高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-第三講 主干考點(diǎn) 集合與常用邏輯用語

第三講第19頁─共19頁第三講主干考點(diǎn)集合與常用邏輯用語【名師高考導(dǎo)航】集合部分一般考查集合之間的關(guān)系和集合的運(yùn)算，其中，以集合語言為背景的新定義試題是高考中的熱點(diǎn)，且易于以集合為載體考查函數(shù)與方程、不等式、三角函數(shù)等有關(guān)知識(shí)，常用邏輯用語部分一般考查命題的真假判斷、命題的否定和充要條件的判斷，其中，充要條件是考查的重點(diǎn)，且易于以常用邏輯用語為工具考查函數(shù)、不等式、立體幾何、解析幾何中的基本概念及性質(zhì)的理解和判斷．【考點(diǎn)思維腦圖】【重要考點(diǎn)串講】一、集合1．集合中元素的性質(zhì)注意：求解含參數(shù)的集合問題時(shí)要根據(jù)互異性進(jìn)行檢驗(yàn)2．集合之間的關(guān)系(1)子集：對(duì)任意的，都有，則（或）．(2)真子集：若，但存在元素，且，則（或）．(3)集合相等：若，且，則．【注意】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．若集合含有個(gè)元素，則其子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．【提醒】集合的真子集一定是其子集，而集合的子集不一定是其真子集．3．集合的運(yùn)算及性質(zhì)交集并集補(bǔ)集圖形符號(hào)性質(zhì)二、常用邏輯用語1．四種命題及其關(guān)系在同一個(gè)命題四種形式的命題中，真命題的個(gè)數(shù)只能是0或2或4．2．復(fù)合命題真假判斷的方法（即真值表）真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真口訣記憶：一真則真；一假則假；與真假相反．3．命題的否定命題形式否定形式4．全稱命題與特稱命題全稱命題：，其否定是特稱命題：．特稱命題：，其否定是全稱命題：．【點(diǎn)撥】一般地，寫含有一個(gè)量詞的命題的否定，首先要明確這個(gè)命題是全稱命題還是特稱命題，并找到其量詞的位置及相應(yīng)結(jié)論，然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞或存在量詞改成全稱量詞，同時(shí)否定結(jié)論．5．充分條件與必要條件(1)若，則是的充分條件，是的必要條件．(2)若，則，互為充要條件．若命題對(duì)應(yīng)集合A，命題對(duì)應(yīng)集合B，則等價(jià)于，等價(jià)于．【提醒】判斷充分條件與必要條件時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：①確定條件是什么，結(jié)論是什么；②嘗試從條件推結(jié)論，結(jié)論推條件；③確定條件是結(jié)論的什么條件．【方法技巧突破】必考點(diǎn)1元素、集合與集合之間的關(guān)系【典例1】已知集合={}，若集合中至少有3個(gè)元素，則的取值范圍為A．(8，+∞)B．[8，+∞)C．(16，+∞)D．[16，+∞)【解析】通解∵集合={}，集合中至少有3個(gè)元素，∴，解得>16．故選C．優(yōu)解取=16，則集合={}={}={2，3}，所以排除A、B、D，故選C．【方法探究】要注意集合是一個(gè)自然數(shù)集，從而確定的取值范圍．【典例2】設(shè)，，已知且，則的取值集合為．【解析】因?yàn)?，即，所以或．若，則或；若，即，，則或．(分類討論)由與互異，得．(運(yùn)用元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn))故或．又，即，所以，解得且．綜上所述，的取值集合為{4}．【方法探究】該題結(jié)合方程與不等式的求解考查了元素與集合的關(guān)系、集合中元素的互異性以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．【典例3】已知集合，，則下列集合與的關(guān)系中正確的是A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，所以，又集合是集合中的元素，所以．【方法探究】此題易錯(cuò)選B．題中所給的兩個(gè)集合比較特殊，集合中的元素就是集合，當(dāng)集合是集合中的元素時(shí)，與是屬于關(guān)系．解題時(shí)要特別注意兩個(gè)集合中元素之間的關(guān)系是什么．【典例4】已知集合，．若有且只有3個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．(0,1)

B．(0,3)

C．(0,1)∪(1,3)

