數(shù)學(xué)新設(shè)計人教a版必修五講義第一章解三角形1-2（二）

§1.2應(yīng)用舉例(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測量的問題(重、難點(diǎn))；2.能運(yùn)用正弦、余弦定理解決測量角度的實(shí)際問題(重、難點(diǎn)).預(yù)習(xí)教材P13－15完成下列問題：知識點(diǎn)相關(guān)術(shù)語名稱術(shù)語意義圖示仰角與俯角在同一鉛直平面內(nèi)，目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角坡角坡面與水平面的夾角設(shè)坡角為α，坡度為i，則i＝eq\f(h,l)＝tan__α坡度坡面的垂直高度h和水平寬度l的比【預(yù)習(xí)評價】1.如圖，AB是底部B不可到達(dá)的一個建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，如果能測出點(diǎn)C，D間的距離CD和由C點(diǎn)，D點(diǎn)觀察A的仰角α，β，即可求建筑物高度AB.試把這一問題抽象成數(shù)學(xué)模型(已知測角儀器的高是h).提示問題的本質(zhì)如圖，已知∠AEC為直角，CD＝m，用α，β，m表示AE的長，所得結(jié)果再加上h.2.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15°的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北25°的方向上，仰角為8°，求此山的高度CD.試把本問題抽象成數(shù)學(xué)模型.提示問題本質(zhì)是：如圖，已知三棱錐D-ABC，DC⊥平面ABC，AB＝m，用α，β，m，γ表示DC的長.方向1底部可到達(dá)【例1－1】濟(jì)南泉城廣場上的泉標(biāo)是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟(jì)南的標(biāo)志和象征.李明同學(xué)想測量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場的A點(diǎn)測得泉標(biāo)頂端的仰角為60°，他又沿著泉標(biāo)底部方向前進(jìn)15.2m，到達(dá)B點(diǎn)，又測得泉標(biāo)頂部仰角為80°.你能幫李明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度嗎？(精確到1m)解如圖所示，點(diǎn)C，D分別為泉標(biāo)的底部和頂端.依題意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2m，則∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD中，根據(jù)正弦定理，eq\f(BD,sin60°)＝eq\f(AB,sin∠ADB).∴BD＝eq\f(AB·sin60°,sin20°)＝eq\f(15.2·sin60°,sin20°)≈38.5(m).在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°＝38.5·sin80°≈38(m)，即泉城廣場上泉標(biāo)的高約為38m.方向2底部不可到達(dá)【例1－2】如圖所示，A，B是水平面上的兩個點(diǎn)，相距800m，在A點(diǎn)測得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點(diǎn)測得∠ABD＝45°，其中D點(diǎn)是點(diǎn)C到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m).即山的高度為800(eq\r(3)＋1)m.規(guī)律方法準(zhǔn)確地畫出圖形，將已知數(shù)據(jù)反映到圖形中，從而將測量高度問題轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學(xué)圖形問題，然后再解三角形求解.【訓(xùn)練】如圖，地平面上有一旗桿OP，為了測得它的高度h，在地面上選一基線AB，AB＝20m，在A點(diǎn)處測得P點(diǎn)仰角∠OAP＝30°，在B點(diǎn)處測得P點(diǎn)的仰角∠OBP＝45°，又測得∠AOB＝60°，求旗桿的高度h.(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)解在Rt△AOP中，∠OAP＝30°，OP＝h.∴OA＝OP·eq\f(1,tan30°)＝eq\r(3)h.在Rt△BOP中，∠OBP＝45°，∴OB＝OP·eq\f(1,tan45°)＝h.在△AOB中，AB＝20，∠AOB＝60°，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos60°，即202＝(eq\r(3)h)2＋h2－2×eq\r(3)h×h×eq\f(1,2)，解得h2＝eq\f(400,4－\r(3))≈176.4，∴h≈13m.即旗桿的高度h約為13m.【探究1】一艘輪船從A出發(fā)，沿南偏東70°的方向航行40海里后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東35°的方向航行了40eq\r(2)海里到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到C，此船航行的方向和路程(海里)分別為()A.北偏東80°，20(eq\r(6)＋eq\r(2))B.北偏東65°，20(eq\r(3)＋2)C.北偏東65°，20(eq\r(6)＋eq\r(2))D.北偏東80°，20(eq\r(3)＋2)解析由題意，在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40eq\r(2).根據(jù)余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝402＋(40eq\r(2))2－2×40×40eq\r(2)×eq\f(\r(2)－\r(6),4)＝3200＋1600eq\r(3)，∴AC＝20(eq\r(6)＋eq\r(2)).根據(jù)正弦定理eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sin105°)，∴∠CAB＝45°，∴此船航行的方向和路程(海里)分別為北偏東65°，20(eq\r(6)＋eq\r(2)).