數(shù)學物理方法 數(shù)學物理方程的定解問題

數(shù)學物理方法數(shù)學物理方程的定解問題第一頁，共七十七頁，2022年，8月28日2023/2/251第七章數(shù)學物理方程的定解問題在數(shù)學中，我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和模擬。———拉普拉斯第二頁，共七十七頁，2022年，8月28日一、數(shù)學物理方程(泛定方程):物理規(guī)律的數(shù)學表示

物理現(xiàn)象物理量u

在空間和時間中的變化規(guī)律，即物理量u在各個地點和各個時刻所取的值之間的聯(lián)系。數(shù)學語言描述泛定方程反映的是同一類物理現(xiàn)象的共性，和具體條件無關。數(shù)學物理方程：從物理問題中導出的函數(shù)方程，特別是偏微分方程和積分方程。重點討論：二階線性偏微分方程。例：牛頓第二定律反映的是力學現(xiàn)象的普遍規(guī)律，跟具體條件無關。第三頁，共七十七頁，2022年，8月28日三類典型的數(shù)學物理方程三類典型的數(shù)學物理方程雙曲型方程波動方程為代表拋物型方程擴散方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程第四頁，共七十七頁，2022年，8月28日51邊界問題---邊界條件體現(xiàn)邊界狀態(tài)的數(shù)學方程稱為邊界條件2歷史問題----初始條件體現(xiàn)歷史狀態(tài)的數(shù)學方程稱為初始條件例：一個物體做豎直上拋，一個物體斜拋。不同的初始條件→不同的運動狀態(tài)，但都服從牛頓第二定律。三、定解問題

在給定的邊界條件和初始條件下，根據(jù)已知的物理規(guī)律，在給定的區(qū)域里解出某個物理量u，即求u(x,y,z,t)。定解條件：邊界條件和初始條件的總體。它反映了問題的特殊性，即個性。泛定方程：不帶有邊界和初始條件的方程稱為泛定方程。它反映了問題的共性。二、定解條件第五頁，共七十七頁，2022年，8月28日6具體問題求解的一般過程：1、根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律列出泛定方程——客觀規(guī)律．2、根據(jù)已知系統(tǒng)的邊界狀況和初始狀況列出邊界條件和初始條件——求解所必須的已知條件．3、求解方法——行波法、分離變量法、積分變換法、格林函數(shù)法和變分法第六頁，共七十七頁，2022年，8月28日7.1數(shù)學模型（泛定方程）的建立建模步驟：（1）明確要研究的物理量是什么？從所研究的系統(tǒng)中劃出任一微元，分析鄰近部分與它的相互作用。（2）研究物理量遵循哪些物理規(guī)律？（3）按物理定律寫出數(shù)理方程（泛定方程）。第七頁，共七十七頁，2022年，8月28日

(一）均勻弦橫振動方程

現(xiàn)象描述（如圖）

：沿x軸繃緊的均勻柔軟的細弦，在平衡位置(x軸)附近產(chǎn)生振幅極小的橫向振動

目的：建立與細弦上各點的振動規(guī)律相應的方程

設定:

(1)弦不振動時靜止于x軸;

(2)用u(x,t)表示t時刻弦上任一點x在垂直于x軸方向上的橫向位移（偏離）情況弦的橫振動第八頁，共七十七頁，2022年，8月28日

選取不包括端點的一微元[x,x+dx]弧B段作為研究對象.研究對象:(4)設單位長度上弦受力F(x,t)，線力密度為：假設與近似：(1)弦是柔軟的(不抵抗彎曲),張力沿弦的切線方向(2)振幅極小,

張力與水平方向的夾角1和2

很小，僅考慮1和2的一階小量，略去二階小量(3)弦的重量與張力相比很小，可以忽略質(zhì)量線密度，u(x)u+duu012T2T1xx+dxFB第九頁，共七十七頁，2022年，8月28日B段弦的原長近似為dx.振動拉伸后：u(x)u+duu012T2T1xx+dxBFB段的質(zhì)量：弦長dx

