2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市惠山區(qū)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（附答案詳解）

2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市惠山區(qū)錢橋中學(xué)九年級（上）

月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.%(%4-3)=0

B.%2-4y=0

C.%2—-=5

X

D.Q%2++c=0(Q、b、c為常數(shù))

2.已知cosa=條且Q是銳角，則a=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.下列圖形中不一定相似的是（）

A.兩個矩形B.兩個圓C.兩個正方形D.兩個等邊三角形

4.若%2是方程%2-2%-3=0的兩根，則+%2+%1%2的值是()

A.1B.—1C.5D.—5

5.如圖，已知△4DE和△48C1的相彳以比是1：2,且△力。E

的面積是1,則四邊形O3CE的面積是（）

A.2

B.3

C.4

D.5

6.如圖，在中，4c=90°,AC

()

A.s\nA=-

4

B.cos>l=g

C.cosB=-

4

D.tanB=-

5

如果關(guān)于X的一元二次方程a/+2%-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值

范圍是（）

A.Q>—1B.a>—1C.a>-1且QH0D.a>一1且aH0

8.如圖，直線直線AC和。尸被匕，12,13

果48=3,BC=5,EF=4,那么OE的長是()

AA.—12

5

B.-

5

八20

'T

D.-

3

9.一個三角形的兩條邊長分別是方程％2-8x+15=0的兩根，三角形的周長是12,

則該三角形的面積是()

A.5B.6C.7.5D.12

10.如圖，在矩形A8C。中，E是邊的中點，BELAC,

垂足為點F,連接OF,分析下列四個結(jié)論：

①△AEFS^CAB；?CF=2AF-,?DF=DC；

④tan皿。=V2.

其中正確的結(jié)論有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

11.如果M=3x,那么x=.

12.若厘=4則巴=____.

n3n

13.松花江商場一月份利潤為100萬元，三月份的利潤為121萬元，求這個商場二、三

月利潤的平均增長率.

14.C是靠近點B的黃金分割點，若4B=10cm,則4C=cm.(結(jié)果保留根號)

15.已知△48C中，D是BC上一點,添加一個條件使得AABCSAZMC,則添加的條

件可以是.

16.在△ABC中，(2cos/l-V2)2+|1-tanB|=0,則△ABC一定是：.

17.在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC頂點A的坐標(biāo)為(2,3),若以原點。為位似中心，畫

△43(7的位似圖形444(?'，使△力BC與AAB'C'的相似比等于2：1,則點A的坐標(biāo)

為

18.如圖，A、&C是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長相同,

那么NBAC的正弦值為

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19.解方程

(l)3x2-2x-1=0；

(2)x(x+2)=2x+4.

20.計算:

(l)2sin30°-cos600；

(2)sin245°+cos2300—tan260°.

21.如圖，/為四邊形ABC。邊CO上一點，連接A尸并延長交BC的延長線于點E,己

知乙。=Z.DCE.

(團)求證：XADFSKECF；

(回)若A3CO為平行四邊形，AB=6,EF=2AF,求的長度.

22.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,AOAB的頂點坐標(biāo)分別為。(0,0),4(2,1),5(1,-2).

(1)以原點。為位似中心，在y軸的右側(cè)按2：1放大，畫出ACMB的一個位似△。4/1；

(2)畫出將△OAB向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到的4O2A2B2;

(3)△。&BI與△。2482是位似圖形嗎？若是，請在圖中標(biāo)出位似中心M,并寫出

點M的坐標(biāo).

23.如圖，在nABCO中，點E為C￡＞上一點，連接AE,在AE上取一點F,使得乙4FB=ND

求證：AE-BF=BC-BA.

DC

24.王剛同學(xué)在學(xué)習(xí)了解直角三角形及其應(yīng)用的知識后，嘗試利用所學(xué)知識測量河對岸

大樹A8的高度，他在點C處測得大樹頂端A的仰角為45。，再從C點出發(fā)沿斜坡

走2國米到達斜坡上。點，在點。處測得樹頂端4的仰角為30°,若斜坡CF的坡

比為i=l：3(點E、C、8在同一水平線上).

