優(yōu)選課件：人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊614求導(dǎo)法則及其應(yīng)用

6.1.4求導(dǎo)法則及其應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)的四則運算法則特別地,(1)[cf(x)]′=cf′(x);(2).和、差的導(dǎo)數(shù)[f(x)±g(x)]′=_______________積的導(dǎo)數(shù)[f(x)·g(x)]′=_______________________商的導(dǎo)數(shù)(g(x)≠0)f′(x)±g′(x)f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)2.復(fù)合函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(1)定義:一般地,已知函數(shù)y=f(u)與u=g(x),給定x的任意一個值,就能確定u的值.如果此時還能確定y的值,則y可以看成__的函數(shù),此時稱f(g(x))有意義,且稱y=h(x)=f(g(x))為函數(shù)f(u)與g(x)的復(fù)合函數(shù),其中__稱為中間變量;(2)求導(dǎo)法則:h′(x)=[f(g(x))]′=f′(u)g′(x)=________________,這一結(jié)論也可以表示為y′x=________.xuf′(g(x))g′(x)y′uu′x【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)若y=x+,則y′=1+. (

)(2)若y=x2cosx,則y′=-2xsinx. (

)(3)若y=,則y′=-cosx. (

)(4)若y=3x2-e2x,則y′=6x-2ex. (

)提示:(1)×.由y=x+,得y′=1-.(2)×.由y=x2cosx,得y′=2xcosx-x2sinx.(3)×.由y=,得y′=.(4)×.根據(jù)導(dǎo)數(shù)四則運算法則,y′=(3x2)′-(e2x)′=6x-2e2x.2.已知函數(shù)f(x)=,f′(m)=-,則m= (

)A.-4 B.4 C.±2 D.-2【解析】選C.f′(x)=-,所以f′(m)=-=-,解得m=±2.3.函數(shù)y=x2sinx的導(dǎo)數(shù)為 (

)A.y′=2xsinx+x2cosx B.y′=2xsinx-x2cosxC.y′=x2sinx+2xcosx D.y′=x2sinx-2xcosx【解析】選A.因為y=x2sinx,所以y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.類型一利用運算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【典例】1.(2020·永州高二檢測)已知函數(shù)f(x)=ax2+2020,且f′(1)=4,則a的值為 (

)A.2020 B.2015 C.2 D.

2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=-lnx. (2)y=(x2+1)(x-1).(3)y=. (4)y=.【思維·引】1.先求f′(x),再解方程f′(1)=4,求a的值.2.運用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求導(dǎo).【解析】1.選C.根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=ax2+2020,則f′(x)=2ax,若f′(1)=4,即2a=4,解得a=2.2.(1)(2)y′=[(x2+1)(x-1)]′=(x3-x2+x-1)′=(x3)′-(x2)′+x′-1′=3x2-2x+1.(3)(4)【內(nèi)化·悟】運用導(dǎo)數(shù)四則運算法則求導(dǎo)需要注意哪些問題?提示:(1)分清所求導(dǎo)函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)組成,是函數(shù)的和、差還是積、商.(2)準(zhǔn)確運用法則求導(dǎo).

【類題·通】利用導(dǎo)數(shù)運算法則的策略(1)分析待求導(dǎo)式子符合哪種求導(dǎo)法則,每一部分式子是由哪種基本初等函數(shù)組合成的,確定求導(dǎo)法則,基本公式.(2)如果待求導(dǎo)式子比較復(fù)雜,則需要對式子先變形再求導(dǎo),常用的變形有乘積式展開變?yōu)楹褪角髮?dǎo),商式變乘積式求導(dǎo),三角函數(shù)恒等變換后求導(dǎo)等.(3)利用導(dǎo)數(shù)運算法則求導(dǎo)的原則是盡可能化為和、差,能利用和差的求導(dǎo)法則求導(dǎo)的,盡量少用積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo).

【習(xí)練·破】1.若函數(shù)f(x)=ax4+bx2+c滿足f′(1)=2,則f′(-1)等于 (

)

A.-1 B.-2 C.2 D.0【解析】選B.因為f′(x)=4ax3+2bx,所以f′(1)=4a+2b=2,所以f′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)=-2.2.(2020·全國Ⅲ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=.若f′(1)=,則a=________.

