2021-2022學(xué)年四川省成都高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（理科）（附答案詳解）

2021-2022學(xué)年四川省成都列五中學(xué)高三(上)入學(xué)數(shù)學(xué)

試卷(理科)

I.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(l—i)z=2+i,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知集合A={x\x2—2x<0},B=(x\y=lg(x—1)},則AUB=()

A.(O,+oo)B.(1,2)C.(2,4-CO)D.(—8,0)

(%+y>0

3.若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足約束條件卜Wx+2,貝收=2%-y的最小值是()

(0<%<1

A.—3B.—2C.—1D.0

4.已知|引=魚(yú)，|E|=1,a-(a-K)=1,則方與石的夾角為()

A.-B.-C.-D.-

3343

5.某學(xué)習(xí)小組有2個(gè)男生，3個(gè)女生，從該小組選取兩人參加解題比賽，選到一男一

女的概率為()

A.-B.-C.-D.-

551010

6.(1+x+/)(x-2)5的展開(kāi)式中尤3的系數(shù)為()

A.-80B.-40C.40D.80

7.有專(zhuān)業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為某流感在一段時(shí)間沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天,

每天新增疑似病例不超過(guò)15人”.根據(jù)過(guò)去10天甲、乙、丙、丁四地新增死疑似

病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是()

A.甲地：總體均值為4,中位數(shù)為3B.乙地：總體均值為5,總體方差為12

C.丙地：中位數(shù)為3,眾數(shù)為2D.丁地：總體均值為3,總體方差大于0

8.已知cos(a+工)=L貝！Jsin(2a-2)=()

636

A.--B.-C.-

999

9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若a=0.5：b=0.9：c=

log50.3,則輸出的數(shù)是()

A.0.52

B.0.94

C.log50.3

11

D.0.55+0.95+logs0.3

10.《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱(chēng)之為

G

“塹堵”，將底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐

稱(chēng)之為“陽(yáng)馬”，在如圖所示的塹堵/BC—4B1GD1中，

AAr=AC=5,AB=3,BC=4,則在塹堵ABC-4當(dāng)?shù)?，工----

?,*i---------------------------%

中截掉陽(yáng)馬Ci-ABB14后的幾何體的外接球的表面積是

()

11.已知尸為雙曲線(xiàn)捺一卷=19>0/>0)的左焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的半焦距為c,定點(diǎn)

B(0,c),若雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)P,滿(mǎn)足|PF|=|PB|,則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是

()

A.(V2(+oo)B.(1,V2)C.(V3,+oo)D.(1,V3)

12.已知函數(shù)〃x)=取<°，方程/CO=a恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根打、

》2(/<久2)，則好+工2的最小值與最大值的和()

A.2+eB.2C.6+e-3D.4+e-3

13.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x(萬(wàn)元)與銷(xiāo)售額y(萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：

廣告費(fèi)用工/萬(wàn)元3456

銷(xiāo)售額y/萬(wàn)元243946

若x與y之間是線(xiàn)性關(guān)系，且根據(jù)上表可得回歸直線(xiàn)方程y=6x+8,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中

有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊看不清，該數(shù)據(jù)是.

14.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若sinA=2sinC,且三條邊a,h,

c成等比數(shù)列，則cosZ的值為.

15.過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)作直線(xiàn)/交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M,N,交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于

點(diǎn)P,若麗=2而，則直線(xiàn)/的傾斜角為.

16.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿(mǎn)足/(I+久)+/(I-x)=0,且當(dāng)0WxW1時(shí)，

/0)=1。83(&-尤).若對(duì)于任意工€[-1,0]，都有一tx21-log35,則實(shí)

數(shù)f的取值范圍為.

17.(1)已知(2x+專(zhuān))n的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為243,求展開(kāi)式中含/的項(xiàng)的系數(shù).

(2)甲、乙、丙、丁四位畢業(yè)生被安排去北京，上海，廣州三個(gè)地方實(shí)習(xí)，每人只

能去一個(gè)城市，北京一定要有人去，則不同的實(shí)習(xí)安排方案有多少種？

18.設(shè)數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和%滿(mǎn)足%+i-2Sn=n+l(n6JV+),且%=1.

(1)求證：數(shù)列｛冊(cè)+1｝是等比數(shù)列：

n

(2)^n=2log2(an+l),數(shù)列｛瓦｝的前〃項(xiàng)和是4,求證:Tn<n(Sn+n).

