高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-第三講 主干考點(diǎn) 集合與常用邏輯用語_第1頁
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第三講第19頁─共19頁第三講主干考點(diǎn)集合與常用邏輯用語【名師高考導(dǎo)航】集合部分一般考查集合之間的關(guān)系和集合的運(yùn)算,其中,以集合語言為背景的新定義試題是高考中的熱點(diǎn),且易于以集合為載體考查函數(shù)與方程、不等式、三角函數(shù)等有關(guān)知識(shí),常用邏輯用語部分一般考查命題的真假判斷、命題的否定和充要條件的判斷,其中,充要條件是考查的重點(diǎn),且易于以常用邏輯用語為工具考查函數(shù)、不等式、立體幾何、解析幾何中的基本概念及性質(zhì)的理解和判斷.【考點(diǎn)思維腦圖】【重要考點(diǎn)串講】一、集合1.集合中元素的性質(zhì)注意:求解含參數(shù)的集合問題時(shí)要根據(jù)互異性進(jìn)行檢驗(yàn)2.集合之間的關(guān)系(1)子集:對(duì)任意的,都有,則(或).(2)真子集:若,但存在元素,且,則(或).(3)集合相等:若,且,則.【注意】空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.若集合含有個(gè)元素,則其子集有個(gè),真子集有個(gè),非空真子集有個(gè).【提醒】集合的真子集一定是其子集,而集合的子集不一定是其真子集.3.集合的運(yùn)算及性質(zhì)交集并集補(bǔ)集圖形符號(hào)性質(zhì)二、常用邏輯用語1.四種命題及其關(guān)系在同一個(gè)命題四種形式的命題中,真命題的個(gè)數(shù)只能是0或2或4.2.復(fù)合命題真假判斷的方法(即真值表)真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真口訣記憶:一真則真;一假則假;與真假相反.3.命題的否定命題形式否定形式4.全稱命題與特稱命題全稱命題:,其否定是特稱命題:.特稱命題:,其否定是全稱命題:.【點(diǎn)撥】一般地,寫含有一個(gè)量詞的命題的否定,首先要明確這個(gè)命題是全稱命題還是特稱命題,并找到其量詞的位置及相應(yīng)結(jié)論,然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞或存在量詞改成全稱量詞,同時(shí)否定結(jié)論.5.充分條件與必要條件(1)若,則是的充分條件,是的必要條件.(2)若,則,互為充要條件.若命題對(duì)應(yīng)集合A,命題對(duì)應(yīng)集合B,則等價(jià)于,等價(jià)于.【提醒】判斷充分條件與必要條件時(shí)需要注意以下幾點(diǎn):①確定條件是什么,結(jié)論是什么;②嘗試從條件推結(jié)論,結(jié)論推條件;③確定條件是結(jié)論的什么條件.【方法技巧突破】必考點(diǎn)1元素、集合與集合之間的關(guān)系【典例1】已知集合={},若集合中至少有3個(gè)元素,則的取值范圍為A.(8,+∞)B.[8,+∞)C.(16,+∞)D.[16,+∞)【解析】通解∵集合={},集合中至少有3個(gè)元素,∴,解得>16.故選C.優(yōu)解取=16,則集合={}={}={2,3},所以排除A、B、D,故選C.【方法探究】要注意集合是一個(gè)自然數(shù)集,從而確定的取值范圍.【典例2】設(shè),,已知且,則的取值集合為.【解析】因?yàn)?,即,所以或.若,則或;若,即,,則或.(分類討論)由與互異,得.(運(yùn)用元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn))故或.又,即,所以,解得且.綜上所述,的取值集合為{4}.【方法探究】該題結(jié)合方程與不等式的求解考查了元素與集合的關(guān)系、集合中元素的互異性以及分類討論的數(shù)學(xué)思想.【典例3】已知集合,,則下列集合與的關(guān)系中正確的是A. B. C. D.【解析】因?yàn)?,所以,又集合是集合中的元素,所以.【方法探究】此題易錯(cuò)選B.題中所給的兩個(gè)集合比較特殊,集合中的元素就是集合,當(dāng)集合是集合中的元素時(shí),與是屬于關(guān)系.解題時(shí)要特別注意兩個(gè)集合中元素之間的關(guān)系是什么.【典例4】已知集合,.若有且只有3個(gè)真子集,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.(0,1)

B.(0,3)

C.(0,1)∪(1,3)