，質(zhì)量線密度，則B段質(zhì)量

m=dx物理規(guī)律：用牛頓運動定律分析B段弦的受力及運動狀態(tài)：牛頓運動定律：第十頁，共七十七頁，2022年，8月28日①沿x-方向：弦橫向振動不出現(xiàn)x方向平移，得力平衡方程②沿垂直于x-軸方向：由牛頓運動定律得運動方程在微小振動近似下：由（1）式，弦中各點的張力相等u(x)u+duu012T2T1xx+dxBF（1）（2）第十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日波動方程：波速a受迫振動方程單位質(zhì)量弦所受外力，線力密度令………一維波動方程第十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日………一維波動方程------非齊次方程------齊次方程忽略重力和外力作用：如考慮弦的重量：u(x)u+uu012T2T1xx+xBF沿x-方向，不出現(xiàn)平移沿垂直于x-軸方向（1）（2）因為：所以有：討論：第十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日（二）輸動問題--擴散問題擴散現(xiàn)象：系統(tǒng)的濃度

不均勻時，將出現(xiàn)物質(zhì)從高濃度處向低濃度處轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象，稱之為擴散。①擴散定律即裴克定律：這是一條實驗定律數(shù)學建模：建立空間各點濃度u(x,y,z,t)的方程

物理規(guī)律：以擴散定律和粒子數(shù)守恒定律為研究基礎②粒子數(shù)守恒定律：單位時間內(nèi)流入某一體積的粒子數(shù)與流出這一體積的粒子數(shù)之差等于此體積內(nèi)的單位時間內(nèi)粒子數(shù)的增加量處理方法：在濃度不均勻的無源空間，劃出任一小立方體V為研究對象，分析濃度變化規(guī)律。

第十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日濃度不均勻:用濃度梯度

表示；擴散流強弱（強度）：用單位時間通過單位面積的物質(zhì)的量表示；擴散（裴克）實驗定律：擴散系數(shù)設定：處理方法：在濃度不均勻的無源空間，劃出任一小立方體V為研究對象，分析濃度變化規(guī)律。

擴散流強度與濃度梯度間關系：采用裴克實驗定律確定體元Ｖ內(nèi)粒子數(shù)：第十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日考察沿x-方向擴散流情況：單位時間沿x-方向凈流入量同理沿y和沿z方向凈流入量由粒子數(shù)守恒定律，有負號表示擴散方向與濃度梯度方向相反單位時間內(nèi)向V的凈流入量下面由粒子數(shù)守恒定律建立V內(nèi)粒子數(shù)變化規(guī)律。單位時間內(nèi)V內(nèi)粒子數(shù)的增加量第十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日如果擴散是均勻的,即D是一常數(shù)，則可以令D=a2，則有代入擴散定律三維擴散方程

如果所研究的空間存在擴散源，源強度與u(x,y,z,t)無關，且為F(x,y,z),這時擴散方程修改為如果所研究的空間存在源，源強度與u(x,y,z,t)成正比，即F(x,y,z)=b2u(x,y,z)這時擴散方程修改為討論：第十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日密度場：密度在空間的分布構(gòu)成一個標量場。有擴散源時系統(tǒng)的密度場滿足非齊次擴散方程穩(wěn)定狀態(tài)：密度u不隨時間變化，則泊松方程無擴散源：

F=0拉普拉斯方程（三）泊松方程或拉普拉斯方程:穩(wěn)定場問題第十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日例1

熱傳導所要研究的物理量：溫度物理規(guī)律：采用傅里葉實驗定律熱傳導現(xiàn)象：當導熱介質(zhì)中各點的溫度分布不均勻時，有熱量從高溫處流向低溫處。數(shù)學建模：傅里葉定律：溫度不均勻:用溫度梯度表示；傳熱的強弱即熱流強度：用單位時間內(nèi)通過單位面積的熱量表示；設定：沿曲面法向流出熱量：熱傳導系數(shù)第十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日②有限時間內(nèi)即時刻t1到t2通過閉曲面S流入V的熱量為

高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量對包圍該體積的面積分）熱場處理方法：在溫度不均勻的無源空間，劃出任一封閉曲面S包圍的體積元V（如圖）。①在S