故選C.答案C【探究2】一艘向正東航行的船，看見正北方向有兩個相距10海里的燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的北偏西30°，另一燈塔在船的北偏西15°，則這艘船的速度是每小時()A.5海里 B.5eq\r(3)海里C.10海里 D.10eq\r(3)海里解析設(shè)兩個燈塔分別為C，D，則CD＝10，由題意，當(dāng)船在B處時，∠ABC＝60°，∠CBD＝∠CDB＝15°，即CD＝BC＝10.在直角三角形CAB中，AB＝BCcos60°＝10×eq\f(1,2)＝5，則這艘船的速度是eq\f(5,\f(1,2))＝10海里/時，故選C.答案C【探究3】兩座燈塔A，B與海洋觀察站C的距離分別為a海里、2a海里，燈塔A在觀察站的北偏東35°，燈塔B在觀察站的南偏東25°，則燈塔A與燈塔B的距離為()A.3a海里 B.eq\r(7)a海里C.eq\r(5)a海里 D.eq\r(3)a海里解析依題意知∠ACB＝180°－25°－35°＝120°，在△ABC中，由余弦定理知AB＝eq\r(a2＋4a2－2·a·2a·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(7)a.即燈塔A與燈塔B的距離為eq\r(7)a(海里).故選B.答案B規(guī)律方法與距離問題和高度問題不同，角度問題求解的方向?yàn)榻?，但解決角度問題的關(guān)鍵仍在于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為具體的解三角形問題，即確定所求角，找出三角形中已知的邊和角，從而利用正、余弦定理將這些邊、角聯(lián)系起來求解.課堂達(dá)標(biāo)1.在某測量中，設(shè)A在B的南偏東34°27′，則B在A的()A.北偏西34°27′ B.北偏東55°33′C.北偏西55°33′ D.南偏西34°27′解析由方向角的概念，B在A的北偏西34°27′.答案A2.甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測20m高的旗桿，甲觀測的仰角為50°，乙觀測的仰角為40°，用d1，d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離，那么有()A.d1>d2 B.d1<d2C.d1>20m D.d2<20m解析仰角大說明距離小，仰角小說明距離大，即d1<d2.答案B3.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A.北偏東5° B.北偏西10°C.南偏東5° D.南偏西10°解析由題意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，從而可知燈塔A在燈塔B的北偏西10°.答案B4.甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是________.解析甲樓的高為20tan60°＝20×eq\r(3)＝20eq\r(3)(米)；乙樓的高為20eq\r(3)－20tan30°＝20eq\r(3)－20×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(40\r(3),3)(米).答案20eq\r(3)米、eq\f(40,3)eq\r(3)米5.為測量某塔的高度，在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測量的數(shù)據(jù)如圖所示，求塔的高度.解在△ABT中，∠ATB＝21.4°－18.6°＝2.8°，∠ABT＝90°＋18.6°，AB＝15(m).根據(jù)正弦定理，eq\f(15,sin2.8°)＝eq\f(AT,sin（90°＋18.6°）)＝eq\f(AT,cos18.6°)，AT＝eq\f(15×cos18.6°,sin2.8°).塔的高度為AT·sin21.4°＝eq\f(15·cos18.6°,sin2.8°)·sin21.4°≈106.19(m).即塔高約為106.19m.課堂小結(jié)1.在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較煩瑣，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計算方式.2.測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題.由于底部不可到達(dá)，這類問題不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理和余弦定理，計算出建筑物頂部到一個可到達(dá)點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.3.測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解.基礎(chǔ)過關(guān)1.從A處望B處的俯角為α，從B處望A處的仰角為β，則α，β的關(guān)系為()A.α>β B.α＝βC.α＋β＝90° D.α＋β＝180°解析由仰角和俯角的概念得α＝β.答案B2.如圖所示，在山底A處測得山頂B的仰角∠CAB＝45°，沿傾斜角為30°的山坡向山頂走1000米到達(dá)S點(diǎn)，又測得山頂仰角∠DSB＝75°，則山高BC為()A.500eq\r(2)m B.200mC.1000eq\r(2)m D.1000m解析由圖可知，∠BSA＝360°－75°－150°＝135°，∴∠ABS＝30°，在△ABS中，eq\f(AS,sin30°)＝eq\f(AB,sin135°)，∴AB＝eq\f(AS·sin135°,sin30°)＝eq\f(1000×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝1000eq\r(2)，∴BC＝1000eq\r(2)·sin45°＝1000m.答案D3.在靜水中劃船的速度是每分鐘40m，水流的速度是每分鐘20m，如果船從岸邊A處出發(fā)，沿著與水流垂直的航線到達(dá)對岸，那么船前進(jìn)的方向指向河流的上游并與河岸垂直的方向所成的角為()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(5,12)π解析設(shè)水流速度與船速的合速度為v，方向指向?qū)Π?