng)Q定的(p∧q)→rp∧r∴q第二頁，共四十二頁，2022年，8月28日（1）如果這種商品價格低廉并且品質(zhì)優(yōu)良，那么它就能夠暢銷。（2）該商品確實(shí)價格低廉，但是它不暢銷。所以，這種商品品質(zhì)不優(yōu)良。(p∧q)→rp∧r∴q第三頁，共四十二頁，2022年，8月28日內(nèi)容各異的種種具體推理則只是推理形式的代換實(shí)例，簡稱為例示。一個具體推理是某個推理形式的代換例示，那么代換必須是處處進(jìn)行。所謂代換處處進(jìn)行是指，用一個具體命題對一個變元進(jìn)行代換，對該變元的每一處出現(xiàn)都必須用這同一個命題來代換。

第四頁，共四十二頁，2022年，8月28日什么是一個有效的推理？如果前提真時結(jié)論必然是真的，我們就稱前提和結(jié)論之間有必然的邏輯聯(lián)系。前提和結(jié)論之間具有必然邏輯聯(lián)系的推理就是有效推理。

第五頁，共四十二頁，2022年，8月28日什么是無效推理？如果前提和結(jié)論之間不具有必然的邏輯聯(lián)系，那么前提真時結(jié)論是否為真不能確定，即不能由前提的真有效地推導(dǎo)出結(jié)論真，這樣的推理就是無效推理。第六頁，共四十二頁，2022年，8月28日有效推理的定義

設(shè)命題序列Γ=〈p1，p2，…，pn，q〉是一個推理形式，其中p1，p2，…，pn是前提，q是結(jié)論。Γ是一個有效的推理式，當(dāng)且僅當(dāng)，Γ的每一代換實(shí)例都使得：如果p1，p2，…，pn真那么q真。Γ是無效推理式，如果至少有一個Γ的代換實(shí)例使得：p1，p2，…，pn真但q假。第七頁，共四十二頁，2022年，8月28日如何判定一個推理是無（有）效式？(p∧q)→rp∧q∴r（1）如果李司是中國公民并且他有選舉選，那么他年滿18歲。（2）李司是中國公民，但是他沒有選舉權(quán)。所以，李司還沒滿18歲。第八頁，共四十二頁，2022年，8月28日2．2基本的有效推理式1簡化式（簡記為∧-）p∧q∴p組合式（簡記為∧+）

pq∴p∧q第九頁，共四十二頁，2022年，8月28日“菊花可以觀賞。菊花可以入藥。所以，菊花既可觀賞又可入藥?！薄爱?dāng)事人訂立的合同既有書面形式又有口頭形式。所以，當(dāng)事人訂立的合同有書面形式?！钡谑摚菜氖?，2022年，8月28日2選言三段論（簡記∨-）

p∨qp

∴q附加式（簡記∨+）

p

∴p∨q第十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日（1）拍賣的物品是委托人所有的或者是委托人依法可以處分的。（2）該拍賣物品不是委托人所有的。所以，該拍賣物品是委托人依法可以處分的?！钡谑?，共四十二頁，2022年，8月28日3分離式（簡記MP）

p→qp∴q（1）如果是犯罪嫌疑人，那么必有犯罪動機(jī)。（2）王武是犯罪嫌疑人。所以，王武有犯罪動機(jī)。第十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日逆分離式（簡記MT）

p→q

q∴p（1）如果天在下雨，那么地是濕的。（2）外面的地不是濕的。所以，天沒有下雨。第十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日假言三段論（簡記HS）

p→qq→r∴p→r（1）如果這種商品定價過高，那么將使企業(yè)喪失部分銷售市場。（2）如果企業(yè)喪失了這部分銷售市場，那么企業(yè)銷售額將受到嚴(yán)重影響。所以，如果這種商品定價過高，那么企業(yè)銷售額將受到嚴(yán)重影響。第十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日如下推理式是無效的：

p→q

p

∴qp→qq∴p第十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日4.二難推理（簡記CD）

(p→q)∧(r→s)p∨r∴q∨s第十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日二難推理的破壞式：

(p→q)∧(r→s)

q∨s∴p∨r第十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日“半費(fèi)之訟”說明，要推出正確的結(jié)論，首先要求推理形式是有效的，形式無效的推理其結(jié)論一定不正確。但是，形式有效的推理結(jié)論是否正確還有賴于前提，如果前提象關(guān)于學(xué)費(fèi)的契約那樣是有問題的，結(jié)論也不一定正確。

第十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日總結(jié):我們討論了八個基本的有效推理式。顯然，構(gòu)成推理式的基本命題公式的邏輯特征決定了這八個推理式的有效性。

