高考數(shù)學(xué)直線和圓的方程專題復(fù)習(xí)

專題六、解析幾何（一）直線和圓1.直線方程：y=kx+1或ax+by+c=0傾斜角和斜率:0<9<1［?k=tanB方向向：lt和法AE：=（br-^）ffl=（a｝右）或卅=（L朮），n■（tf-l）廠戊斜式仃-線方和類型斜截式兩點(diǎn)式（蟲方向式r山法向式）載距式?特別注意截距為0的仃-線方和類型-般式'卩行；嘰二％o碼虬=也直線位置關(guān)系T垂I’i：咼-耐=-1OQ［業(yè)+b2b2-直線位置關(guān)系TJ1?cos6?=J1?cos6?=

［+片応"叫點(diǎn)二I'd的距離*I侶1=屆7“十5-”亍點(diǎn)到ri找的跆淳d=l「氣単<￡1>/A2+B-J距離相關(guān)問題-l^.l-l^ijJ距離相關(guān)問題-L平行直線間的距離；—》YJVj*+fi'~2.點(diǎn)關(guān)于特殊直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)：⑴點(diǎn)A（x,y）關(guān)于直線方程y=x的對(duì)稱點(diǎn)A（m,n）坐標(biāo)為：m二y,n二x；0000（2）點(diǎn)A（x,y）關(guān)于直線方程y二x+b的對(duì)稱點(diǎn)A（m,n）坐標(biāo)為：m二y-b,n二x+b；0000（3）點(diǎn)A（x,y）關(guān)于直線方程y=—x的對(duì)稱點(diǎn)A'（m，n）坐標(biāo)為：m二-y,n二-x；0000（4）點(diǎn)A（x,y）關(guān)于直線方程y二-x+b的對(duì)稱點(diǎn)AA（m，n）坐標(biāo)為：m二-y+b,n=—c+b；00003.圓的方程：(x-a)2+(y-b匕二r2或x2+y2+Dx+Ey+F二0(D2+E2-4F>03.圓的方程：xy0-圓的方程；標(biāo)準(zhǔn)方程9丄般方程-點(diǎn)在圓［：:（尤*—^）2■*■（必—=尸'扣j圓的位置關(guān)系一點(diǎn)在圓內(nèi)；（心-口尸十（%-i）2<r2［點(diǎn)在圓外：（心-a）2+（兒一b）2>r2「相離：d>ri'L^'j圓的位化關(guān)相切:d=r圓一L相交：女r（求弦氏時(shí)常用垂徑定理》「外離.有凹條公切細(xì)心片+e

外切.有［條食切線：占=叫乜

圓與圓的位置關(guān)條-相交，有兩條公切縱|斤-川宀“乜

內(nèi)如有?條公切線；小|耳-耳|L內(nèi)含，沒有公切線，討引片-吋-圓的參數(shù)"程p=^rc°S^.0為卷肌范鬧為匹2町1常用來求最值或范國〉.J；三方十廣引皿8