19.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A8CD為菱形，/.BAD=y,PA=PD,

為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)且PE1CD,設(shè)平面PAD與平面PBC的交線(xiàn)為直線(xiàn)a.

第2頁(yè)，共15頁(yè)

（1）證明：直線(xiàn)a〃平面A8CZ）；

（2）若4B=2PE=2,求二面角4—PZJ-C的余弦值.

已知橢圓C：條+\=1（（1>2）>0）的離心率為圣&,尸2分別是橢圓C的左、右

20.

焦點(diǎn)，橢圓C的焦點(diǎn)&到雙曲線(xiàn)9—y2=1漸近線(xiàn)的距離為日.

（團(tuán)）求橢圓C的方程；

（回）直線(xiàn)AB：y=kx+V0）與橢圓C交于不同的A,8兩點(diǎn)，以線(xiàn)段A8為直

徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸2,且原點(diǎn)。到直線(xiàn)AB的距離為等，求直線(xiàn)AB的方程.

21.已知函數(shù)/'（x）=Inx+?（aeR）.

（回）討論函數(shù)/（久）的單調(diào)性；

（團(tuán)）求出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

北鬻;短帚。為參數(shù)且

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)G的參數(shù)方程為

ae［-p^］）,以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)G的

極坐標(biāo)方程為p=4cos0.

（1）說(shuō)明G是哪種曲線(xiàn)，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（4國(guó),沙射線(xiàn)。=y（0<y<］）與6的交點(diǎn)為M（異于極點(diǎn)）,

與C2的交點(diǎn)為N（異于極點(diǎn)），若|MN|=V5|M4|,求tany的值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：???(1一i)z=2+i,

2+i(2+i)(l+i)1,3.

:.Z=——=-——-——乙=一+-i,

1-i(l-i)(l+i)22

Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(|,|)在第一象限.

故選：4

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘除法原則和復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算，需要學(xué)生熟練掌握公式,

屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：由題意可得：A={x|0<x<2},B=[x\x>1],A(JB={x\x>0]=

(0,+oo).

故選：A.

由題意首先求得集合A和集合B,然后進(jìn)行并集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.

本題考查了集合的表示方法，并集的定義及其應(yīng)用等，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解

和計(jì)算能力，屬于中等題.

3.【答案】B

%+y>0

【解析】解：由于變量x、y滿(mǎn)足約束條件yWx+2,

,0<x<1

在坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域四邊形，

平移直線(xiàn)2工—、=0經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(0,2)時(shí)，2x—y最小，

最小值為：-2,

則目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最小值為一2.

故選：B.

先根據(jù)條件畫(huà)出可行域，設(shè)z=2x-y,再利用幾何

意義求最值，將最小值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距最大，只需求出直線(xiàn)z=2x-y,過(guò)可行域

內(nèi)的點(diǎn)4(0,2)時(shí)的最小值，從而得到z最小值即可.

借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想.線(xiàn)

性規(guī)劃中的最優(yōu)解，通常是利用平移直線(xiàn)法確定.

4.【答案】C

第4頁(yè)，共15頁(yè)

【解析】解：?.?|初=VL|方|=1,a-(a-6)=1.

-t?a2—a-b=2—a-b=l,?-a,?b=1,

,—W、五石1V2

??,8S<a，b>=^=^T-'

又〈五，方>e[O,?r],二<百萬(wàn)>=%

故選：C.

根據(jù)向量數(shù)量積定義，向量夾角公式即可求解.

本題考查向量數(shù)量積定義，向量夾角公式，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：設(shè)3個(gè)女生為即，。2,。3,2個(gè)男生為打，厲，

1^2人^^加比^^^,看(2]￡12，。1。3，。]匕1，。[匕2'a2a3,。2匕1,。2b2,。3匕1，。3b2，^1^21

共10種選取方法，

其中，選到一男一女的方法有內(nèi)瓦，%匕2，a2b1，a2b2，a3bx,a3h2>共6種，

所以概率P=卷=￡

故選：A.

設(shè)3個(gè)女生為名,a2,(13,2個(gè)男生為瓦，b2,用列舉法分別寫(xiě)出“選2人參加比賽”

和“選到一男一女”的基本事件數(shù)，再根據(jù)古典概型即可得解.

本題考查古典概型，考查學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的分析與處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

由題意利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得展開(kāi)式中爐的系數(shù).