(1)求王剛同學(xué)從點C到點。的過程中上升的高度；

(2)求大樹AB的高度(結(jié)果保留根號).

25.為滿足市場需求，新生活超市在端午節(jié)前夕購進價格為3元/個的粽子，根據(jù)市場

預(yù)測，該品牌粽子每個售價4元時，每天能出售500個，并且售價每上漲0.1元，

其銷售量將減少10個，為了維護消費者利益，物價部門規(guī)定，該品牌粽子的售價

不能超過進價的200%.

(1)該品牌粽子每個售價為5元，則每天出售多少個？

(2)該品牌粽子定價為多少元時，該超市每天的銷售利潤為800元.

(3)該超市每天的銷售利潤能否達到1000元，若能，請求出該品牌每個粽子的售價，

若不能，請說明理由.

26.如圖，在AZBC中，AB=AC=5,BC=6,射線平行于BC,點尸、Q分別是

射線4。與邊A8上的兩個動點，且保持4P=BQ,過點P作AC的平行線分別交

AB.BC于點E、F

(1)設(shè)4P=x,AE=y,試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)AAPQ為直角三角形時，求AP的長；

(3)聯(lián)結(jié)尸。，問：是否可能使△APQ與ABQF相似？若能.請求出此時AP的長；

若不能，請說明理由.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：A、x(x+3)=0,是一元二次方程，符合題意；

B、x2-4y=0,含有兩個未知數(shù)，最高次數(shù)是2,不是一元二次方程，不符合題意；

、2不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；

Cx--X=5,

D、ax2+bx+c=0(a,b、c為常數(shù))，一次項系數(shù)可以為任意數(shù)，二次項系數(shù)一定不

能為0,此方程才為一元二次方程，但題目中并沒給出這個條件，故此方程不一定是一

元二次方程，不符合題意；

故選：A.

根據(jù)一元二次方程的概念判斷即可.

本題考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是

2的整式方程叫一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】A

【解析】解：：cosa=日，且a是銳角，

:.a—30°.

故選：A.

直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案.

此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

3.【答案】A

【解析】解：4所有的矩形，對應(yīng)邊不一定成比例，對應(yīng)角一定相等，故不一定相似,

故本選項符合題意；

B.所有的圓，一定相似，故本選項不合題意；

C所有的正方形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，一定相似，故本選項不合題意；

D所有的等邊三角形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，一定相似，故本選項不合題意.

故選：A.

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比也相等的多邊形是相似圖形，依此對各選項分析判斷后利用排

除法求解.

本題考查了相似圖形的概念，注意從對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等兩個方面考慮.

4.【答案】B

【解析】解：?.?%!，冷是方程一一2x—3=0的兩根，

???xr+x2=2,xxx2=-3,

:.xr+x2+%iX2=2—3=-1.

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故選：B.

利用根與系數(shù)的關(guān)系得到匕+上=2,￥62=-3,代入求值即可.

本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：???△4DE與AABC的相似比為1：2,

???△4DE與△4BC的面積比為1：4.

??.△4DE與四邊形DBCE的面積比為1：3.

???△4DE的面積是1,

二四邊形DBCE的面積是3.

故選：B.

根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，求出△4DE與AABC的面積比，計算得到

答案.

本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的

關(guān)鍵.

6.【答案】B

【解析】解：NC=90。，AC=4,BC=3,

AB=V32+42=5,

..cBC3.AC4r,AC4

-??SIIM=cosB=—=-,cosZ=—=tanB=—=

AB5AB5BC3

故選：B.

先利用勾股定理計算出AB,然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義對各選項進行判斷.

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做乙4的銳角三角函

數(shù).

7.【答案】D

【解析】解：???關(guān)于x的一元二次方程a/+2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

二aH0,4=22—4ax(-1)=4+4a>0,

解得：a>-1且a*0.

故選：D.