則由題意知，sinα＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2)，又α∈(0，eq\f(π,2))，∴α＝eq\f(π,6).答案C4.江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距________m.解析設(shè)兩條船所在位置分別為A，B兩點(diǎn)，炮臺底部所在位置為C點(diǎn)，在△ABC中，由題意可知AC＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3)(m)，BC＝eq\f(30,tan45°)＝30(m)，C＝30°，AB2＝(30eq\r(3))2＋302－2×30eq\r(3)×30×cos30°＝900，所以AB＝30(m).答案305.如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測到，一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽車從C點(diǎn)到B點(diǎn)歷時14s，則這輛汽車的速度為________m/s(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(5)≈2.236.)解析由題意，AB＝200m，AC＝100m，由余弦定理可得BC＝eq\r(40000＋10000－2×200×100×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2))))≈279.79m，這輛汽車的速度為279.79÷14≈20.0m/s.答案6.飛機(jī)的航線和山頂在同一個鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海波25000米，速度為3000米/分，飛行員先在點(diǎn)A看到山頂C的俯角為30°，經(jīng)過8分鐘后到達(dá)點(diǎn)B(假設(shè)飛機(jī)還未飛過山頂)，此時看到山頂C的俯角為60°，則山頂?shù)暮０胃叨葹槎嗌倜祝?參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)＝1.414，eq\r(3)＝1.732，eq\r(6)＝2.449)解在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝30°，AB＝BC＝24000米.根據(jù)正弦定理，BC·sin60°＝24000×eq\f(\r(3),2)＝12000eq\r(3)≈20784米.所以，山頂C的海拔高度為25000－20784＝4216米.7.在某個位置測得某山峰仰角為θ，對著山峰在地面上前進(jìn)600m后測得仰角為2θ，繼續(xù)在地面上前進(jìn)200eq\r(3)m以后測得山峰的仰角為4θ，求該山峰的高度.解如圖所示，△BED，△BDC為等腰三角形，BD＝ED＝600，BC＝DC＝200eq\r(3).在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝eq\f(6002＋（200\r(3)）2－（200\r(3)）2,2×600×200\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m).即山峰高度為300m.能力提升8.甲船在B島的正南A處，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同時，乙船自B島出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時，它們航行的時間是()A.eq\f(150,7)min B.eq\f(15,7)hC.21.5min D.2.15h解析設(shè)經(jīng)過x小時時距離為s，則在△BPQ中，由余弦定理知PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ·cos120°，即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6x·(－eq\f(1,2))＝28x2－20x＋100，∴當(dāng)x＝eq\f(5,14)h時，s2最小.即當(dāng)航行時間為eq\f(5,14)h＝eq\f(150,7)min時，s最小.答案A9.在一座20m高的觀測臺臺頂測得對面一水塔塔頂仰角為60°，塔底俯角為45°，那么這座塔的高為()A.20(1＋eq\f(\r(3),3))m B.20(1＋eq\r(3))mC.10(eq\r(6)＋eq\r(2))m D.20(eq\r(6)＋eq\r(2))m解析如圖所示，AB為觀測臺，CD為水塔，AM為水平線.依題意得AB＝20，∠DAM＝45°，∠CAM＝60°，從而可知MD＝20，AM＝20，CM＝20eq\r(3)，∴CD＝20(1＋eq\r(3))(m).答案B10.如圖，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn).從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，則山高M(jìn)N＝________m.解析根據(jù)圖示，AC＝100eq\r(2).在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°)?AM＝100eq\r(3).在△AMN中，eq\f(MN,AM)＝sin60°，∴MN＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m).答案15011.某次臺風(fēng)中心最大風(fēng)力達(dá)到12級以上，大風(fēng)、降雨給災(zāi)區(qū)帶來嚴(yán)重的災(zāi)害，不少大樹被大風(fēng)折斷，某路邊一樹干被臺風(fēng)吹斷后，折成與地面成45°角，樹干也傾斜為與地面成75°角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，則折斷點(diǎn)與樹干底部的距離是________米.解析如圖，AB＝20，A＝45°，B＝75°，∴C＝60°，由正弦定理得eq\f(20,sin60°)＝eq\f(BC,sin45°)，∴BC＝eq\f(20·sin45°,sin60°)＝eq\f(20·\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq\f(20\r(6),3)(米).答案eq\f(20\r