D．(–∞,1)∪(3,+∞)【解析】由題意知,集合為不等式的解集，所以．因?yàn)橛星抑挥?個(gè)真子集，所以中有2個(gè)元素，根據(jù)題意，且，故答案為C．【典例5】已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)是A．1B．3C．5D．9【解析】因?yàn)?，所以可?duì)，賦值，從而求出集合中元素的個(gè)數(shù)．賦值法：因?yàn)?，所以，或，或，或，或，或，所以，所以集合中?個(gè)元素，選C．【方法探究】求解集合中的元素個(gè)數(shù)題目的關(guān)鍵，一是要準(zhǔn)確判斷元素是否屬于該集合，判斷的依據(jù)就是能否將該元素化成集合中的代表元素的形式．對(duì)于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性．【典例6】已知集合，，則下列選項(xiàng)不可能成立的是A．B．C．D．【解析】由，得=[–1，2)∪(2，+∞)，=(，+∞)，=(–∞，]，選項(xiàng)A，B，C都有可能成立，對(duì)于選項(xiàng)D，不可能有．故選D．【典例7】已知集合，，則A．B．C．D．【解析】先通過解一元二次不等式求出集合，再借助數(shù)軸求解集合的運(yùn)算．集合或，所以或=，選B．【方法探究】判斷集合間關(guān)系的方法1．一一列舉觀察．2．集合元素特征法：首先確定集合中的元素是什么，弄清集合中元素的特征，再利用集合中元素的特征判斷集合間的關(guān)系．3．?dāng)?shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖或平面圖形把兩個(gè)集合表示出來，再判斷它們之間的關(guān)系（如本題）．必考點(diǎn)2集合的運(yùn)算【典例1】已知全集是實(shí)數(shù)集，，，則=A．[0，+∞)B．(–∞，–2)C．[–2，+∞)D．(–∞，–2)∪[0，+∞)【解析】通解因?yàn)?，所?[–2，2]，所以=(–∞，–2)∪(2，+∞)．因?yàn)椋?[0，+∞)，所以=(–∞，–2)∪[0，+∞)．故選D．優(yōu)解因?yàn)楱C3，所以–3，所以–3∈[]，故排除A、C；因?yàn)?∈B，所以0∈[]，故排除B．故選D．【方法探究】、兩個(gè)集合分別是函數(shù)、的值域．【典例2】(2017全國卷Ⅱ)設(shè)集合，，若，則A．B．C．D．【解析】∵，∴，∴，即，方程，解得或，∴．選C．【方法探究】關(guān)于集合及其運(yùn)算，首先要從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)集合，即集合中的元素是什么(如數(shù)、點(diǎn)、圖形等)，有什么樣的特征，進(jìn)而決定采取什么樣的策略解決問題．【典例3】已知，均為集合的子集，且，，則A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，所以，又，所以．若，則(否則，從而，則，與題中條件矛盾,故．同理，，，故．選D．【典例4】已知集合A={|}，B={|－2≤＜2}，則=A．[?2,?1]B．[?1,1]C．[?1,2）D．[1,2）【解析】，故=[?2,?1]．【方法探究】破解集合的運(yùn)算問題需掌握雙招：第一招，化簡(jiǎn)各個(gè)集合，即明確集合中元素的性質(zhì)，化簡(jiǎn)集合；第二招，借形解題，一般規(guī)律如下．再根據(jù)集合的交集、并集、補(bǔ)集的定義進(jìn)行基本運(yùn)算．【典例5】已知集合={4，}，={}，若，則實(shí)數(shù)的值為A．2B．3C．2或4D．2或3【解析】因?yàn)?{}，所以={2，3}，又集合={4，}，若，則2或3，故選D．【典例6】已知集合，，定義集合，則中元素的個(gè)數(shù)為A．77B．49C．45D．30【解析】因?yàn)榧?，所以集合中?個(gè)元素（即5個(gè)點(diǎn)），即圖中圓內(nèi)及圓上的整點(diǎn)，集合中有25個(gè)元素（即25個(gè)點(diǎn)）：即圖中正方形內(nèi)及正方形上的整點(diǎn)．集合的元素可看作下圖中正方形內(nèi)及正方形上的整點(diǎn)（除去四個(gè)頂點(diǎn)），即個(gè)．【方法總結(jié)】解集合的運(yùn)算問題應(yīng)注意如下三點(diǎn)：①注意觀察集合中元素的特點(diǎn)，元素是數(shù)還是有序數(shù)對(duì)，是函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域，還是函數(shù)的圖象等；②進(jìn)行集合基本運(yùn)算時(shí)要注意對(duì)應(yīng)不等式端點(diǎn)值的處理，尤其是求解集合補(bǔ)集的運(yùn)算，一定要搞清端點(diǎn)值的取舍，不能遺漏；③求解集合的補(bǔ)集運(yùn)算要注意，既要關(guān)注全集是什么，又要注意求補(bǔ)集的程序，一般先求出原來的集合，然后求其補(bǔ)集，不要直接轉(zhuǎn)化條件而導(dǎo)致漏解．必考點(diǎn)3命題的四種形式及其相互關(guān)系【典例1】(2017全國卷Ⅰ)設(shè)有下面四個(gè)命題：若復(fù)數(shù)滿足QUOTE，則QUOTE；：若復(fù)數(shù)QUOTE滿足，則QUOTE；：若復(fù)數(shù)，滿足，則QUOTE；：若復(fù)數(shù)QUOTE，則QUOTE．其中的真命題為A．，B．，C．，D．，【解析】設(shè)（），則，得，所以，正確；，則，即或，不能確定，不正確；若，則，此時(shí)，正確．選B．