【解析】由函數(shù)的解析式可得:

則所以所以a2-2a+1=0,解得:a=1.答案:1【加練·固】1.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且滿足f(x)=2xf′(1)+lnx,則f′(1)等于

(

)A.-e

B.-1

C.1

D.e【解析】選B.因為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且滿足f(x)=2xf′(1)+lnx(x>0),所以f′(x)=2f′(1)+,把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2f′(1)+1,解得f′(1)=-1.2.若函數(shù)f(x)=在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù),則x0的值等于 (

)A.0 B.1 C. D.不存在【解析】選C.由于f(x)=,得f(x0)=,f′(x)=,所以f′(x0)=.依題意知f(x0)+f′(x0)=0,得=0,即=0,所以2x0-1=0,得x0=.

類型二復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【典例】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=ln(6x+4).(2)y=sin.(3)y=5log2(2x-1).【思維·引】先把復(fù)合函數(shù)拆分成基本初等函數(shù),再運用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo).【解析】(1)設(shè)y=lnu,u=6x+4,則y′x=y′u·u′x=·6=.(2)設(shè)y=sinu,u=3x-,則y′x=y′u·u′x=cosu·3=3cos.(3)設(shè)y=5log2u,u=2x-1,則y′=5(log2u)′·(2x-1)′=.【類題·通】求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟提醒:(1)內(nèi)、外層函數(shù)通常為基本初等函數(shù).(2)求每層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時注意分清是對哪個變量求導(dǎo),這是求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)時的易錯點.(3)逐層求導(dǎo)結(jié)束后對結(jié)果進(jìn)行化簡整理,使導(dǎo)數(shù)式盡量簡潔.

【習(xí)練·破】1.(2020·大慶高二檢測)已知f(x)=sin2x+e2x,則f′(x)= (

)

A.2cos2x+2e2x B.cos2x+e2xC.2sin2x+2e2x D.sin2x+e2x【解析】選A.根據(jù)題意,f(x)=sin2x+e2x,則f′(x)=2cos2x+2e2x.2.(2020·泉州高二檢測)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f′(2)=-1,則a= (

)

【解析】選A.f′(x)=-a,所以f′(2)=-a=-1,解得a=.類型三導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用【典例】1.已知e為自然對數(shù)的底數(shù),曲線y=aex+x在點(1,ae+1)處的切線與直線2ex-y-1=0平行,則實數(shù)a= (

)

2.已知拋物線y=f(x)=ax2+bx+c過點(1,1),且在點(2,-1)處與直線y=x-3相切,求a,b,c的值.【思維·引】利用切點處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率,切點坐標(biāo)既滿足曲線方程,也滿足切線方程.【解析】1.選B.函數(shù)y=aex+x的導(dǎo)數(shù)為y′=aex+1,可得曲線y=aex+x在點(1,ae+1)處的切線的斜率為y′=ae+1,所以ae+1=2e,解得a=.2.因為f(1)=1,所以a+b+c=1.①又f′(x)=2ax+b,f′(2)=1,所以4a+b=1.②又切點(2,-1)在拋物線上,所以4a+2b+c=-1.③把①②③聯(lián)立得方程組解得即a=3,b=-11,c=9.

【內(nèi)化·悟】運用導(dǎo)數(shù)解有關(guān)切線問題應(yīng)特別注意什么?提示:(1)導(dǎo)數(shù)的雙重性;(2)切點坐標(biāo)的雙重性.【類題·通】關(guān)于求導(dǎo)法則的綜合應(yīng)用(1)此類問題往往涉及切點、切點處的導(dǎo)數(shù)、切線方程三個主要元素.其他的條件可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而轉(zhuǎn)化為這三個要素間的關(guān)系.(2)準(zhǔn)確利用求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)是解決此類問題的第一步,也是解題的關(guān)鍵,務(wù)必做到準(zhǔn)確.易錯警示:分清已知點是否在曲線上,若不在曲線上則要設(shè)出切點.【習(xí)練·破】1.若函數(shù)f(x)=ex+2ax存在與直線y=5x+6平行的切線,則實數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】由f(x)=ex+2ax得f′(x)=ex+2a,又函數(shù)f(x)=ex+2ax存在與直線y=5x+6平行的切線,即ex+2a=5有解,所以ex=5-2a,所以5-2a>0,所以a<.答案:a<

2.設(shè)曲線y=xn+1(n∈N+)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為xn,令an=lgxn,則a1+a2+…+a99的值為________.

