數(shù)據(jù)表示和數(shù)制

數(shù)據(jù)表示和數(shù)制第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、數(shù)制數(shù)制是指用一組固定的數(shù)字和一套統(tǒng)一的規(guī)則來表示數(shù)目的方法。其中兩個(gè)最基本的概念是：基數(shù)(Radix)：一個(gè)計(jì)數(shù)制所包含的數(shù)字符號(hào)的個(gè)數(shù)稱為該數(shù)制的基數(shù)，通常用R表示，如二進(jìn)制的R為2。位值(權(quán))：任何一個(gè)R進(jìn)制的數(shù)都是由一串?dāng)?shù)碼表示的，其中每一位數(shù)碼所表示的實(shí)際值大小，除數(shù)碼本身的數(shù)值外，還與它所處的位置有關(guān)，由位置決定的值就叫位值(或稱權(quán)，PositionalValue)。位值用基數(shù)R的i次冪(Ri)表示。第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日

十進(jìn)制，它由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10個(gè)數(shù)字符號(hào)組成,數(shù)字符號(hào)在不同的數(shù)位上表示不同的數(shù)值，每個(gè)數(shù)位均逢十進(jìn)一。十進(jìn)制數(shù)的基數(shù)為10，位權(quán)為10的指數(shù)次冪。

二進(jìn)制數(shù)使用“0”和“1”這兩個(gè)數(shù)字符號(hào)，遵循“逢二進(jìn)一”的原則。例如：0+0=0；1+0=0+1=1；1+1=10；1+10=11；1+11=100。二進(jìn)制數(shù)的基數(shù)為2，位權(quán)為2的指數(shù)次冪。

八進(jìn)制數(shù)的數(shù)字符號(hào)有8個(gè)：0、1、2、3、4、5、6、7，“逢八進(jìn)一”，它的基數(shù)為8，位權(quán)為8的指數(shù)次冪。第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日

十六進(jìn)制數(shù)的示數(shù)符號(hào)有16個(gè)：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，“逢十六進(jìn)一”，它的基數(shù)為16，位權(quán)為16的指數(shù)次冪。八進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)均是為了方便書寫和閱讀時(shí)使用的，在計(jì)算機(jī)內(nèi)部實(shí)際上所有的數(shù)均是二進(jìn)制數(shù)。表1.1給出了十進(jìn)制數(shù)字0-15所對(duì)應(yīng)的二、八、十六進(jìn)制數(shù)。第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日表1.1十進(jìn)制數(shù)與二、八、十六進(jìn)制數(shù)對(duì)照表十進(jìn)制二進(jìn)制八進(jìn)制十六進(jìn)制十進(jìn)制二進(jìn)制八進(jìn)制十六進(jìn)制第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日二、數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換通常人們習(xí)慣在一個(gè)數(shù)的后面加上一個(gè)字母B、D、H、O來區(qū)分其前面表示的一個(gè)數(shù)用的是什么數(shù)制。例如：101.01B表示二進(jìn)制數(shù)101.01；A2BH表示十六進(jìn)制數(shù)A2B等。B：二進(jìn)制D：十進(jìn)制H：十六進(jìn)制O：八進(jìn)制第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日（1）非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)利用按權(quán)展開的方法，可以將任意數(shù)制的一個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。例如：將二進(jìn)制01000001轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)如下：

01000001B=0×27+1×26+0×25+0×24+0×23+0×22+0×21+1×20=64+1=65D。假定要將125.7O轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)，其轉(zhuǎn)換過程如下：第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日其轉(zhuǎn)換結(jié)果是：125.7O=1×82+2×81+5×80+7×8－1=64+16+5+0.875=85.875D。在八進(jìn)制中，小數(shù)點(diǎn)左邊的那位的權(quán)是1(80)，再左邊一位的權(quán)是8(81)，依此類推。而小數(shù)點(diǎn)右邊那些位的權(quán)，則是用基數(shù)(在此為8)去除，因此緊跟八進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)右邊那位的權(quán)是1/8，即0.125，下一位是1/64，即0.015625。第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日

r進(jìn)制數(shù)要轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)非常簡單，只需將每一位數(shù)字乘以它的權(quán)rn，再以十進(jìn)制的方法相加就可以得到它的十進(jìn)制的值。第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日（2）十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成r進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制整數(shù)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成r進(jìn)制采用的是除r取余法，具體過程介紹如下：（1）將十進(jìn)制數(shù)除r，保存余數(shù)。（2）若商為0，則進(jìn)行第三步，否則，用商代替原十進(jìn)制數(shù)，重復(fù)第1步。（3）將所有的余數(shù)找出，最后得到的余數(shù)作為最高位，最先得出的余數(shù)作為最低位，或者說由余數(shù)逆序排列而成的新的數(shù)據(jù)就是轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制的結(jié)果。第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日十進(jìn)制小數(shù)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成r進(jìn)制采用的是乘r取整法，具體過程介紹如下：（1）將十進(jìn)制數(shù)乘r，保存得數(shù)中的整數(shù)部分。（2）若得數(shù)為0，則進(jìn)行第三步，否則，用除了整數(shù)部分的小數(shù)部分的十進(jìn)制數(shù)代替原十進(jìn)制數(shù)，重復(fù)第1步。（3）將所有的整數(shù)找出，最后得到的整數(shù)作為最低位，最先得出的整數(shù)作為最高位，或者說由各整數(shù)按順序排列而成的新的數(shù)據(jù)就是轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制的結(jié)果。第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日例如把十進(jìn)制數(shù)23轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)的過程如圖1.10所示。第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日

