2023屆新高考數(shù)學(xué)真題解析幾何專題講義第28講 仿射變換

PAGE第28講仿射變換一、問題綜述設(shè)橢圓，作變換得單位圓，記點(diǎn)在變換下的對應(yīng)點(diǎn)分別為，設(shè)直線和的斜率分別為（斜率存在且非零），和的面積分別為．則變換有以下性質(zhì)：性質(zhì)1：共線結(jié)合性，即；；．性質(zhì)2：或．證明：．性質(zhì)3：線段中點(diǎn)變成線段中點(diǎn)．性質(zhì)4：直線與曲線的位置關(guān)系保持不變．性質(zhì)5：直線上線段成比例，則變成直線上對應(yīng)的線段仍成比例．性質(zhì)6：或，證明：因為，即證之．性質(zhì)7：設(shè)線段在伸縮變換下的像為，顯然在伸縮變換下線段的長度關(guān)系不具有確定的關(guān)系，但是我們可以利用斜率的不變關(guān)系（性質(zhì)2）尋找的關(guān)系：即設(shè)線段所在直線斜率為，則．二、典例分析類型1：取值范圍型【例1】設(shè)直線和橢圓有且僅有一個公共點(diǎn)，求和的取值范圍．解析：令，則已知橢圓和直線變?yōu)橄鄳?yīng)的圓和直線，要使已知的直線與橢圓有且僅有一個公共點(diǎn)，只要相應(yīng)的直線與圓相切．由直線和圓相切的充要條件可知，即，故得，即，解得．【方法小結(jié)】轉(zhuǎn)化到直線與圓相切，建立參數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)最值求解．類型2：三角形面積最值型【例2】若是橢圓上的三點(diǎn)，求面積的最大值．解析：對橢圓做伸縮變換，橢圓就變成圓．此時橢圓的內(nèi)接就變成圓的內(nèi)接，而圓的內(nèi)接三角形以內(nèi)接正三角形面積最大，從而的最大值是，還原到橢圓中，由伸縮變換對應(yīng)多邊形面積比的不變性可知，的最大值是．【例3】已知橢圓，面積為的橢圓內(nèi)接四邊形有（）．A．個B．個C．個D．個解析：對橢圓做伸縮變換，橢圓就變成圓，此時相應(yīng)的橢圓內(nèi)接四邊形就變成圓的內(nèi)接四邊形，當(dāng)橢圓的內(nèi)接四邊形的面積時，其對應(yīng)的圓內(nèi)接四邊形的面積就是，由平面幾何知識知圓的內(nèi)接正方形的面積為，而這樣的內(nèi)接正方形有無數(shù)個，還原到橢圓可知對應(yīng)的橢圓內(nèi)接四邊形也有無數(shù)個，故選D．【例4】（2014年高考全國新課標(biāo)1卷理第20題）已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求的方程．解析：（Ⅰ）橢圓的方程為．（Ⅱ）由伸縮變換，橢圓（如下圖）變成了單位圓，變?yōu)?，設(shè)直線的方程為．原點(diǎn)到直線的距離為，圓與直線相交，則需要滿足，從而易得，則，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，此時直線的斜率為，且．又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為或．【方法小結(jié)】對于求三角形面積和直線方程問題，可以用性質(zhì)2和6求解．類型3：四邊形面積型【例5】（2013年高考全國新課標(biāo)2卷理科第20題）平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓右焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且的斜率為．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）為上的兩點(diǎn)，若四邊形的對角線，求四邊形的最大值．解析：在伸縮變換下，橢圓（如下圖）變成圓，（Ⅰ）由伸縮變換性質(zhì)知，又在橢圓中為的中點(diǎn)，則在單位圓中為的中點(diǎn)，則，故，即，又因為直線過橢圓的右焦點(diǎn)，則，于是，則橢圓的方程為．（Ⅱ）由知，則在單位圓中，．設(shè)與間的夾角為，則，則，又直線變換為直線，其方程為，則到直線的距離，則又，當(dāng)為圓的直徑時取等號，由伸縮變換的性質(zhì)知，．【方法小結(jié)】對于四邊形面積問題，在單位圓中利用三角函數(shù)的有界性和性質(zhì)6求解．類型4：距離型【例6】在橢圓上求一點(diǎn)，使它到直線的距離最短，并求此距離．解析：作仿射變換，則已知橢圓和直線變?yōu)橄鄳?yīng)的圓和直線，從而所求問題變?yōu)椋涸趫A上求一點(diǎn)到直線的距離的最短問題，由平面幾何知識可知，過圓的圓心作直線的垂線段，交圓于點(diǎn)，點(diǎn)到垂足的距離最短，由直線的垂線和圓相交，解方程可求得點(diǎn)為，則相應(yīng)橢圓所求的點(diǎn)為，所求最短距離為．【方法小結(jié)】距離最短，轉(zhuǎn)化為單位圓中的垂線段最短，聯(lián)立方程后得到點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)到直線的距離求解即可．