【解析】因為當(dāng)x=1時,y′=n+1,所以y=xn+1在點(1,1)處的切線方程為y=(n+1)(x-1)+1.令y=0,得x=xn=,所以an=lgn-lg(n+1),所以a1+a2+…+a99=lg1-lg100=-2.答案:-2【加練·固】若曲線y=x2+alnx(a>0)上任意一點處的切線斜率為k,若k的最小值為4,則此時該切點的坐標(biāo)為 (

)A.(1,1)

B.(2,3)

C.(3,1)

D.(1,4)【解析】選A.y=x2+alnx的定義域為(0,+∞),由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知y′=2x+≥2=4,得a=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立,代入曲線方程得y=1,故所求的切點坐標(biāo)是(1,1).1.已知函數(shù)f(x)=sin2x+lnx,則f′(1)的值為 (

)

A.1-2sin2 B.1+2cos2C.1+2sin2 D.1-2cos2【解析】選B.因為f′(x)=2cos2x+,所以f′(1)=2cos2+1.2.函數(shù)f(x)=ex+xsinx-7x在x=0處的導(dǎo)數(shù)等于 (

)A.-6 B.6 C.-4 D.-5【解析】選A.f′(x)=(ex)′+(xsinx)′-(7x)′=ex+sinx+xcosx-7,所以f′(0)=e0-7=-6.3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點P在曲線C:y=x3-10x+3上,且在第二象限內(nèi).已知曲線C在點P處的切線的斜率為2,則點P的坐標(biāo)為________.

【解析】設(shè)P(x0,y0)(x0<0),由題意知=3-10=2,即=4,得x0=-2,所以y0=15,故點P的坐標(biāo)為(-2,15).答案:(-2,15)4.(2020·廣州高二檢測)設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x),且滿足f(x)=f′(1)x3-2x,則f(1)=________.

【解析】根據(jù)題意,f(x)=f′(1)x3-2x,則f′(x)=3f′(1)x2-2xln2,當(dāng)x=1時,有f′(1)=3f′(1)-2ln2,解得f′(1)=ln2,則f(x)=ln2×x3-2x,故f(1)=ln2-2.答案:ln2-2【新情境·新思維】(2020·廣州高二檢測)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),記f1(x)=f′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x)(n∈N+).若f(x)=xsinx,則f5(x)+f7(x)= (

)A.-2cosx B.-2sinx C.2cosx D.2sinx【解析】選B.f(x)=xsinx,則f1(x)=f′(x)=sinx+xcosx,f2(x)=f1′(x)=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx,f3(x)=f2′(x)=-2sinx-sinx-xcosx=-3sinx-xcosx,f4(x)=f3′(x)=-3cosx-cosx+xsinx=-4cosx+xsinx,f5(x)=f4′(x)=4sinx+sinx+xcosx=5sinx+xcosx,f6(x)=f5′(x)=5cosx+cosx-xsinx=6cosx-xsinx,f7(x)=f6′(x)=-6sinx-sinx-xcosx=-7sinx-xcosx.則f5(x)+f7(x)=5sinx+xcosx-7sinx-xcosx=-2sinx.十六求導(dǎo)法則及其應(yīng)用【基礎(chǔ)練】(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)

1.(2020·秦州高二檢測)函數(shù)f(x)=x-2lnx,則f′(1)= (

)A.-1 B.1 C.2 D.-2【解析】選A.根據(jù)題意,f(x)=x-2lnx,其導(dǎo)數(shù)f′(x)=1-,則f′(1)=1-2=-1.2.(2020·福州高二檢測)已知函數(shù)f(x)=,則f′(x)= (

)【解析】選C.根據(jù)題意,f(x)=,則3.(2020·高安高二檢測)f(x)=x(2018+lnx),若f′(x0)=2020,則x0等于 (

)A.e2 B.1 C.ln2 D.e【解析】選D.f(x)=x(2018+lnx),則f′(x)=2019+lnx,所以f′(x0)=2019+lnx0=2020,所以x0=e.4.(2020·蘭州高二檢測)已知f(x)=sinx+cosx+,則f′等于 (

)A.-1+ B.1+C.1 D.-1【解析】選D.f′(x)=cosx-sinx,故f′=cos-sin=-1.二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2020·南通高二檢測)已知函數(shù)f(x)=(x+a)lnx,f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f(1)=f′(1),則實數(shù)a的值為________.