D.(–∞,1)∪(3,+∞)【解析】由題意知,集合為不等式的解集,所以.因?yàn)橛星抑挥?個(gè)真子集,所以中有2個(gè)元素,根據(jù)題意,且,故答案為C.【典例5】已知集合,則集合中元素的個(gè)數(shù)是A.1B.3C.5D.9【解析】因?yàn)?,所以可?duì),賦值,從而求出集合中元素的個(gè)數(shù).賦值法:因?yàn)?,所以,或,或,或,或,或,所以,所以集合中?個(gè)元素,選C.【方法探究】求解集合中的元素個(gè)數(shù)題目的關(guān)鍵,一是要準(zhǔn)確判斷元素是否屬于該集合,判斷的依據(jù)就是能否將該元素化成集合中的代表元素的形式.對(duì)于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.【典例6】已知集合,,則下列選項(xiàng)不可能成立的是A.B.C.D.【解析】由,得=[–1,2)∪(2,+∞),=(,+∞),=(–∞,],選項(xiàng)A,B,C都有可能成立,對(duì)于選項(xiàng)D,不可能有.故選D.【典例7】已知集合,,則A.B.C.D.【解析】先通過解一元二次不等式求出集合,再借助數(shù)軸求解集合的運(yùn)算.集合或,所以或=,選B.【方法探究】判斷集合間關(guān)系的方法1.一一列舉觀察.2.集合元素特征法:首先確定集合中的元素是什么,弄清集合中元素的特征,再利用集合中元素的特征判斷集合間的關(guān)系.3.?dāng)?shù)形結(jié)合法:利用數(shù)軸或Venn圖或平面圖形把兩個(gè)集合表示出來,再判斷它們之間的關(guān)系(如本題).必考點(diǎn)2集合的運(yùn)算【典例1】已知全集是實(shí)數(shù)集,,,則=A.[0,+∞)B.(–∞,–2)C.[–2,+∞)D.(–∞,–2)∪[0,+∞)【解析】通解因?yàn)?,所?[–2,2],所以=(–∞,–2)∪(2,+∞).因?yàn)椋?[0,+∞),所以=(–∞,–2)∪[0,+∞).故選D.優(yōu)解因?yàn)楱C3,所以–3,所以–3∈[],故排除A、C;因?yàn)?∈B,所以0∈[],故排除B.故選D.【方法探究】、兩個(gè)集合分別是函數(shù)、的值域.【典例2】(2017全國卷Ⅱ)設(shè)集合,,若,則A.B.C.D.【解析】∵,∴,∴,即,方程,解得或,∴.選C.【方法探究】關(guān)于集合及其運(yùn)算,首先要從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)集合,即集合中的元素是什么(如數(shù)、點(diǎn)、圖形等),有什么樣的特征,進(jìn)而決定采取什么樣的策略解決問題.【典例3】已知,均為集合的子集,且,,則A. B. C. D.【解析】因?yàn)?,所以,又,所以.若,則(否則,從而,則,與題中條件矛盾,故.同理,,,故.選D.【典例4】已知集合A={|},B={|-2≤<2},則=A.[?2,?1]B.[?1,1]C.[?1,2)D.[1,2)【解析】,故=[?2,?1].【方法探究】破解集合的運(yùn)算問題需掌握雙招:第一招,化簡(jiǎn)各個(gè)集合,即明確集合中元素的性質(zhì),化簡(jiǎn)集合;第二招,借形解題,一般規(guī)律如下.再根據(jù)集合的交集、并集、補(bǔ)集的定義進(jìn)行基本運(yùn)算.【典例5】已知集合={4,},={},若,則實(shí)數(shù)的值為A.2B.3C.2或4D.2或3【解析】因?yàn)?{},所以={2,3},又集合={4,},若,則2或3,故選D.【典例6】已知集合,,定義集合,則中元素的個(gè)數(shù)為A.77B.49C.45D.30【解析】因?yàn)榧?,所以集合中?個(gè)元素(即5個(gè)點(diǎn)),即圖中圓內(nèi)及圓上的整點(diǎn),集合中有25個(gè)元素(即25個(gè)點(diǎn)):即圖中正方形內(nèi)及正方形上的整點(diǎn).集合的元素可看作下圖中正方形內(nèi)及正方形上的整點(diǎn)(除去四個(gè)頂點(diǎn)),即個(gè).【方法總結(jié)】解集合的運(yùn)算問題應(yīng)注意如下三點(diǎn):①注意觀察集合中元素的特點(diǎn),元素是數(shù)還是有序數(shù)對(duì),是函數(shù)的定義域、函數(shù)的值域,還是函數(shù)的圖象等;②進(jìn)行集合基本運(yùn)算時(shí)要注意對(duì)應(yīng)不等式端點(diǎn)值的處理,尤其是求解集合補(bǔ)集的運(yùn)算,一定要搞清端點(diǎn)值的取舍,不能遺漏;③求解集合的補(bǔ)集運(yùn)算要注意,既要關(guān)注全集是什么,又要注意求補(bǔ)集的程序,一般先求出原來的集合,然后求其補(bǔ)集,不要直接轉(zhuǎn)化條件而導(dǎo)致漏解.必考點(diǎn)3命題的四種形式及其相互關(guān)系【典例1】(2017全國卷Ⅰ)設(shè)有下面四個(gè)命題:若復(fù)數(shù)滿足QUOTE,則QUOTE;:若復(fù)數(shù)QUOTE滿足,則QUOTE;:若復(fù)數(shù),滿足,則QUOTE;:若復(fù)數(shù)QUOTE,則QUOTE.其中的真命題為A.,B.,C.,D.,【解析】設(shè)(),則,得,所以,正確;,則,即或,不能確定,不正確;若,則,此時(shí),正確.選B.