類型5：證明型【例7】如圖，橢圓（其中）與過點(diǎn)的直線有只且只有個公共點(diǎn)，且橢圓的離心率．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)分別為橢圓的焦點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求證：．解析：（Ⅰ）如下圖利用伸縮變換，橢圓上的點(diǎn)變換為圓上的點(diǎn)，因為切線的方程為，所以切線的方程為，由點(diǎn)到切線距離，得，又，解得，從而橢圓方程為．（Ⅱ）由點(diǎn)可變換得，因為，所以．由性質(zhì)2可知，在橢圓中易得，從而，即，又，從而，得．【方法小結(jié)】用坐標(biāo)伸縮變換將橢圓問題化作圓處理，解答過程完全退去了代數(shù)運(yùn)算的成分，而是通過圖形的幾何性質(zhì)進(jìn)行解答，化繁為簡，事半功倍類型6：相切軌跡型【例8】（2014年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題）已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，離心率為．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若動點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線互相垂直，求點(diǎn)的軌跡方程．解析：（Ⅰ）（Ⅱ）如圖，設(shè)點(diǎn)在伸縮變換下的像分別為，可知，從而，直線與圓相切，設(shè)過點(diǎn)的圓的切線方程為，即，從而圓心到切線的距離為，即，根據(jù)韋達(dá)定理知，，化簡得，故點(diǎn)的軌跡方程為．【方法小結(jié)】在單位圓中得到切線方程，用點(diǎn)到直線的距離建立二次方程，用韋達(dá)定理得到，即可求得軌跡方程為．類型7：定值型【例9】（2011年重慶卷理科第20題）如題（20）圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線的方程為．（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ)設(shè)動點(diǎn)滿足：，其中是橢圓上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．解析：（Ⅰ）所求橢圓的方程為（Ⅱ）在伸縮變換的作用下（如下圖）橢圓變?yōu)閳A：，變?yōu)椋c(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)．在圓中，由，知，設(shè)，即，因為，所以，兩式平方相加，得，即點(diǎn)的軌跡為圓，由伸縮變換知，在橢圓中，點(diǎn)的軌跡為橢圓，所以存在兩個定點(diǎn)，使得．【方法小結(jié)】利用單位圓的參數(shù)方程得到點(diǎn)的軌跡為圓，通過伸縮變換得到點(diǎn)的軌跡為橢圓，所以存在兩個定點(diǎn)，使得．三、鞏固練習(xí)1.（2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題）如圖，設(shè)橢圓，動直線與橢圓只有一個公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限．（Ⅰ）已知直線的斜率為，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）若過原點(diǎn)的直線與垂直，證明：點(diǎn)到直線距離的最大值為．MPAxyBC2、（2011年江蘇卷理科第18題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連接，并延長交橢圓于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為．MPAxyBC（Ⅰ）當(dāng)直線平分線段時，求的值；（Ⅱ）當(dāng)時，求點(diǎn)到直線的距離；（Ⅲ）對任意，求證：．3.（2013年山東高考理文科第22題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長是2，離心率為．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)，是橢圓上滿足三角形的面積為的任意兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn).設(shè)，求實數(shù)的值.參考答案：1.第1小題的伸縮變換解法如下：解析：（Ⅰ）如圖，設(shè)切點(diǎn)，在伸縮變換的作用下，橢圓變換為圓，橢圓上的點(diǎn)變換為圓上的點(diǎn)，過點(diǎn)的切線變換為過點(diǎn)的切線，且，由點(diǎn)在圓上得=1\*GB3①，由得，從而，即，代入