第二十頁，共四十二頁，2022年，8月28日第二節(jié)推理有效性的形式證明

2．1推理有效性與命題演算邏輯研究的目的是判定一個推理是否有效及分析其根據(jù)，有了以上八個基本的有效推理式之后，我們就能判定一個由復(fù)合命題構(gòu)成的推理是否有效了。第二十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日對于簡單的由復(fù)合命題推理，我們可以直接根據(jù)這些基本有效式來判定推理是否有效。（1）如果是犯罪嫌疑人，那么必有犯罪動機(jī)。（2）王武有犯罪動機(jī)。所以，王武是犯罪嫌疑人。第二十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日（1）如果商品短缺日益嚴(yán)重，那么物價會上漲。（2）如果存在生產(chǎn)過剩，那么物價不會上漲。（3）如果存在通貨膨脹威脅，那么財(cái)政控制將繼續(xù)。（4）如果政府改組，那么財(cái)政控制將取消。（5）或者存在生產(chǎn)過剩，或者政府改組。因此，商品短缺不會日益嚴(yán)重，或者不再存在通貨膨脹威脅。第二十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日建立命題演算系統(tǒng)有兩種方法，一是公理化方法，一是自然演繹方法。公理化的命題演算系統(tǒng)是在形式語言基礎(chǔ)上增添公理和變形規(guī)則建構(gòu)起來的。公理是推演的出發(fā)點(diǎn)，由公理根據(jù)推理規(guī)則推演出的是定理。在公理化系統(tǒng)中，所有定理的可靠性依賴于公理是否成立和推理規(guī)則是否可靠。

第二十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日自然演繹系統(tǒng)與公理系統(tǒng)有何不同？自然演繹系統(tǒng)沒有公理，只有一系列推理規(guī)則。它引入特定前提為假設(shè)，根據(jù)推理規(guī)則推演出結(jié)論而建構(gòu)起來的演算系統(tǒng)。由于這個系統(tǒng)描述的推演關(guān)系比較直接而自然地反映了人們的思維過程，因而被稱作自然演繹系統(tǒng)。在自然演繹系統(tǒng)中，所有定理的可靠性則只依賴于推理規(guī)則是否可靠。

第二十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日2．2有效推理的形式證明

在命題演算系統(tǒng)中對推理有效性的證明稱作形式證明。形式證明的定義一個形式證明是一個命題公式序列A1，A2，…，An。其中的任一Ai（1≤i≤n）或者是前提，或者是由前面的公式根據(jù)推理規(guī)則得到的。序列的最后一個公式An恰好是結(jié)論。第二十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日自然演繹系統(tǒng)形式證明是建立在推理規(guī)則基礎(chǔ)之上的。這些規(guī)則大約可分為四部分：一、基本推導(dǎo)規(guī)則，二、等值替換規(guī)則，三、條件證明規(guī)則，四、間接證明規(guī)則。

第二十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日一、基本推導(dǎo)規(guī)則1組合規(guī)則（∧+）

pq∴p∧q2簡化規(guī)則（∧-）

p∧q∴p第二十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日3否定消去規(guī)則（∨-）

p∨qp∴q4附加規(guī)則（∨+）

p∴p∨q第二十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日5分離規(guī)則（MP）

p→qp∴q

6逆分離規(guī)則（MT）

p→qq∴p第三十頁，共四十二頁，2022年，8月28日7假言三段論（HS）

p→qq→r∴p→r8二難推理（CD）(p→q)∧(r→s)p∨r∴q∨s第三十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日如何運(yùn)用規(guī)則建立形式證明？（1）如果商品短缺日益嚴(yán)重，那么物價會上漲。（2）如果存在生產(chǎn)過剩，那么物價不會上漲。（3）如果存在通貨膨脹威脅，那么財(cái)政控制將繼續(xù)。（4）如果政府改組，那么財(cái)政控制將取消。（5）或者存在生產(chǎn)過剩，或者政府改組。因此，商品短缺不會日益嚴(yán)重，或者不再存在通貨膨脹威脅。①A→BP②C→BP③D→EP④F→EP⑤C∨FP/∴A∨D⑥（C→B）∧（F→E）

②④∧+⑦B∨E⑥⑤CD⑧（A→B）∧（D→E）

①③∧+⑨A∨D⑦⑧CD第三十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日首先將該推理形式化，在此基礎(chǔ)上建立該推理有效性的形式證明。①A→BP②C→BP③D→EP④F→EP⑤C∨FP/∴A∨D第三十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日2．3等值替換規(guī)則為什么要引入等值替換規(guī)則？例如：（A∨B）→C\∴A→C第三十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日

等值替換規(guī)則9、交換律（COM）

(p∧q)(q∧p)(p∨q)(q∨p)

10、結(jié)合律（Ass）((p∧q)∧r)(p∧(q∧r))((p∧q)∧r)(p∧(q∧r))第三十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日11、德摩根律

（DeM）

(p∧q)(p∨q)(p∨q)(p∧q)

12、分配律（Dist）(p∧(q∨r))((p∧q)∨(p∧r))(p∨(q∧r))((p∨q)∧(p∨r))第三十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日13、實(shí)質(zhì)蘊(yùn)涵（Impl）

(p→q)(p∨q)

14、假言易位（Tran）(p→q)

(q→p)第三十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日15、移出律（Esp）

((p∧q)→r)(p→(q→r))16、實(shí)質(zhì)等值（Equi）

(pq)((p→q)∧(q→p))第三十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日17雙否律（DN）p

p18重言律

（Taut）

p(p∧p)p(p∨p)第三十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日（A∨B）→C\∴A→C解：①（A∨B）→CP\∴A→C②（A∨B）∨C①Impl③(A∧B)∨C②DeM④(A