【解析】根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=(x+a)lnx,則f(1)=(1+a)ln1=0,則f′(x)=(x+a)′lnx+(x+a)(lnx)′=lnx+,則f′(1)=ln1+1+a=1+a,則有1+a=0,解得a=-1.答案:-16.(2020·全國Ⅰ卷)曲線y=lnx+x+1的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為________.

【解題指南】設(shè)切線的切點坐標(biāo)為(x0,y0),對函數(shù)求導(dǎo),利用求出x0,代入曲線方程求出y0,得到切線的點斜式方程,化簡即可.【解析】設(shè)切線的切點坐標(biāo)為(x0,y0),y=lnx+x+1,x0=1,y0=2,所以切點坐標(biāo)為(1,2),所求的切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.答案:y=2x三、解答題(每小題10分,共20分)7.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(2)(3)y=cos(3x-2).(4)f(x)=3x2+xcosx+lgx.【解析】(1)因為所以y′=(2)(3)y′=-sin(3x-2)×(3x-2)′=-3sin(3x-2).(4)f′(x)=6x+cosx-xsinx+.8.已知曲線y=e2x·cos3x在點(0,1)處的切線與直線l的距離為,求直線l的方程.【解析】因為y′=(e2x)′·cos3x+e2x·(cos3x)′=2e2x·cos3x-3e2x·sin3x,所以y′|x=0=2,所以經(jīng)過點(0,1)的切線方程為y-1=2(x-0),即y=2x+1.設(shè)符合題意的直線方程為y=2x+b,根據(jù)題意,得,解得b=6或-4.所以符合題意的直線方程為y=2x+6或y=2x-4.【能力練】(15分鐘·30分)1.(5分)已知f(x)=x2+cosx,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f′(x)的圖象是

(

)【解析】選A.函數(shù)f(x)=x2+cosx,f′(x)=-sinx,f′(-x)=-sin(-x)==-f′(x),故f′(x)為奇函數(shù),故函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱,排除B,D,

故C不對,A正確.2.(5分)(多選題)若存在過點O(0,0)的直線l與曲線f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,則a的值可以是 (

)【解析】選AB.因為(0,0)在直線l上,當(dāng)O(0,0)為f(x)的切點時,因為f′(0)=2,所以直線l的方程為y=2x,又直線l與y=x2+a相切,所以x2+a-2x=0滿足Δ=4-4a=0,得a=1;當(dāng)O(0,0)不是f(x)的切點時,設(shè)切點為(x0,)(x0≠0),則f′(x0)=-6x0+2,所以,得x0=,所以f′=-,所以直線l的方程為y=-x.由得x2+x+a=0,由題意得Δ=-4a=0,所以a=.綜上得a=1或a=.3.(5分)(2018·全國Ⅱ卷)曲線y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為__________________.

【解析】y′=,k==2,所以切線方程為y-0=2(x-0),即y=2x.答案:y=2x4.(5分)若f(x)=x2-2x-4lnx,則f′(x)=________,f′(x)>0的解集為______________________________.

【解析】由f(x)=x2-2x-4lnx,得函數(shù)定義域為(0,+∞),且f′(x)=2x-2-解得x>2,故f′(x)>0的解集為{x|x>2}.答案:2x-2-

{x|x>2}【加練·固】已知f(x)=cosx,g(x)=x,則關(guān)于x的不等式f′(x)+g′(x)≤0的解集為________.

【解析】f′(x)+g′(x)=-sinx+1≤0,所以sinx≥1,又sinx≤1,所以sinx=1,所以x=+2kπ,k∈Z.答案:

5.(10分)已知函數(shù)f(x)是關(guān)于x的二次函數(shù),f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),對一切x∈R,都有x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1成立,求函數(shù)f(x)的解析式.【解析】設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則f′(x)=2ax+b.所以x2f′(x)-(2x-1)f(x)=x2(2ax+b)-(2x-1)·(ax2+bx+c)=(a-b)x2+(b-2c)x+c=1,所以解得所以f(x)=2x2+2x+1.【培優(yōu)練】1.已知函數(shù)f(x)=x3-2x2+ax(x∈R,a∈R),在曲線y=f(x)的所有切線中,有且僅有一條切線l與直線y=x垂直.則實數(shù)a的值為________,切線l的方程為________.

【解析】因為f(x)=x3-2x2+ax,所以f′(x)=x2-4x+a.由題意可知,方程f′(x)=x2-4x+