根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式得出a*0,4=22-4ax(-1)=4+4a>0,

再求出即可.

本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方

程ax2+b“+c=0(a、6、c為常數(shù)，a力0),當(dāng)爐-4加>0時，方程有兩個不相等的

實數(shù)根；當(dāng)。2-4這=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)爐-4ac<0時，方程沒有

實數(shù)根.

8.【答案】A

【解析】解：???直線匕〃%〃“，

tAB_DE

“BC~EF'

-AB=3,BC=5,EF=4,

.3_DE

二=，

54

12

.??DE=—.

故選：4

根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可.

本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例

式是解此題的關(guān)鍵.

9.【答案】B

【解析】解：X2-8X+15=0,

(x-3)(x-5)=0,

x—3=0或x—5=0,

所以Xi=31%2=5,

即三角形的兩條邊長分別3、5,

而三角形的周長是12,

所以第三邊長為7,

因為32+42=52,

所以此三角形為直角三角形，

所以該三角形的面積=|x3x4=6.

故選：B.

先利用因式分解法解方程得到三角形的兩條邊長分別3、5,再計算出第三邊長為7,接

著利用勾股定理的逆定理判斷此三角形為直角三角形，然后根據(jù)三角形面積公式計算該

三角形的面積.

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解

的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了勾股定理的逆

定理和三角形面積公式.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

①四邊形ABC。是矩形，BEVAC,則N4BC=N4FE=90。，又由矩形對邊平行得到

/.EAC=Z.ACB,于是△AEFSACAB,故①正確；

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②由4E==；BC,又AD〃BC,所以登=蕓=:，故②正確；

22DCFC2

③過。作DM〃BE交AC于N,得到四邊形BA〃圮是平行四邊形，求出BM叫BC,

得到CN=NF,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故③正確；

CD_b_42

④設(shè)4D=a,AB=b,由△BAESAADC,可得。=夜匕，則tan4cAD

布一展一3

故④錯誤.

【解答】

解：過。作DM〃BE交AC于N,

???四邊形4BCZ)是矩形，

???AD//BC,/.ABC=90",AD=BC,

■■■BE14c于點F,

：.^EAC=AACB,^ABC=/.AFE=90°,

CAB,故①正確；

ApAp

-AD//BC,:AAEFs&CBF,二言=言,

AE=—AD=-BC>—=—,

22CF2

ACF=2AF,故②正確，

VDE//BM,BE//DM,

二四邊形BMDE是平行四邊形，

???BM=DE=-BC,BM=CM,

2

又8F//MN,二CN=NF,

???BE_LAC于點凡DM//BE,

.-.DNLCF,.-.DF=DC,故③正確；

設(shè)AD=a,AB=b,

a

由△BAESAADC,有2=①，即。=或兒

ab

AtanZ.CAD=—=-=—,故④錯誤，

ADa2

故正確的有①②③，共3個，

故選：B.

11.【答案】0或3

【解析】解：x2=3%,

x2-3x=0,

%(%—3)=0,

x=0,x—3=0,

=0,%2=3,

故答案為：0或3.

移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.

本題考查了解一元二次方程，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵.

12.【答案】|

【解析】解：?.?/=1，

n3

7nl2

???——1=-,

n3

m5

,_——

n3

故答案為:I

根據(jù)型=|,得出三一1=;,從而得出生的值.

n3n3n

此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】10%

【解析】解：設(shè)商場的二、三月份的總收入平均增長率為X,

由題意得：100(1+x)2=121,

解之得：x=0.1或一2.2；

考慮實際應(yīng)用，-2.2不合題意舍去；

x—0.1—10%.

答：這個商場的二、三月份的總收入平均增長率為10%,

故答案為：10%.

本題為增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量x(l+增長率)，利潤的平均月增長

率為x,那么根據(jù)題意即可得出121=100(1+x)2.

本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解決此類三次變化問題，可利用公式a(l+x)2=c,其

中。是變化前的原始量，c是兩次變化后的量，x表示平均每次的增長率.