上選取任一足夠小的微面元dS，在此面元范圍內(nèi)熱流強度近似為常量。

那么在dt時間內(nèi)從dS流入V的熱量為(向為正)：第二十頁，共七十七頁，2022年，8月28日③流入的熱量導致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化

流入的熱量：④溫度發(fā)生變化需要的熱量(c比熱容，ρ質(zhì)量密度)：熱傳導方程熱場如果物體內(nèi)有熱源，則溫度滿足非齊次熱傳導方程總結(jié)：熱傳導：熱量的傳遞；擴散：粒子的運動，兩者本質(zhì)不同，但滿足同一微分方程第二十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日例2靜電場電勢問題。介質(zhì)方程:其中:高斯定理:環(huán)路定理:

物理規(guī)律：由電磁學可知，靜電場滿足靜電學高斯定理、環(huán)路定理和介質(zhì)方程。數(shù)學建模：建立電勢u(x,y,z)與電荷密度ρ(x,y,z)的關系。由電場的高斯定理

物理問題：在介電常數(shù)為ε的介質(zhì)空間，存在電荷分布ρ(x,y,z)?激發(fā)電場?形成電勢分布u(x,y,z)。第二十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日若空間無電荷，即電荷密度，上式成為稱這個方程為拉普拉斯方程.由電場的環(huán)路定理，可知靜電場是一個保守場.由保守場的性質(zhì)，引入電勢u,且電場是電勢梯度的負值，即：進一步對電場取散度，有：泊松方程設電勢為:u(x,y,z)。第二十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日§7.13.4.本講作業(yè)第二十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日7.2定解條件

數(shù)學物理方程的定解

在給定的邊界條件和初始條件下，根據(jù)已知的物理規(guī)律，在給定的區(qū)域里解出某個物理量u，即求u(x,y,z,t)。1數(shù)學物理方程：不帶有邊界和初始條件的方程稱為泛定方程。它反映了問題的共性。2定解條件：邊界條件和初始條件的總體。它反映了問題的特殊性，即個性。第二十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日初始時刻的溫度分布：B、熱傳導方程的初始條件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件A、波動方程的初始條件——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點的初位移系統(tǒng)各點的初速度（一）初始條件波動方程含有時間的二階導數(shù)，所以需二個初始條件熱傳導方程含有時間的一階導數(shù)，所以需一個初始條件此類導方程不含時間的導數(shù)，所以不需要有初始條件第二十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日和

是空間坐標的函數(shù)注意：初始條件給出系統(tǒng)在初始狀態(tài)下物理量的分布，而不是某一位置處的情況。例１：一根長為l的弦，兩端固定于0和l。在中點位置將弦沿著橫向拉開距離h

，如圖所示，然后放手任其振動，試寫出初始條件。

l

x

l/2h解：初始時刻就是放手的那一瞬間，弦的形狀如圖所示,且弦處于靜止狀態(tài)，即有方程初始位移··初始速度第二十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日（二）邊界條件定義：系統(tǒng)的物理量在邊界上具有的情況。

A.第一類（狄利克雷）邊界條件給出未知函數(shù)在邊界上的函數(shù)值。例2：兩端固定的弦振動時的邊界條件：和常見的線性邊界條件分為三類：第二十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日例3：細桿熱傳導細桿在x=l端的溫度隨時間變化,設溫度變化規(guī)律為f(t),邊界的數(shù)理方程細桿x=l端的溫度處于恒溫狀態(tài),邊界的數(shù)理方程第一類邊界條件的基本形式：第二十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日B.第二類（諾伊曼）邊界條件例4：細桿熱傳導我們用傅里葉(熱傳導)定律來建立邊界的數(shù)學物理方程.