直線與圓相交：(1)利用垂徑定理和勾股定理求弦長:弦長公式:l=2jr2-d2(d為圓心到直線的距離)，該公式只適合于圓的弦長。若直線方程和圓的方程聯(lián)立后，化簡為：ax2+bx+c=0，其判別式為A，則弦長公式(萬能公式):弦長公式(萬能公式):l=J1+k2=+k2■W+x匕—4xx]=；1+k2：(―-)2―4-=<1+k2aa注意：不需要單獨(dú)把直線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)求出來來求弦長，只要設(shè)出它們的坐標(biāo)即可，再利用直線方程和圓的聯(lián)立方程求解就可達(dá)到目標(biāo)。這是一種“設(shè)而不求”的技巧，它可以簡化運(yùn)算，降低思考難度，在解析幾何中具有十分廣泛的應(yīng)用。圓的切線方程：點(diǎn)在圓外：如定點(diǎn)P(x,y)，圓:(x—a匕+(y—b匕=r2，[(x—a匕+(y—b匕>r2]0000第一步：設(shè)切線l方程y—y=k(x—x)；第二步：通過d=r，求出k，從而得到切線方程,00這里的切線方程的有兩條。特別注意：當(dāng)k不存在時(shí)，要單獨(dú)討論。點(diǎn)在圓上：若點(diǎn)P(x,y)在圓(x—a)2+(y—b)2=r2上，利用點(diǎn)法向量式方程求法，則切線方程為:00(x(x—x)(x—a)+(y—y)(y—b)=0n0000(x—a)(x—a)+(y—b)(y—b)=r200點(diǎn)在圓上時(shí)，過點(diǎn)的切線方程的只有一條。由(1)(2)分析可知：過一定點(diǎn)求某圓的切線方程，要先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。(3)若點(diǎn)p(x,y)在圓(x—a)2+(y—b)2=r2外，即(x—a)2+(y—b)2>r20000過點(diǎn)P(x0，y0)的兩條切線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則AB兩點(diǎn)的直線方程為：(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)=r2。兩圓公共弦所在直線方程：圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0，圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0，11112222則(D—D)x+(E—E)y+(F—F)=0為兩相交圓公共弦方程。121212圓的對(duì)稱問題：圓自身關(guān)于直線對(duì)稱：圓心在這條直線上。圓C1關(guān)于直線對(duì)稱的圓C2:兩圓圓心關(guān)于直線對(duì)稱，且半徑相等。⑶圓自身關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱：點(diǎn)P就是圓心。(4)圓C1關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱的圓C2：兩圓圓心關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，且半徑相等。例1.已知直線ax+by+c二0中的a,b,c是取自集合｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，則這樣的直線共有條。例2.已知圓C：x2+(y-4)2二4，直線l:(3m+1)x+(1-m)y—4=0(丨)求直線l被圓C所截得的弦長最短時(shí)m的值及最短弦長；卜?4(II)已知坐標(biāo)軸上點(diǎn)A(0,2)和點(diǎn)T(t,0)滿足:存在圓C上的兩點(diǎn)P和Q,使得TA+TP=TQ,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.變式訓(xùn)練：1.直線2ax+(a2+1)y-1二0的傾斜角的取值范圍是2?若kxy-8x+9y-12=0表示兩條直線，則實(shí)數(shù)k二3?若點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(4,0)到直線I的距離依次為1和2,則這樣的直線有條。直線l過P(1,2),且A(2,3),B(4,-5)到l的距離相等,則直線l的方程是若直線11:ax+2y+a+3=0與12：x+(a+1)y+4=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為6?過點(diǎn)P(3,0)有一條直線l,它夾在兩條直線11：2x-y-2=0與12：x+y+3=0之間的線段恰被點(diǎn)P平分，則直線l方程為過點(diǎn)(5,2),且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線方程是xy(2007湖北)已知直線一+?=1(a,b是非零常數(shù))與圓x2+y2二100有公共點(diǎn)，且ab公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有條。數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.若△ABC的頂點(diǎn)A(2,0),B(0,4),且厶ABC的歐拉線的方程為x-y+2二0，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A.(-40)B.(-4-2)A.(-40)B.(-4-2)C.(-22)D.(-30)2/in已知直線l過點(diǎn)P(—4,1)，且與直線m:3x-y+1二0的夾角為arccos-^丁,直線l的方程為已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(2,1),B(6,1),C(5,5),則ZA的平分線所在直線的方程為12?若點(diǎn)P(m-2,n+1),Q(n,m-1)關(guān)于直線1對(duì)稱，則直線1的方程是直線x-y-2=0關(guān)于直線x+y+1=0對(duì)稱的直線方程3(2012全國)正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，AE二BF二斤，動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿直線向F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn)P第一次碰到E時(shí)，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為()如圖，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(0,2),(-2,0),(2,0),點(diǎn)M是邊AB上異于A、B的2一點(diǎn)，光線從點(diǎn)M出發(fā)，經(jīng)BC,CA反射后又回到起點(diǎn)M.若光線NT交y軸于點(diǎn)(0,y),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為16.(2016金山區(qū)一模)已知點(diǎn)P、Q分別為函數(shù)f(x)二x2+1(x>0)和g(x)二任—1圖像上的點(diǎn)，則點(diǎn)P和Q兩點(diǎn)距離的最小值為17?在RtAABC中，AB=2,AC=4,ZA為直角，P為AB中點(diǎn)，M、N分別是BC,AC上任一點(diǎn)，則△MNP周長的最小值是

18.直線(2k-1)x-(k+3)y-k+11=0所經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為xy一xy一19?曲線C：丁—寸=1|與曲線C：s+寸=1|所圍成的圖形面積為14228220.點(diǎn)卩在厶ABC內(nèi)部(包含邊界)，|AC|=3,|AB|=4,|BC|=5,點(diǎn)P到三邊的距離分別是d1,d，d，^Ud+d+d的取值范圍是2312321?已知P是以F2為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，過焦點(diǎn)F2作ZFfF?外角平分線的垂線，垂足為M,則點(diǎn)M的軌跡是()A.橢圓B.圓C.雙曲線D.雙曲線的一支22?已知圓C滿足：①截y軸所得的弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1；③V5圓心到直線l：x-2y=0的距離為了；則圓C的方程為23.設(shè)集合A={(x,y)x2+y2<|x|+|y|}，則集合A所表示圖形的面積為24.已知圓C：x2+y2-4x—2y+1=0，直線l:3x-4y+k=0圓上存在兩點(diǎn)到直線l的距離為1,則k的取值范圍是兀兀25?已知afb,且a2sin0+acos。-—=0,b2sin0+bcos。-—=0,則連接兩點(diǎn)(a,a2),(b,b2)的直線與圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的單位圓的位置關(guān)系是()A.相離A.相離B.相切C.相交D.不能確定已知圓C：(x-1)2+(y-1)2二1，點(diǎn)P為直線l:3x+4y+1=0上的一動(dòng)點(diǎn)，若在圓C上存在點(diǎn)M使得ZMPC=30。，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍已知00:x2+y2=144與00:x2+30x+y2+216=0,則兩圓公切線的方程為1228?過圓x2+y2=1外一點(diǎn)M(2,3)，作這個(gè)圓的兩條切線MA、MB，切點(diǎn)分別是A、B,則直線AB的方程為圓C的方程為(x-2)2+y2=4,圓M的方程為(x-2-5cos0)2+(y-5sin0)2=1,過圓M上任意一點(diǎn)P作圓C的兩條切線PE、PF,切點(diǎn)分別為E、F,則PE-PF的最小值為設(shè)P(x,y)為圓x2+(y-1)2=1上的任一點(diǎn)，欲使不等式x+y+c>0