14.【答案】5V5-5

【解析】

【分析】

考查了黃金分割點的概念.特別注意這里的AC是較長線段；熟記黃金分割的比值進行

計算.

把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線

段分割叫做黃金分割，他們的比值(亨)叫做黃金比.根據(jù)黃金分割點的定義，知AC

是較長線段，運用黃金分割的比值進行計算即可.

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【解答】

解：由于點C是線段AB的黃金分割點，支撐點C是靠近點B的黃金分割點.

則AC=10x第=（5V5-5）cm.

故答案為：5V5-5.

15.【答案】乙B=Z.DAC

【解析】解：添加NB=NZMC,

又rZC=Z.C,

ABC^>^DAC,

故答案為：NB=4047（答案不唯一）.

由相似三角形的判定定理可求解.

本題考查了相似三角形的判定，靈活運用相似三角形的判定是本題的關(guān)鍵.

16.【答案】等腰直角三角形

【解析】解：因為（2cosA-V2）2+|l-tanB|=0,

所以2cos4—&=0,且1—tanB=0,

即cosA=爭tanB=1,

所以44=45°,48=45°,

所以△4BC是等腰直角三角形，

故答案為：等腰直角三角形.

根據(jù)非負數(shù)的意義和特殊銳角的三角函數(shù)值求出角A和角B,進而確定三角形的形狀.

本題考查特殊銳角三角函數(shù)值以及三角形的判定，掌握特殊銳角的三角函數(shù)值是正確判

斷的前提.

17.【答案】（1,|）或（—1,—|）

【解析】解：在同一象限內(nèi)，???△4BC與△AB'C'是以原點。為位似中心的位似圖形，

其中相似比是2：1,A坐標(biāo)為（2,3）,

???則點4的坐標(biāo)為：（1,|）,

不在同一象限內(nèi)，「△ABC與△AB'C'是以原點。為位似中心的位似圖形，其中相似比

是2：1,A坐標(biāo)為（2,3）,

二則點4'的坐標(biāo)為：（―1,—|），

故答案為：（1,|）或（―1,—1

根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k,那么位似

圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于％或-%即可求得答案.

此題考查了位似圖形的性質(zhì)，此題比較簡單，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】f

【解析】解：連接8C,如圖，5—

vCB=Vl2+22=y[5,AC=Vl2+22=V5MB=Vl2+32=V10,

:.CB2+C/l2=4/,|\

??.△ZCB為直角三角形，乙4cB=90°,VJ

A

.BC“V2

sinZ-BAC=—=-7==—,

ABV102

即NR4C的正弦值為當(dāng)

故答案為孝.

連接BC,如圖，先利用網(wǎng)格特點和勾股定理計算出CB=遍，AC=瓜AB=V10,

再利用勾股定理的逆定理可證明AZCB為直角三角形，4ACB=90。，然后根據(jù)正弦的

定義求解.

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在RtAABC中，NC=90。.銳角A的對邊。與斜邊c

的比叫做4月的正弦，記作sinA也考查了勾股定理和勾股定理的逆定理.

19.【答案】解：(l)3x2-2x-l=0,

(3x+1)(%—1)=0,

3%+1=0或x—1=0,

1(

/=X2=1；

(2)x(%+2)=2%+4,

x(x+2)—2(%+2)=0,

Q+2)(%-2)=0,

x+2=0或％—2=0,

=—2,%2=2.

【解析】(1)(2)利用因式分解法解出方程.

本題考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題

的關(guān)鍵.

20.【答案】解：(l)2sin30°-cos60°

i

2’

(2)sin245°+cos230°—tan260°

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V2,V3,「,

=（E）+（2）（百）

13

=-4---3

24

7

=-----

4'

【解析】（1）把特殊角的三角函數(shù)值，代入進行計算即可解答；

（2）把特殊角的三角函數(shù)值，代入進行計算即可解答.

本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

21.【答案】（1）證明：NC=NDCE,乙DFA=4CFE,

ADF0°AECF；

（2）解：:2BCD為平行四邊形，

：.AD//BE,AB=CD,

.竺_竺

"AF-FD'

■：AB=6,EF=2AF,

6-DF?