傅里葉實驗定律:單位時間內(nèi),通過單位面積的熱流為

給出未知函數(shù)在邊界上的法線方向的導數(shù)之值。第二類邊界條件的基本形式：細桿x=a端點絕熱的邊界條件：設細桿沿x軸方向,則一維傅里葉實驗定律改寫為其中u是所在位置處物體的k是傳熱系數(shù)。細桿x=a端點有熱流kf(t)流出的邊界條件：第三十頁，共七十七頁，2022年，8月28日（3）.第三類（混合）邊界條件１牛頓冷卻定律：單位時間內(nèi)，通過物體單位表面流入周圍介質(zhì)的熱流（即流出熱流）為式中u是物體表面的溫度，是周圍介質(zhì)的溫度，h是熱交換系數(shù)。在一維情況下，牛頓冷卻定律簡化為２一維傅里葉實驗定律先引入兩個基本物理定律：第三十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日例5：寫出導熱細桿l端“自由”冷卻的邊界條件。根據(jù)熱傳導定律，在

x=l

處：負x方向正x方向在x=0處：流出熱流強度由牛頓冷卻定律，此流出熱量與細桿和外界的溫度差成正比，即即：討論：如圖情況x第三十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日例6：細桿縱振動：端點與固定點彈性連接。應力為彈性力胡克定律：彈性力：則在端點這些是最常見的線性邊界條件，還有其它形式。（三）銜接條件

系統(tǒng)中可能出現(xiàn)物理性質(zhì)急劇變化的點(躍變點)。如兩節(jié)具有不同的楊氏模量的細桿在

x=0

處連接，這一點就是躍變點。躍變點兩邊的物理過程因此不同。但在躍變點，某些物理量仍然可以是連續(xù)的，這就構(gòu)成銜接條件。第三類邊界條件的基本形式：第三十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日這兩個等式就是構(gòu)成兩段銜接的是銜接條件。②折點處，橫向力應與張力平衡：即12①折點處位移極限值相同。弦在折點x0的左右斜率不同。即斜率有躍變，則uxx在折點x0不存在，也即此點處弦振動方程不成立。只能把弦以x0為界分為二段。例7橫向力F(t)集中作用于弦上x0點,使x0點成為折點（如圖）。但二段是同一根弦，它們間相互關連。因此要建立此關系：第三十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日例8

長為l的弦在x=0端固定，另一端

x=l自由，且在初始時刻t=0時處于水平狀態(tài)，初始速度為x(l-x)，且已知弦作微小橫振動，試寫出此定解問題.[解]（1）確定泛定方程：取弦的水平位置為軸，為原點，弦作自由（無外力）橫振動，所以泛定方程為齊次波動方程(2)確定邊界條件

對于弦的固定端，顯然有u(x,t)|x=0=0,ux(x,t)|x=l=0

另一端自由，意味著弦的張力為零．則第三十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日(3)確定初始條件根據(jù)題意，當時，弦處于水平狀態(tài)，即初始位移為零

初始速度

綜上討論，故定解問題為第三十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日例9

在均勻靜電場E0

中置入半徑為R0

的導體球，若導體

球接有穩(wěn)恒電池，使球與地保持電勢差u0

。試寫出電勢u滿足的泛定方程與定解條件。

解：選z軸沿均勻外電場E0的方向，見圖1。

0z(a)0Z(b)（圖1）第三十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日

設球內(nèi)外電勢分別用u0、u1

表示。（1）泛定方程。因為除球面上(R=R0)

有自由電荷分布外，球內(nèi)外的ρf=0

，故（2）定解條件

給出球面與無限遠最勢滿足的規(guī)律。

球面處：球面上電勢連續(xù)，即有邊界條件

0z(a)0Z(b)（圖1）第三十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日

現(xiàn)在計算上式從

Ｒ＝０到∞

的積分。由于在靜電場中，上式的積分與積分的路線無關，故可取積分路線l為直線，如圖(1)所示。將E０cosθ作為常數(shù)提出積分號外，并將u(R0)=u0

代入，便有邊界條件

無限遠處：可以把導體表面有限的電荷分布產(chǎn)生的電勢和電勢u0看成點電荷和點電勢源,由于點電荷在無限遠處的貢獻可以忽略不計，故可把目前問題簡化為點電勢在空間的分布問題。對于點電勢，隨著離開點勢源的距離l的增加,電勢是減少的,由圖(1)可得第三十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日§7.2本講作業(yè)第四十頁，共七十七頁，2022年，8月28日(一)線性二階偏微分方程(1)

