新教材人教a版選擇性必修第二冊4.3.1第二課時等比數(shù)列的性質(zhì)課件

第二課時等比數(shù)列的性質(zhì)核心知識目標核心素養(yǎng)目標1.掌握等比數(shù)列的幾個基本性質(zhì),能夠運用這些性質(zhì)解決等比數(shù)列中的有關問題.2.熟練掌握等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應用.3.能夠運用已學的等比數(shù)列知識解決一些實際應用問題.通過推導等比數(shù)列的性質(zhì)及其應用,提升學生的數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng),通過利用等比數(shù)列的相關公式解決實際應用問題,提升學生的數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng).知識探究·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育知識探究·素養(yǎng)啟迪1915年,波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基創(chuàng)造了一個美妙的“藝術品”,被人們稱為謝爾賓斯基三角形,如圖所示.我們來數(shù)一數(shù)圖中那些白色的同一類三角形的個數(shù),可以得到一列數(shù):1,3,9,27,……,我們知道這是一個等比數(shù)列.情境導入探究:在等差數(shù)列{an}中有這樣的性質(zhì):若m+n=p+q,那么am+an=ap+aq,用上述情境中的數(shù)列驗證,在等比數(shù)列中是否有類似的性質(zhì)?提示:在等比數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,那么am·an=ap·aq.常用等比數(shù)列的性質(zhì)(1)如果m+n=k+l(m,n,k,l∈N*),則有

.(3)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差數(shù)列,則am,an,ap成等比數(shù)列.(4)在等比數(shù)列{an}中,每隔k項(k∈N*)取出一項,按原來的順序排列,所得的新數(shù)列仍為等比數(shù)列.知識探究am·an=ak·al(6)等比數(shù)列的項的對稱性:在有窮等比數(shù)列中,與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積,即a1·an=a2·an-1=ak·an-k+1=….[問題1]在等比數(shù)列{an}中,若am·an=ak·al,是否有m+n=k+l成立?提示:不一定成立,如an=2,a1a2=a3a4,但1+2≠3+4.[問題2]若數(shù)列{an}是各項都是正數(shù)的等比數(shù)列,那么數(shù)列{lgan}還是等比數(shù)列嗎?提示:不是等比數(shù)列,是等差數(shù)列.(7)等比數(shù)列的單調(diào)性①當a1>0,q>1或a1<0,0<q<1時,等比數(shù)列為遞增數(shù)列;②當a1>0,0<q<1或a1<0,q>1時,等比數(shù)列為遞減數(shù)列;③當q<0時,等比數(shù)列為擺動數(shù)列.小試身手D1.對任意等比數(shù)列{an},下列說法一定正確的是(

)(A)a1,a3,a9成等比數(shù)列(B)a2,a3,a6成等比數(shù)列(C)a2,a4,a8成等比數(shù)列(D)a3,a6,a9成等比數(shù)列解析:當下標成等差數(shù)列時,對應的項成等比數(shù)列.故選D.2.已知等比數(shù)列{an}中,a6=4,a8=8,則a10等于(

)(A)5 (B)6 (C)14 (D)16D3.在等比數(shù)列{an}中,已知a3=1,a5=4,a12=8,則a10=

.

答案:2

解析:由a3a12=a5a10得1×8=4a10,解得a10=2.4.已知{an}是等差數(shù)列,公差d不為零.若a2,a3,a7成等比數(shù)列,且2a1+a2=1,則a1=

,d=

.

課堂探究·素養(yǎng)培育探究點一等比數(shù)列的性質(zhì)[例1]已知{an}為等比數(shù)列.(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;(3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.解:(3)由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9,所以log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=log395=10.方法總結有關等比數(shù)列的計算問題,基本方法是運用方程思想列出基本量a1和q的方程組,先解出a1和q,然后利用通項公式求解.但有時運算稍繁,而利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題,卻簡便快捷,為了發(fā)現(xiàn)性質(zhì),要充分發(fā)揮項的“下標”的指導作用.答案:(1)B即時訓練1-1:(1)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a5a6+a4a7=6,則a1a2…a10等于(

)(A)1 (B)35 (C)15 (D)30解析:(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a5a6=a4a7,又a5a6+a4a7=6,所以2a5a6=6,所以a5a6=3,因為a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=3,所以a1a2…a10=35.故選B.(2)已知公比為q的等比數(shù)列{an},a5+a9=q,則a6(a2+2a6+a10)的值為

.

答案:(2)1探究點二等比數(shù)列的實際應用[例2]某人買了一輛價值萬元的新車,專家預測這種車每年按10%的速度貶值.(1)用一個式子表示n(n∈N*)年后這輛車的價值;解:(1)從第一年起,每年車的價值(萬元)依次設為a1,a2,a3,…,an,由題意得a1=13.5,a2=13.5(1-10%),a3=13.5(1-10%)2,….由等比數(shù)列定義,知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,首項a1=13.5,公比q=1-10%=0.9,所以an=a1·qn-1n-1.所以n年后車的價值為an+1n萬元.(2)如果他打算用滿4年時賣掉這輛車,他大概能得到多少錢?解:(2)由(1)得a5=a1·q44≈8.9(萬元),所以用滿4年時賣掉這輛車,大概能得到萬元.方法總結數(shù)列實際應用題常與現(xiàn)實生活和生產(chǎn)實際中的具體事件相聯(lián)系,建立數(shù)學模型是解決這類問題的核心,常用的方法有:①構造等差、等比數(shù)列的模型,然后用數(shù)列的通項公式或求和公式求解;②通過歸納得到結論,再用數(shù)列知識求解.即時訓練2-1:2020年,某縣甲、乙兩個林場森林木材的存量分別為16a和25a,甲林場木材存量每年比上一年遞增25%,而乙林場木材存量每年比上一年遞減20%.(1)哪一年兩林場木材的總存量相等?(2)兩林場木材的總量到2024年能否翻一番?解:(1)由題意可得16a(1+25%)n-1=25a(1-20%)n-1,解得n=2,故到2022年兩林場木材的總存量相等.探究點三等差、等比數(shù)列的綜合應用[例3]已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n(n+1)+2,其中n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若a2,ak+2,a3k+2(k∈N*)為等比數(shù)列{bn}的前三項,求數(shù)列{bn}的通項公式.方法總結求解等差、等比數(shù)列的綜合問題的技巧(1)理清各數(shù)列的基本特征量,明確兩個數(shù)列間各量的關系;(2)發(fā)揮兩個數(shù)列的基本量a1,d或b1,q的作用,并用好方程這一工具;(3)結合題設條件對求出的量進行必要的檢驗.即時訓練3-1:等比數(shù)列{an}中,已知a1=2,a4=16.(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;(2)若a3,a5分別是等差數(shù)列{bn}的第4項和第16項,求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Sn.解:(1)因為等比數(shù)列{an}中,a1=2,a4=16,所以2q3=16,解得q=2,所以an=2×2n-1=2n.探究點四由遞推關系求通項公式角度1

an+1=an+f(n)型方法總結把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n),再利用累加法(逐差相加法)求解,即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1).即時訓練4-1:在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+2n-1.求an.角度2

an+1=f(n)an型方法總結角度3

an+1=pan+q(其中p,q均為常數(shù),pq(p-1)≠0)型[例6]已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求an.方法總結課堂達標C1.在等比數(shù)列{an}中,an>0,且a1a10=27,則log3a2+log3a9等于(

)(A)9 (B)6 (C)3 (D)2解析:因為a2a9=a1a10=27,所以log