??-—=2?

???DF=2.

【解析】（1）利用相似三角形的判定即可證明△ADFSAECp.

（2）先證明4D〃BE,再利用平行線分線段成比例定理，列出比例式，即可求出尸。的長

度.

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，注意應(yīng)用圖形中的隱含條件

是解決本題的關(guān)鍵.

22.【答案】解：（1）如圖，為所作;

（2）如圖，△外必口?為所作；

(3)△04津1和△024B2是位似圖形：如圖，點M為所求,坐標(biāo)為(一4,2).

【解析】(1)把A、B的橫縱坐標(biāo)都乘以2得到&、Bi的坐標(biāo)，然后描點即可；

(2)利用點平移的坐標(biāo)規(guī)律寫出出、在2、B2的坐標(biāo)，然后描點即可；

(3)延長4遇2、。。2、B$2,它們相交于M點，則可判斷△04/1與△O24B2是位似圖

形.

本題考查了作圖-位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：先確定位似中心；再分別連接

并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；接著根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形

的關(guān)鍵點；然后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形.也考查了平移變換.

23.【答案】證明：???四邊形A8c。是平行四邊形，

AD=BC,AB//CD,

???Z-DEA=Z.BAF,

又??,Z.AFB=乙D,

ADEs〉BFA,

BA_BF

??AE-AD9

:.AE?BF=AB?AD=BC?BA.

【解析】由平行四邊形的性質(zhì)可得40=8C,AB//CD,通過證明可

得*條可得結(jié)論?

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)在，平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形的相似是解題

的關(guān)鍵.

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24.【答案】解：(1)過點。作OHJ.CE于點，,

??斜坡C尸的坡比為i=1：3,

DH1

:，-C-H=一,3

設(shè)DH=x米，CH=3x米，

DH2+CH2=DC2,

：.X2+(3x)2=(2V10)2,

?**x=2,

DH=2米，CH=6米，

答：王剛同學(xué)從點C到點D的過程中上升的高度為2米；

(2)過點。作DG14B于點G,

■■■Z.DHB=乙DGB=4ABe=90°,

.?.四邊形。"BG為矩形，

設(shè)8c=y米

DH=BG=2米，DG=BH=(y+6)米，

?-?LACB=45°,

BC=4B=y米，

：.AG=(y—2)米，

???^ADG=30°,

?D??G——tan30°3——,

:.匕=叵,

y+63

■■y=6+4V5,

???AB=(6+4圾米.

答：大樹AB的高度是(6+4V^)米.

【解析】(1)作DH1CE于H,解RtACDH,即可求出OH；

(2)過點。作DG148于點G,設(shè)8C=x米，用x表示出AG、DG,根據(jù)tan乙4DG=絲列

DG

出方程，解方程得到答案.

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義、仰角俯

角的概念是解題的關(guān)鍵.

25.【答案】解：(1)500-10x10=400(個)，

答：每天出售400個；

(2)設(shè)每個粽子的定價為x元時，每天的利潤為800元，

根據(jù)題意得:(x-3)(500-10X^)=800,

解得%1=7,x2=5,

?售價不能超過進價的200%,

A%<3x200%,即％<6,

%~5,

???定價為5元時，每天的利潤為800元；

(3)不能.

理由：設(shè)每個粽子的定價為機元，則每天的利潤為他則有：

m—4

w=(m-3)(500-10x

=(m-3)(500-100m+400)

=-100(m-3)(?n-9)

=-100(7n2-12m4-27)

=-100[(m-6)2-9]

=-100(m-6)2+900,

???二次項系數(shù)為一100<0,m<6,

???當(dāng)定價為6元時，每天的利潤最大，最大的利潤是900元，不能達到1000元.

【解析】(1)售價提高1元，銷售量降低100個；

(2)根據(jù)每個粽子的利潤x銷售量=總利潤列方程解答；

(3)利用配