【解答】

解：???(X-2)5展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為4+1=C門(mén)5-r(一2盧

分別令5—r=3,5—r=2,5—r=l可得r=2,3,4,

故(1+x+x2)(x-2)5的展開(kāi)式中式的系數(shù)為C式一2尸+《(一2)2+或(-2)4=40,

故選：C.

7.【答案】B

【解析】解：對(duì)于4均值為4,中位數(shù)為3,不能保證10個(gè)數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)都不超過(guò)

15,

???4不符合該標(biāo)志；

對(duì)于8,均值為5,方差為12時(shí)，假設(shè)有一個(gè)數(shù)據(jù)為16,其余數(shù)據(jù)均相等，

則16+9x=10x5x?4s=[(16-5)2+9x(4-5)2]=13>12,

二假設(shè)不成立，即所有數(shù)據(jù)不超過(guò)15,8符合該標(biāo)志；

同理，對(duì)于C、D,都不能保證10個(gè)數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)不超過(guò)15,

??.C、。也不符合題意.

故選：B.

根據(jù)題意，說(shuō)明小C,。都不符合題意，8用反證法說(shuō)明符合題意.

本題考查了用樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解:cos(a+乙)=三，貝ijsin(2a--)=—cos(2a--+-)=—cos(2a+-)=1—

636623

2cos2(a+.)=1-2xg=g,

故選：B.

由貝Usin(2a—g)=—cos(2a-￡+9,利用二倍角公式可得結(jié)果.

o62

本題主要考查給值求值問(wèn)題，熟記誘導(dǎo)公式與二倍角公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.

9.【答案】B

【解析】解：由程序框圖知，輸出a,b,c中最大的數(shù)，

所以〃最大，

a=0,54=0.254<b=0.94,c<0,

故選：B.

根據(jù)程序框圖知，輸出a,b,c中最大的數(shù)，比較給出“，從c的大小得出結(jié)論即可.

本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，以便得出正確的

結(jié)論，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】A

【解析】解：在塹堵中截掉陽(yáng)馬G后，剩余的幾何體為三棱錐

A-BCG，該幾何體與塹堵4BC-4/1G的外接球是同一個(gè)球，

?：AB=3,BC=4,AC=5,：.AB2+BC2=AC2,???Z/1BC=90°,

所以，直角△ABC的外接圓直徑為AC=5,

所以，塹堵4BC-&當(dāng)6的外接球的直徑為2R=，4C2+y=5或,；?R=苧，

因此，在塹堵ABC-&當(dāng)6中截掉陽(yáng)馬Ci-ABB1&后的幾何體的外接球的表面積是

4nR2=507r.

故選：A.

根據(jù)題意知，剩余的幾何體與塹堵ABC-的外接球是同一個(gè)球，先計(jì)算出該塹

堵底面外接圓的直徑AC,然后求出外接球的半徑R,最后利用球的表面積公式可計(jì)算

出答案.

第6頁(yè)，共15頁(yè)

本題考查球的表面積的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵在于找出合適的模型求出球體的半徑，考

查計(jì)算能力，屬于中等題.

11.【答案】4

【解析】解：由題意可得尸(—c,0),FB的中點(diǎn)為(g,|),

直線(xiàn)尸8的斜率為F=1，可得尸8的垂直平分線(xiàn)的斜率為-1,

0+c

即有線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程為y-]c=-(x+1c),即為y=-x.

由雙曲線(xiàn)C上存在點(diǎn)尸滿(mǎn)足|PF|=\PB\,

可得FB的垂直平分線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有交點(diǎn)，

由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±T，

即有—1>—L即a<b,可得a2cb2=‘2—a?,

a

可得e=->V2,

a

故選：A.

求出廠(chǎng)的坐標(biāo)，F(xiàn)B的中點(diǎn)和斜率，可得線(xiàn)段F3的垂直平分線(xiàn)方程，由題意可得的

垂直平分線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有交點(diǎn)，運(yùn)用漸近線(xiàn)的斜率可得-1>-2,再由離心率公式計(jì)算即

a

可得到所求范圍.

本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，考查離心率的范圍的求法，以及線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程

的求法，注意運(yùn)用漸近線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率的關(guān)系，屬于中檔題.