【方法探究】在判斷四個(gè)命題之間的關(guān)系時(shí)，首先要分清命題的條件與結(jié)論，再比較每個(gè)命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系，要注意四種命題關(guān)系的相對(duì)性，一旦一個(gè)命題定為原命題，也就相應(yīng)地有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”；其中原命題與逆否命題真假性相同，否命題與逆命題真假性相同，對(duì)涉及數(shù)學(xué)概念的命題的判定要從概念本身入手，如本題要從共軛復(fù)數(shù)的概念入手判斷原命題的真假．【典例2】下列命題中為真命題的是A．命題“若，則”的逆命題B．命題“若，則”的否命題C．命題“若，則”的否命題D．命題“若，則”的逆否命題【解析】對(duì)于A，逆命題是“若，則”，是真命題；對(duì)于B，否命題是“若，則”，是假命題，因?yàn)榛?；?duì)于C，否命題是“若，則”，是假命題，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；對(duì)于D，逆否命題是“若，則”，是假命題，如，．故選A．【方法探究】原命題、逆命題、否命題、逆否命題的等價(jià)關(guān)系．【典例3】設(shè)，命題“若，則方程有實(shí)根”的逆否命題是A．若方程有實(shí)根，則B．若方程有實(shí)根，則C．若方程沒有實(shí)根，則D．若方程沒有實(shí)根，則【解析】一個(gè)命題的逆否命題，要將原命題的條件、結(jié)論加以否定，并且加以互換，故選D．【思路點(diǎn)撥】解題時(shí)要注意原命題與其他三種命題之間的關(guān)系．原命題為“若則”，則其逆否命題為“若則”．【方法總結(jié)】解決命題及其相互關(guān)系類試題，需要注意兩個(gè)方面：一是明確命題的否定與否命題的區(qū)別及其格式，命題的否定只否定結(jié)論，而否命題是條件與結(jié)論都否定；二是要正確對(duì)條件和結(jié)論進(jìn)行“否定”，尤其是含有不等號(hào)的問題，容易誤以為“≥”的否定是“≤”而導(dǎo)致錯(cuò)解．必考點(diǎn)4充分條件與必要條件的判斷【典例1】(2019年浙江卷)若，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】因?yàn)?，，所以，由可得，解得，所以充分性成立；?dāng)時(shí)，取，，滿足，但，所以必要性不成立．所以“”是“”的充分不必要條件．故選A．【方法探究】∵，，利用基本不等式進(jìn)行充分性和必要性推導(dǎo)．【典例2】(2017北京)設(shè),為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【解析】因?yàn)闉榉橇阆蛄?，所以的充要條件是．因?yàn)?，則由可知的方向相反，，所以，所以“存在負(fù)數(shù)，使得”可推出“”；而可推出，但不一定推出的方向相反，從而不一定推得“存在負(fù)數(shù)，使得”，所以“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分而不必要條件．【典例3】函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)存在，若：；：是的極值點(diǎn)，則A．是的充分必要條件B．是的充分條件，但不是的必要條件C．是的必要條件，但不是的充分條件D．既不是的充分條件，也不是的必要條件【解析】定義法：設(shè)，，但是是單調(diào)遞增函數(shù)，在處不存在極值，故“若則”是一個(gè)假命題，由極值的定義可得“若則”是一個(gè)真命題．故選C．【方法總結(jié)】定義法：正反方向推理，若，是的充分條件，或是的必要條件；若且，則是的充分非必要條件（或是的必要非充分條件）．此法適用于定義、定理判斷性問題，如本題．【典例4】給定兩個(gè)命題，．若是的必要而不充分條件，則是的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】等價(jià)法：因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，則，但，其逆否命題為，但，所以是的充分而不必要條件．選A．【方法探究】利用與，與的等價(jià)關(guān)系，此法適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題，常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來判斷，如本題．