【方法探究】在判斷四個(gè)命題之間的關(guān)系時(shí),首先要分清命題的條件與結(jié)論,再比較每個(gè)命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系,要注意四種命題關(guān)系的相對(duì)性,一旦一個(gè)命題定為原命題,也就相應(yīng)地有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”;其中原命題與逆否命題真假性相同,否命題與逆命題真假性相同,對(duì)涉及數(shù)學(xué)概念的命題的判定要從概念本身入手,如本題要從共軛復(fù)數(shù)的概念入手判斷原命題的真假.【典例2】下列命題中為真命題的是A.命題“若,則”的逆命題B.命題“若,則”的否命題C.命題“若,則”的否命題D.命題“若,則”的逆否命題【解析】對(duì)于A,逆命題是“若,則”,是真命題;對(duì)于B,否命題是“若,則”,是假命題,因?yàn)榛?;?duì)于C,否命題是“若,則”,是假命題,因?yàn)楫?dāng)時(shí),;對(duì)于D,逆否命題是“若,則”,是假命題,如,.故選A.【方法探究】原命題、逆命題、否命題、逆否命題的等價(jià)關(guān)系.【典例3】設(shè),命題“若,則方程有實(shí)根”的逆否命題是A.若方程有實(shí)根,則B.若方程有實(shí)根,則C.若方程沒有實(shí)根,則D.若方程沒有實(shí)根,則【解析】一個(gè)命題的逆否命題,要將原命題的條件、結(jié)論加以否定,并且加以互換,故選D.【思路點(diǎn)撥】解題時(shí)要注意原命題與其他三種命題之間的關(guān)系.原命題為“若則”,則其逆否命題為“若則”.【方法總結(jié)】解決命題及其相互關(guān)系類試題,需要注意兩個(gè)方面:一是明確命題的否定與否命題的區(qū)別及其格式,命題的否定只否定結(jié)論,而否命題是條件與結(jié)論都否定;二是要正確對(duì)條件和結(jié)論進(jìn)行“否定”,尤其是含有不等號(hào)的問題,容易誤以為“≥”的否定是“≤”而導(dǎo)致錯(cuò)解.必考點(diǎn)4充分條件與必要條件的判斷【典例1】(2019年浙江卷)若,,則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】因?yàn)?,,所以,由可得,解得,所以充分性成立;?dāng)時(shí),取,,滿足,但,所以必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要條件.故選A.【方法探究】∵,,利用基本不等式進(jìn)行充分性和必要性推導(dǎo).【典例2】(2017北京)設(shè),為非零向量,則“存在負(fù)數(shù),使得”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】因?yàn)闉榉橇阆蛄?,所以的充要條件是.因?yàn)?,則由可知的方向相反,,所以,所以“存在負(fù)數(shù),使得”可推出“”;而可推出,但不一定推出的方向相反,從而不一定推得“存在負(fù)數(shù),使得”,所以“存在負(fù)數(shù),使得”是“”的充分而不必要條件.【典例3】函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)存在,若:;:是的極值點(diǎn),則A.是的充分必要條件B.是的充分條件,但不是的必要條件C.是的必要條件,但不是的充分條件D.既不是的充分條件,也不是的必要條件【解析】定義法:設(shè),,但是是單調(diào)遞增函數(shù),在處不存在極值,故“若則”是一個(gè)假命題,由極值的定義可得“若則”是一個(gè)真命題.故選C.【方法總結(jié)】定義法:正反方向推理,若,是的充分條件,或是的必要條件;若且,則是的充分非必要條件(或是的必要非充分條件).此法適用于定義、定理判斷性問題,如本題.【典例4】給定兩個(gè)命題,.若是的必要而不充分條件,則是的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】等價(jià)法:因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件,則,但,其逆否命題為,但,所以是的充分而不必要條件.選A.【方法探究】利用與,與的等價(jià)關(guān)系,此法適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題,常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來判斷,如本題.