12.【答案】C

【解析】解：作出函數(shù)y=/(x)的圖象如下圖所示：

由圖象可知，當(dāng)一3Saw1時(shí)，直線(xiàn)y=a與函數(shù)y=f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)(乙，砂、

(孫。)，

1

則11n二”可喂二二。則好+孫=1-a+e&,

構(gòu)造函數(shù)g(x)=e"-x+1,其中-3SxSl,則g'(x)=〃一1.

當(dāng)一3Wx<0時(shí)，g'(x)<0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)OSxWl時(shí)，g'(x)>0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.

所以，g(x)min=g(0)=2,

5(-3)=e-3+4,g(l)=e,顯然g(-3)>g(l),

所以g(x)max=g(-3)=e-3+4.

因此，xl+%2的最大值和最小值之和為b3+4+2=e-3+6.

故選：C.

作出函數(shù)y=/(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍，將資、久2用。表示，可

將好+冷轉(zhuǎn)化為以。為自變量的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得好+外的最大值和最小值，進(jìn)

而可求得結(jié)果.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解代數(shù)式的最值,解題的關(guān)鍵就是將好+與表示為以。為自變量的

函數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

13.【答案】31

【解析】解：設(shè)表中模糊不清數(shù)據(jù)為，小

由表中數(shù)據(jù)可得，1=：x(6+3+4+5)=4.5,亍=：X(24+m+39+46)=二

回歸直線(xiàn)方程y=6x+8,

=6x4.5+8,解得m=31.

4

故答案為：31.

根據(jù)已知條件，求出x,y的平均值，再結(jié)合線(xiàn)性回歸方程過(guò)樣本中心，即可求解.

本題主要考查了線(xiàn)性回歸方程的性質(zhì)，以及平均值的求解，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】—匕

4

【解析】解：由正弦定理可得，巴=?=2,

csinC

又/=ac=2c2,

所以a：b：c=2：V2：1,

2+1-4V2

由余弦定理可得cos"=>+:一"2xV2xl4,

故答案為：-半

4

由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理即可直接求解.

本題主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.

15?【答案】第！

第8頁(yè)，共15頁(yè)

【解析】解：如圖，"PM=2PF,F為PM的中點(diǎn)，二|BM|=2p,即|FM|=2p,

|PF|=2p=2\AF\,

"FA=半直線(xiàn)/的傾斜角為押冷.

故答案為：乳冷

畫(huà)出圖形，利用拋物線(xiàn)的定義結(jié)合向量關(guān)系，求解直線(xiàn)的傾斜角即可.

本題考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查.

16.【答案】[一：,1]

【解析】

【分析】

先求得/⑴的值，由此求得。的值，證得/⑶是周期為4的函數(shù)，將l-log35轉(zhuǎn)化為/X|),

根據(jù)函數(shù)周期性和對(duì)稱(chēng)性，將原式轉(zhuǎn)化為-?+4%式/一比，結(jié)合x(chóng)的取值范圍即可求

得，的取值范圍.

本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵,

綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.

【解答】

解：因?yàn)?(1+乃+/(1一切=0.令芯=0,貝IJ2〃1)=O,即/(1)=0,

由于0<%<1時(shí),/(x)=log3(a-%).所以/(I)=log3(a-1)=0,解得a=2,

即有當(dāng)OWxWl時(shí)，/(%)=log3(2-x).

因?yàn)?-k>g35=log31=-log31=-log3(2-i)=-/(|)=-/(I-1)=/(I+1)=

f(|)，

又因?yàn)?(X)為偶函數(shù)，所以/(()=/'(一|),

再根據(jù)/(I+X)+/(I-尤)=O./C-X)=/(%),

則f。+4)=f[l+(%+3)]=-f[l-(x+3)]

=+2)]=-f(x+2)=-/[l+(1+x)]

=一(1+x)]=f(-x)=/(x),

所以函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

當(dāng)xe[-i,o]時(shí)，一xe[o,i],

所以/'(%)=/(-x)=log3(2+x),

所以當(dāng)xe[-4,1]時(shí),/(x)=log3(2-|x|).

因?yàn)閒(l+x)+/(l-x)=O,所以f(2-x)+/(%)=0,故/(x)=-f(2—x),

所以當(dāng)尤6[1,3]時(shí),2—x6[—1,1]>所以/(x)=-log3(2—|2-x|).