【典例5】若：，：關(guān)于的一元二次方程的一根大于零，另一根小于零，則是的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【解析】由，得；而方程的一根大于零，另一根小于零的充要條件是，即，解得．解法一(定義法)因?yàn)?，，所以是的充分不必要條件，即是的充分不必要條件．解法二(集合法)滿足條件的參數(shù)的取值集合為，滿足條件的參數(shù)的取值集合為，顯然，所以是的充分不必要條件．【方法探究】利用集合間的包含關(guān)系，若，則是的充分條件或是的必要條件；若=，則是的充要條件．此法多適用于命題中涉及字母的范圍的推斷問題．如本題．【方法總結(jié)】判斷充分條件與必要條件時(shí)應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)(1)要弄清先后順序：“的充分不必要條是”是指且；而“是的充分不必要條件”則是指且．(2)要善于舉出反例：當(dāng)從正面判斷或證明一個(gè)命題的正確或錯(cuò)誤不易進(jìn)行時(shí)，可以通過本出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明．(3)要注意轉(zhuǎn)化：是的必要不充分條件是的充分不必要條件；是的充要條件是的充要條件．必考點(diǎn)5含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假判斷【典例1】(2017山東)已知命題：，；命題：若，則，下列命題為真命題的是A．B．C．D．【解析】，，所以，所以為真命題；若，則，若，則，所以，所以為假命題．所以為真命題．選B．【典例2】已知命題：若，則；命題：若，則．在命題①；②；③；④中，真命題是A．①③B．①④C．②③D．②④【解析】由不等式的性質(zhì)可知，命題是真命題，命題為假命題，故①為假命題；②為真命題；③為真命題，則為真命題；④為假命題，則為假命題．所以選C．【方法探究】判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的關(guān)鍵是既要弄清構(gòu)成它的命題，的真假，又要弄清其結(jié)構(gòu)形式，如本題中要先判斷命題，的真假，再看新命題的結(jié)構(gòu)形式，最后根據(jù)真值表判斷構(gòu)成的新命題的真假．【典例3】已知命題：方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，命題：方程無實(shí)數(shù)根．若“或”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【解析】由“或”為真命題，得為真命題或?yàn)檎婷}．當(dāng)為真命題時(shí)，設(shè)方程的兩根分別為，，則有，解得；當(dāng)q為真命題時(shí)，有，解得．綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是．（求并集）【方法探究】此類題目一般會(huì)出現(xiàn)“或”為真，“或”為假，“且”為真，“且”為假等條件，解題時(shí)應(yīng)先將這些條件轉(zhuǎn)化為，的真假．，的真假有時(shí)是不確定的，需要討論．但無論哪種情況，一般都是先假設(shè)，為真,求出參數(shù)的取值范圍，當(dāng)它們?yōu)榧贂r(shí)取補(bǔ)集即可．【典例4】已知：，：，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．[–1，+∞)B．[3，+∞)C．(–∞，–1]∪[3，+∞)D．[–1，3]【解析】由：，解得或，要使得是的充分不必要條件，則是的充分不必要條件，即，．所以，解得或，故選C．【方法探究】是的充分不必要條件，等價(jià)于是的充分不必要條件．必考點(diǎn)6全稱命題、特稱命題的真假判斷【典例1】(2016浙江)命題“，使得”的否定形式是A．，使得B．，使得C．，使得D．，使得【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故選D．【典例2】已知命題：；命題：，則下列命題中為真命題的是A．B．C．D．【解析】先判斷命題，的真假，再根據(jù)真值表求解，當(dāng)時(shí)，有，不滿足，所以是假命題．如圖，函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)，即方程有解，所以是真命題．所以為假命題，排除A．因?yàn)閜為真命題，所以是真命題．C、D明顯均為假命題，故選B．【方法探究】1．全稱命題的真假判斷方法：(1)要判斷一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定的集合中的每一個(gè)元素，證明成立．(2)要判斷一個(gè)全稱命題是假命題，只要能舉出集合中的一個(gè)特殊值，使不成立即可，本題中的命題就是全稱命題．2．特稱命題的真假判斷方法：要判斷一個(gè)特稱命題是真命題，只要在限定的集合中，找到一個(gè)，使成立即可，否則這一特稱命題就是假命題，本題中的命題就是特稱命題．【典例3】已知命題：，使得為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．