【典例5】若:,:關(guān)于的一元二次方程的一根大于零,另一根小于零,則是的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】由,得;而方程的一根大于零,另一根小于零的充要條件是,即,解得.解法一(定義法)因?yàn)?,,所以是的充分不必要條件,即是的充分不必要條件.解法二(集合法)滿足條件的參數(shù)的取值集合為,滿足條件的參數(shù)的取值集合為,顯然,所以是的充分不必要條件.【方法探究】利用集合間的包含關(guān)系,若,則是的充分條件或是的必要條件;若=,則是的充要條件.此法多適用于命題中涉及字母的范圍的推斷問題.如本題.【方法總結(jié)】判斷充分條件與必要條件時(shí)應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)(1)要弄清先后順序:“的充分不必要條是”是指且;而“是的充分不必要條件”則是指且.(2)要善于舉出反例:當(dāng)從正面判斷或證明一個(gè)命題的正確或錯(cuò)誤不易進(jìn)行時(shí),可以通過本出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明.(3)要注意轉(zhuǎn)化:是的必要不充分條件是的充分不必要條件;是的充要條件是的充要條件.必考點(diǎn)5含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假判斷【典例1】(2017山東)已知命題:,;命題:若,則,下列命題為真命題的是A.B.C.D.【解析】,,所以,所以為真命題;若,則,若,則,所以,所以為假命題.所以為真命題.選B.【典例2】已知命題:若,則;命題:若,則.在命題①;②;③;④中,真命題是A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】由不等式的性質(zhì)可知,命題是真命題,命題為假命題,故①為假命題;②為真命題;③為真命題,則為真命題;④為假命題,則為假命題.所以選C.【方法探究】判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的關(guān)鍵是既要弄清構(gòu)成它的命題,的真假,又要弄清其結(jié)構(gòu)形式,如本題中要先判斷命題,的真假,再看新命題的結(jié)構(gòu)形式,最后根據(jù)真值表判斷構(gòu)成的新命題的真假.【典例3】已知命題:方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根,命題:方程無實(shí)數(shù)根.若“或”為真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【解析】由“或”為真命題,得為真命題或?yàn)檎婷}.當(dāng)為真命題時(shí),設(shè)方程的兩根分別為,,則有,解得;當(dāng)q為真命題時(shí),有,解得.綜上可知,實(shí)數(shù)的取值范圍是.(求并集)【方法探究】此類題目一般會(huì)出現(xiàn)“或”為真,“或”為假,“且”為真,“且”為假等條件,解題時(shí)應(yīng)先將這些條件轉(zhuǎn)化為,的真假.,的真假有時(shí)是不確定的,需要討論.但無論哪種情況,一般都是先假設(shè),為真,求出參數(shù)的取值范圍,當(dāng)它們?yōu)榧贂r(shí)取補(bǔ)集即可.【典例4】已知:,:,若是的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.[–1,+∞)B.[3,+∞)C.(–∞,–1]∪[3,+∞)D.[–1,3]【解析】由:,解得或,要使得是的充分不必要條件,則是的充分不必要條件,即,.所以,解得或,故選C.【方法探究】是的充分不必要條件,等價(jià)于是的充分不必要條件.必考點(diǎn)6全稱命題、特稱命題的真假判斷【典例1】(2016浙江)命題“,使得”的否定形式是A.,使得B.,使得C.,使得D.,使得【解析】的否定是,的否定是,的否定是.故選D.【典例2】已知命題:;命題:,則下列命題中為真命題的是A.B.C.D.【解析】先判斷命題,的真假,再根據(jù)真值表求解,當(dāng)時(shí),有,不滿足,所以是假命題.如圖,函數(shù)與的圖象有交點(diǎn),即方程有解,所以是真命題.所以為假命題,排除A.因?yàn)閜為真命題,所以是真命題.C、D明顯均為假命題,故選B.【方法探究】1.全稱命題的真假判斷方法:(1)要判斷一個(gè)全稱命題是真命題,必須對(duì)限定的集合中的每一個(gè)元素,證明成立.(2)要判斷一個(gè)全稱命題是假命題,只要能舉出集合中的一個(gè)特殊值,使不成立即可,本題中的命題就是全稱命題.2.特稱命題的真假判斷方法:要判斷一個(gè)特稱命題是真命題,只要在限定的集合中,找到一個(gè),使成立即可,否則這一特稱命題就是假命題,本題中的命題就是特稱命題.【典例3】已知命題:,使得為假命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【解析】命題是一個(gè)特稱命題,故是一個(gè)全稱命題.:,使得,即恒成立.