作出函數(shù)/(x)的圖象如圖：

2

由/'(/-tx-|)>1-log35,得一?+4fc<x-tx-i<|+4k(kGZ),對(duì)于任意xG

成立，

當(dāng)x=0時(shí)，—|+4kS-]<|+4/c,解得一

所以k=0,即一：W/一比一：w三對(duì)于任意％6[-1,0]成立，

當(dāng)％e[—1,0)時(shí),由-gw——比―+得t>(x+2)的最大值,

由于y=%+￡在[―1,0)單調(diào)遞減，所以t2—1—[=—[,

由/一次-I式：得tw(x-：)的最小值，由于y=%-：在[_i,o)單調(diào)遞增，所以tw

-1--=1,

-i

綜上，f的取值范圍是[—[,1],

故答案為：(—[,1].

17.【答案】解：⑴根據(jù)題意，(2x+3產(chǎn)的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為243,

令x=1可得：(24-l)n=243,解可得n=5,

Zr

則(2X+盍)5的展開(kāi)式為T(mén)r+1=Cf(2x)5-r(竟)r=2-,

當(dāng)r=2時(shí)，有73=23c^x2=80x2,

故展開(kāi)式中含/的項(xiàng)的系數(shù)為80；

(2)根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)三個(gè)地方實(shí)習(xí)，每人只能去一個(gè)城市，

則每人有3種選擇，則4人一共有3x3x3x3=81種情況，

若北京沒(méi)人去，即四位同學(xué)選擇了上海，廣州，

每人有2種選擇方法，則4人一共有2x2x2x2=16種情況，

故北京一定要有人去有81-16=65種情況，

【解析】(1)根據(jù)題意，在(2x+白產(chǎn)中，令尤=1,分析可得〃的值，進(jìn)而由二項(xiàng)式定

理分析可得答案；

(2)根據(jù)題意，用排除法分析：先計(jì)算“甲、乙、丙、丁四位同學(xué)三個(gè)地方實(shí)習(xí)”的安

排方法，再排除其中“北京沒(méi)人去，即四位同學(xué)選擇了上海，廣州”的排法，計(jì)算可得

答案.

第10頁(yè)，共15頁(yè)

本題考查二項(xiàng)式定理以及排列、組合的實(shí)際應(yīng)用,

18.【答案】證明：(1)由Sn+1-2S"=n+1,得Sn-2Sn_i=n522,neN+),

兩式相減并整理得即+i=2an+3所以a兀+i=2(an+1),又當(dāng)n=l時(shí)，有的+。2-

2al—2且%—1,解得a2=3,

所以。2+1=2(&+1),所以｛即+1｝是以即+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；

nnnn

(2)由(1)可知&+1=2",則an=2-1,所以匕=2?1哮@+1)=2-log22=

n-2n,

所以"=1X2+2X22+3X23+-+n-2n①；則27n=1X22+2X23+3X

24+…+n.2"+i②，

①-②得一7；=2+22+23+-+2n-n2n+1=_,2?+1=2n+1-2-n-2n+1,

1—2n

故及uCn-DT'+i+Z,

n+1n+1n+1

又無(wú)=-n=2-2-n,所以7；-n(Sn+n)=(n-l)2+2-n(2-

2)=-2n+1+2n+2,

令f(n)=-2"+】+2n+2,則/(n+1)—/(n)=2(1—2")(neN+),所以/(n)單調(diào)遞

減，又/1(1)=0,

所以/(n)<0,即7；<n(Sn+n).

【解析】⑴由Sn+1-2Sn=幾+1可得Sn-2Sn_y=n(n>2,nEN+),兩式相減并整理

得即+i=2an+1,從而結(jié)合由與a2的值即可分析證明出數(shù)列｛冊(cè)+1｝是等比數(shù)列；

nnnn

(2)易知%i=2-1,bn=2-log2(an+1)=2",log22=n-2,從而利用錯(cuò)位相減

求和法即可求出Tn,進(jìn)一步分析證明7；-n(Sn+n)即可得證7；<n(Sn+n).

本題考查數(shù)列的遞推公式，錯(cuò)位相減求和法，數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生的邏輯

推理和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

19.【答案】(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛8CO為菱形，所以

AD//BC.

因?yàn)?。u平面PAD,BCC平面PAO,所以8c〃平面

PAD.

因?yàn)橹本€(xiàn)a為平面P4D與平面P8C的交線(xiàn)，4。＜=平面

PAD,

所以a〃AD.

因?yàn)?。u平面ABCD,a平面ABCD,

所以a〃平面4BCD.

(2)解：因?yàn)镻4=PD,點(diǎn)E為線(xiàn)段AO的中點(diǎn)，所以PE14D.