偏微分方程含有未知多元函數(shù)及其偏導數(shù)的方程，如其中是未知多元函數(shù)，而

是未知變量；為的偏導數(shù).有時為了書寫方便，通常記7.3數(shù)學物理方程的分類*第四十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日(2)方程的階偏微分方程中未知函數(shù)偏導數(shù)的最高階數(shù)稱為方程的階．(3)方程的次數(shù)偏微分方程中最高階偏導數(shù)的冪次數(shù)稱為偏微分方程的次數(shù)．(4)線性方程一個偏微分方程對未知函數(shù)和未知函數(shù)的所有（組合）偏導數(shù)的冪次數(shù)都是一次的，就稱為線性方程，高于一次以上的方程稱為非線性方程．(5)準線性方程一個偏微分方程，如果僅對方程中所有最高階偏導數(shù)是線性的，則稱方程為準線性方程．(6)自由項在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導數(shù)的項稱為自由項．第四十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日（7）方程的通解如：二階線性非齊次偏微分方程的通解為其中是兩個獨立的任意函數(shù)．若函數(shù)的具體形式給定，則得到方程的特解。（8）方程的特解方程的解含有任意元素（即任意常數(shù)或任意函數(shù)）第四十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日1.二階線性偏微分方程的一般形式a11,a12,a22,b1,b2,c,f

只是x,y

的函數(shù)。f0

方程為齊次的;否則,為非齊次的.疊加原理定解問題的解可以看作幾個部分的線性疊加，只要這些部分各自所滿足的泛定方程和定解條件的相應的線性疊加正好是原來的泛定方程和定解條件。泛定方程、定解條件都是線性(二)二階線性偏微分方程的分類第四十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日2.二階偏微分方程的化簡作變換：為使變換非奇異，其雅克比行列式滿足變換運算有即第四十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日采用新變量后的方程其中第四十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日注意A11和A22形式相同，ξ和η用z表示，如果則有（或）注意到二階線性偏微分方程的特征方程特征方程的根為：通過求解此微分方程可以得到變換函數(shù)（特征線），從而線性偏微分方程得以簡化。第四十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日定義：1.當判別式以求得兩個實函數(shù)解

時，從特征方程可也就是說，偏微分方程(1)有兩條實的特征線．于是取方程可化為：作為新的自變量，此時有：第四十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日或者進一步作變換于是有所以又可以進一步將方程化為形式．我們前面建立的波動方程就屬于此類型．

這種類型的方程稱為雙曲型方程，是雙曲型方程的標準第四十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日2．當判別式時：這時方程重根特征線為一條實特征線作變換任意選取另一個變換，只要它和彼此獨立，即雅可比式第五十頁，共七十七頁，2022年，8月28日方程可化為：

此類方程稱為拋物型方程．熱傳導（擴散）方程就屬于這種類型．第五十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日3.當判別式面的討論，只不過得到的時：可以重復上和是一對共軛的復函數(shù)，或者說，兩條特征線是一對共軛復函數(shù)族:是一對共軛的復變量．進一步引進兩個新的實變量于是第五十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日所以

方程進一步化為這種類型的方程稱為橢圓型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz方程都屬于這種類型．第五十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日小結(jié)：

=a212

－a11a22判別式>0雙曲型

=0拋物線型

<0橢圓型波動方程（一維）例熱傳導方程（一維）拉普拉斯方程（二維）穩(wěn)定場方程波動方程熱傳導方程第五十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日

例9

判斷下面方程的類型

解（1）因為判別式故方程為雙曲型故方程為橢圓型(1)(2)（2）因為判別式第五十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日7.4達朗貝爾公式行波解這是一種類似于常微分方程方程求解的方法，這種方法解波動方程的基本思想是：先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。

關鍵步驟：通過變量變換，將波動方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程。（一）達朗貝爾公式思路：第五十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日引入新變量：采用復合導數(shù)求導法類似地即：第五十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日(1)通解對積分：積分常數(shù)依賴于再積分：f2(x-at)

是以速度

a

沿

x

軸正方向運動的行波,f1(x+at)是以速度

a

沿

x

軸反方向運動的行波。第五十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日確定待定函數(shù)的形式無限長，即無邊界條件設初始條件為和(2)達朗貝爾公式第五十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日設初速度為零由達朗貝爾公式x1x2t=0t1t2t3t4第六十頁，共七十七頁，2022年，8月28日設初位移為