設(shè),則.令,即,解得.所以當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值.由不等式恒成立可得,所以.所以的取值范圍是.【方法探究】將命題的真假轉(zhuǎn)化為不等式恒成立或不等式有解、方程有解或無解、函數(shù)最值等問題,從而根據(jù)函數(shù)性質(zhì)、不等式等內(nèi)容解決.必考點(diǎn)7有關(guān)參數(shù)取值范圍問題的求解【典例1】給定兩個(gè)命題,命題:對(duì)任意實(shí)數(shù)都有都有恒成立,命題:關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根,若“”為真命題,“”為假命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【思路點(diǎn)撥】若為真命題,求出參數(shù)的取值范圍;若為真命題,求出參數(shù)的取值范圍.由“”為真命題,“”為假命題,得,中有且僅有一個(gè)為真命題,從而可列出關(guān)于的不等式組,即可得結(jié)論.【解析】若為真命題,則或.即;若為真命題,則,即.因?yàn)椤啊睘檎婷},“”為假命題,所以,中有且僅有一個(gè)為真命題.若真假,則;若假真,則.綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為.【方法探究】根據(jù)命題的真假求解參數(shù)的取值范圍的關(guān)鍵是先求出相關(guān)命題為真時(shí)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)的取值范圍,如本題中,先分別求出命題,均為真命題時(shí)參數(shù)a的取值范圍;再根據(jù)真值表判斷兩個(gè)命題的真假;最后根據(jù)命題的真假情況,利用集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算,求解參數(shù)的取值范圍,如本題中,列出關(guān)于的不等式組.【誤區(qū)警示】此類題目的易錯(cuò)點(diǎn)是:由若“”為真,“”為假,常誤得出“真假”這個(gè)結(jié)論,如本題中,當(dāng)“”為真,“”為假,得到的結(jié)論是“,中有且僅有一個(gè)為真”,此時(shí)應(yīng)分類討論:第一種情形,真假;第二種情形,假真,破解的關(guān)鍵是正確運(yùn)用真值表.【典例2】函數(shù),有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充分不必要條件是A.B.C.D.或【思路點(diǎn)撥】把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題,從而求出有一個(gè)零點(diǎn)的充分必要條件,再利用“以小推大”的技巧,即可得正確選項(xiàng).【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn),所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)函數(shù)沒有零點(diǎn)函數(shù)的圖象與直線無公共點(diǎn).由數(shù)形結(jié)合,可得或,所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充分必要條件是或,應(yīng)排除D;當(dāng)時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),此時(shí)是函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)的既不充分也不必要條件,應(yīng)排除B;同理,可排除C.應(yīng)選A.【方法探究】根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的值或取值范圍的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化條件,常通過有關(guān)性質(zhì)、定理、圖象等將原問題轉(zhuǎn)化為最值問題、有解問題等,得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組),然后通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或取值范圍.如本題就是通過圖象先求出函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)的充分必要條件,然后求出此時(shí)參數(shù)的取值范圍,再利用“以小推大”的技巧,即可判斷

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