又因?yàn)镻EJ.CD,ADC\CD=D,ADc5F?ABCD,CDu平面ABC。,

所以PE_L平面48CD.于是EC,ED,EP兩兩垂直.

所以可以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，根據(jù)已知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

￡1(0,0,0)sP(0,0,l)、。(0,1,0)、C(V3,0,0),

所以而=PC=(V3,0,-l).

設(shè)平面POC的一個(gè)法向量記=(x,y,z),則有沅?同=0,m-PC=0；

所以｛3：zl0，令y=6,得沆=(1,V5,V5).

取平面PAD的一個(gè)法向量為運(yùn)=(1,0,0).

設(shè)二面角A-PD-C的大小為。，由圖可知。為銳角，

所以cos?=II=

I二叫I:川7

故二面角A-PD-C的大小為了.

【解析】(1)根據(jù)線(xiàn)面平行判斷定理證明；(2)根據(jù)四棱錐性質(zhì)，利用空間向量?jī)?nèi)積計(jì)算

二面角余弦值.

本題考查了直線(xiàn)與平面平行的判定問(wèn)題，考查了二面角計(jì)算問(wèn)題，屬于中檔題.

20.【答案】解：(回)???橢圓C：盤(pán)+3=1(。>匕>0)的離心率為圣

C_y/2

-=-，

a2

???雙曲線(xiàn)叁一y2=1的一條漸近線(xiàn)方程為x-V2y=0,

橢圓C的左焦點(diǎn)尸式―c,0),

???橢圓C的焦點(diǎn)Fi到雙曲線(xiàn)9—y2=1漸近線(xiàn)的距離為日.

?"=提號(hào)昔得。=1,

則a=V2,b=1,

則橢圓C的方程為q+y2=i；

(團(tuán))設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(■，%),B(x2,y2)>

由原點(diǎn)。到直線(xiàn)AB的距離為學(xué)，

4B|m|_2V5

得市P-V，

即病=式1+爐)，①

2

將y=kx+m(k<0)代入萬(wàn)r4-y2=1；得(1+2/c2)%2+4kmx+2m2—2=0,

則判別式^=16k2m2-4(1+2k2)(2/-2)=8(2k2-m2+l)>0,

4km2m2-2

?.?與+》2=一罰，X1&=E，

???以線(xiàn)段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸2，

:.AF2?BF2=3

即(與一1)(%2—1)+為力=o

即(％i—1)(%2-1)+(kxi+m)(/cx2+m)=0,

第12頁(yè)，共15頁(yè)

22

即(1+/C)%I%2+(km—l)(%i+x2)+m4-1=0,

(1+fc2),+(/cm-+m2+1=

化簡(jiǎn)得37n2+4km-1=0②

由①②得1164—10m2-1=0,得m?=1,

fm=1

=滿(mǎn)足判別式4=8(21一62+i)>o,

AB的方程為、=一：％+L

【解析】(團(tuán))根據(jù)橢圓的離心率以及點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離建立方程關(guān)系求出?,人即可求橢

圓C的方程；

(團(tuán))設(shè)4(匕,為)，B(x2,y2),聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)根與

系數(shù)之間的關(guān)系以及設(shè)而不求的思想進(jìn)行求解即可.

本題主要考查橢圓的方程的求解以及直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系，利用方程法以及轉(zhuǎn)化法,

轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合設(shè)而不求的思想是解決本題的關(guān)

鍵.綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度.

21.【答案】解：(回)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?0,+8),((%)=：-9=詈，…(2分)

①當(dāng)aWO時(shí)，f'(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；…(3分)

②當(dāng)a>0時(shí)，/'(%)=0,解得久=a.

當(dāng)x變化時(shí)，f'M，/"(x)的變化情況如下表所示：

X(0,a)a(a,+oo)

f(x)-0+

f(x)單調(diào)遞減/(a)=Ina+1單調(diào)遞增

所以，/(%)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)單調(diào)遞增.…(5分)

綜上：當(dāng)aWO時(shí)，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，/(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增.

(團(tuán))當(dāng)a=0時(shí)，/Q)=Inx在(0,+8)上單調(diào)遞增，且/⑴=0,

所以/(乃有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a<0時(shí),由(團(tuán))知，〃>)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

且/(I)=a<0,/(I)=a<0,/(e-a)=—a+aea=a(ea-1