【例】把0.47轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制。用線圖形式可演算如下：

0.47→0.94→0.88→0.76→0.52→0.04 ×2↓↓↓↓↓

整數(shù)01111 K－1K－2K－3K－4K－5在取5位小數(shù)時(shí)有(0.47)10=(0.K－1K－2K－3K－4K－5)2=(0.01111)2

第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日（3）二進(jìn)制數(shù)與十六、八進(jìn)制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換由于16=24

、8=23，所以在將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六（八）進(jìn)制數(shù)時(shí)，從小數(shù)點(diǎn)開始，分別向左和向右每四（三）位二進(jìn)制數(shù)劃為一組，用一位十六（八）進(jìn)制數(shù)代替，也稱為“以四（三）換一”；十六（八）進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)時(shí)正好相反，一位十六（八）進(jìn)制數(shù)用四（三）位二進(jìn)制數(shù)來替換，也稱“以一換四（三）”。第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日例如，要將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)，其轉(zhuǎn)換過程如下：最終轉(zhuǎn)換結(jié)果為：。例如，要將十六進(jìn)制數(shù)26CE轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，其轉(zhuǎn)換過程如下：第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日原碼、反碼和補(bǔ)碼在計(jì)算機(jī)中，不僅數(shù)值用0和1表示，而且正負(fù)號(hào)也用0和1表示。一般規(guī)定一個(gè)存儲(chǔ)單元的最高位(最左邊的一位)為符號(hào)位，如該位是0表示正，該位是1表示負(fù)。在計(jì)算機(jī)中，帶符號(hào)的數(shù)通常有三種表示方法：原碼、反碼和補(bǔ)碼。為簡單起見，下面我們只考慮用一個(gè)字節(jié)表示整數(shù)時(shí)的原碼、反碼和補(bǔ)碼。第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日

1.原碼原碼是一種機(jī)器數(shù)，原碼表示法就是在機(jī)器中最高位用0表示正數(shù)，用1表示負(fù)數(shù)，而其余位表示數(shù)本身。例如：

+15的原碼為：00001111 ↑

代表正 －15的原碼為：10001111 ↑

代表負(fù)

+0的原碼為：00000000

－0的原碼為：10000000同一個(gè)0在計(jì)算機(jī)中有不同的表示，這不適合計(jì)算機(jī)的運(yùn)算。第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日

2.反碼在反碼表示法中，正、負(fù)數(shù)的表示是不同的。正數(shù)的反碼和原碼是一樣的，如+15的反碼仍然是00001111。負(fù)數(shù)的反碼為符號(hào)位是1、其他各位是對(duì)原碼求反，如－15的反碼為11110000。數(shù)值0的反碼有兩種：+0的反碼為00000000，－0的反碼為11111111。即在反碼表示法中，0的表示仍然不惟一。第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日

3.補(bǔ)碼鑒于以上情況，計(jì)算機(jī)內(nèi)部采用補(bǔ)碼方法來表示數(shù)值。采用補(bǔ)碼方法的好處是可以簡化設(shè)計(jì)與計(jì)算，把減運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榧舆\(yùn)算來進(jìn)行。我們以時(shí)鐘為例來說明補(bǔ)碼的原理。比如現(xiàn)在的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是6點(diǎn)，而你的表停在11點(diǎn)的位置，如圖1-1所示。要調(diào)準(zhǔn)你的表可用兩種方法：①向前撥7格；②向后撥5格。第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日不管采用哪種方法，都能達(dá)到目的，可謂殊途同歸，但從算式上來看：

11+7=18(向前撥) 11－5=6(向后撥)計(jì)算結(jié)果并不一樣，那么操作結(jié)果為什么會(huì)一樣呢?這是因?yàn)楸肀P的刻度是以12為周期的，超過12就又從頭計(jì)數(shù)，因此上面的計(jì)算結(jié)果18因超過了12，再從頭開始計(jì)數(shù)后也就得到了6。這個(gè)12就稱為系統(tǒng)的模數(shù)，7和5相對(duì)于模數(shù)12來說稱做是互補(bǔ)的，即一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼。從上面的計(jì)算可以看出，減一個(gè)數(shù)就等于加上它的補(bǔ)碼，效果是相同的，這就是把減法變成加法的原理。第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日在計(jì)算機(jī)中以一個(gè)有限長度的二進(jìn)制位作為模。比如用一個(gè)字節(jié)表示一個(gè)數(shù)，則其模數(shù)為28，如運(yùn)算結(jié)果超過28，就從中減去28。反映在內(nèi)存中，其情況為

100000000即把8位以外的數(shù)舍掉。計(jì)算機(jī)中的補(bǔ)碼是這樣定義的：正數(shù)：其補(bǔ)碼與其原碼、反碼相同。例如： ［+15］補(bǔ)=［+15］原=［+15］反=00001111

［+127］補(bǔ)=［+127］原=［+127］反=01111111負(fù)數(shù)：最高位為1，其余各位在原碼的基礎(chǔ)上取反，然后在最低位加1，簡稱“求反加1”?？捎萌缦玛P(guān)系式表示：［x］補(bǔ)=［x］反+1第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日

注意：各位取反時(shí)不包括符號(hào)位，即符號(hào)位不求反。例如： ［-15］原=10001111 ［-127］原=11111111

［-0］原=10000000 ［-15］反=11110000

［-127］反=10000000 ［-0］反=11111111

［-15］補(bǔ)=11110001 ［-127］補(bǔ)=10000001

［-0］補(bǔ)=00000000因?yàn)椋?0］反+1=100000000，把超過8位的部分舍掉，則［-0］補(bǔ)的結(jié)果就是00000000，而+0的補(bǔ)碼也是00000000，即在補(bǔ)碼表示法中，0的表示是惟一的。在8位字長情況下，-128是一個(gè)特殊的數(shù)，計(jì)算機(jī)中規(guī)定它的表示為10