【解析】命題是一個(gè)特稱命題，故是一個(gè)全稱命題．：，使得，即恒成立．設(shè)，則．令，即，解得．所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．由不等式恒成立可得，所以．所以的取值范圍是．【方法探究】將命題的真假轉(zhuǎn)化為不等式恒成立或不等式有解、方程有解或無解、函數(shù)最值等問題，從而根據(jù)函數(shù)性質(zhì)、不等式等內(nèi)容解決．必考點(diǎn)7有關(guān)參數(shù)取值范圍問題的求解【典例1】給定兩個(gè)命題，命題：對(duì)任意實(shí)數(shù)都有都有恒成立，命題：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，若“”為真命題，“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【思路點(diǎn)撥】若為真命題，求出參數(shù)的取值范圍；若為真命題，求出參數(shù)的取值范圍．由“”為真命題，“”為假命題，得，中有且僅有一個(gè)為真命題，從而可列出關(guān)于的不等式組，即可得結(jié)論．【解析】若為真命題，則或．即；若為真命題，則，即．因?yàn)椤啊睘檎婷}，“”為假命題，所以，中有且僅有一個(gè)為真命題．若真假，則；若假真，則．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【方法探究】根據(jù)命題的真假求解參數(shù)的取值范圍的關(guān)鍵是先求出相關(guān)命題為真時(shí)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)的取值范圍，如本題中，先分別求出命題，均為真命題時(shí)參數(shù)a的取值范圍；再根據(jù)真值表判斷兩個(gè)命題的真假；最后根據(jù)命題的真假情況，利用集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，求解參數(shù)的取值范圍，如本題中，列出關(guān)于的不等式組．【誤區(qū)警示】此類題目的易錯(cuò)點(diǎn)是：由若“”為真，“”為假，常誤得出“真假”這個(gè)結(jié)論，如本題中，當(dāng)“”為真，“”為假，得到的結(jié)論是“，中有且僅有一個(gè)為真”，此時(shí)應(yīng)分類討論：第一種情形，真假；第二種情形，假真，破解的關(guān)鍵是正確運(yùn)用真值表．【典例2】函數(shù)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件是A．B．C．D．或【思路點(diǎn)撥】把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，從而求出有一個(gè)零點(diǎn)的充分必要條件，再利用“以小推大”的技巧，即可得正確選項(xiàng)．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)函數(shù)沒有零點(diǎn)函數(shù)的圖象與直線無公共點(diǎn)．由數(shù)形結(jié)合，可得或，所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充分必要條件是或，應(yīng)排除D；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)是函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)的既不充分也不必要條件，應(yīng)排除B；同理，可排除C．應(yīng)選A．【方法探究】根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的值或取值范圍的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化條件，常通過有關(guān)性質(zhì)、定理、圖象等將原問題轉(zhuǎn)化為最值問題、有解問題等，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式（組），然后通過解方程或不等式（組）求出參數(shù)的值或取值范圍．如本題就是通過圖象先求出函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)的充分必要條件，然后求出此時(shí)參數(shù)的取值范圍，再利用“以小推大”的技巧，即可判斷