【人教A版】高中數(shù)學(xué)必修二2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)學(xué)案設(shè)計(jì) 新人教A版必修2

第章2.3

點(diǎn)直、面間位關(guān)直、面直判及性2.3.4

平與面直性學(xué)習(xí)目標(biāo).究平面與平面垂直的性質(zhì)定理,進(jìn)步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能..面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)的推理能力.過(guò)平面與平面垂直的性質(zhì)定理的學(xué),培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思.合作學(xué)習(xí)一、設(shè)計(jì)問(wèn),創(chuàng)設(shè)情境如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'平面與面ABCD垂直直線(xiàn)垂直于交線(xiàn)平面A'ADD'內(nèi)的直線(xiàn)與平面垂直嗎二、信息交,揭示規(guī)律問(wèn)題如,若α⊥,α∩β=CDα,⊥,∩CD=B.論直線(xiàn)與平β的位置關(guān)系問(wèn)題2:能不能用三種語(yǔ)言描述平面與平面垂的性質(zhì)定,給出證?問(wèn)題3:平面與平面垂直的性質(zhì)定理的特點(diǎn)有?四、運(yùn)用規(guī),解決問(wèn)題【例1】如已知平面α,α⊥,⊥β,直線(xiàn)滿(mǎn)α,試判斷直線(xiàn)a與平面α的置

【例2】如圖四棱錐—的底面是AB=2,BC=的矩形側(cè)面是邊三角形,且側(cè)面PAB⊥面ABCD.(1)證明側(cè)PAB⊥側(cè)面PBC;(2)求側(cè)棱PC與底面所成的角(3)求直線(xiàn)AB與平面的距離.【例3】如,把等腰直角三角形沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)的置使CD=AC.(1)求證平ABD⊥平面ABC;(2)求二面角CA的弦值.【例4】如,在矩形中33,3,沿對(duì)角線(xiàn)把△折起使移C',且在平面內(nèi)射影恰落在AB上(1)求證AC'BC';(2)求AB與平面BC'D所成的正弦值;(3)求二面角C'BD的切五、變式演,深化提高.圖三柱ABC-AC中,BAC=90°,AB=BB=直線(xiàn)平面成30°角,求二面角BBA的弦值

77.圖邊為2的等邊PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在平,2,為BC的中點(diǎn)(1)證明AM⊥;(2)求二面角PD的小六、反思小,觀點(diǎn)提煉請(qǐng)同學(xué)們回想一下,本節(jié)課我們學(xué)了哪些內(nèi)?七、作業(yè)精,鞏固提高課本P習(xí)23B組1,3題參考答案問(wèn)題1:直線(xiàn)與平面β垂直.問(wèn)題2:兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言描述為:如果個(gè)平面直,那在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一平面②符號(hào)語(yǔ)言描述為:ABβ.③圖形語(yǔ)言描述為:如圖兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理證明過(guò)程如:如圖,已知α⊥β,∩β=aABα,⊥a于

求證:⊥證明:在平面β內(nèi)BE⊥垂足為,則∠就二面角α的平面由α⊥β可知BE.AB⊥CD,與是β內(nèi)兩條相交直線(xiàn),∴AB⊥問(wèn)題3:兩平面垂直的性質(zhì)定理的特點(diǎn)就是幫我們找平面的垂線(xiàn),因此是立體幾何中最重要的定理.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理的口訣是:“見(jiàn)到面面垂直,立在一個(gè)平面內(nèi)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)”四1解:α內(nèi)作垂直于α與β交的垂線(xiàn)b∵⊥β,∴⊥β∵⊥β,∴∥∵?α,∴∥α即直線(xiàn)a與面平行【例2】解(1)證明在矩形中BC⊥,又∵平面PAB⊥底面,側(cè)面∩底面,⊥側(cè)面PAB.又∵側(cè)面PBC,∴側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC.(2)如圖取的中點(diǎn),連接,,∵是等邊三角,∴⊥AB.又∵側(cè)面PAB⊥底面,∴PE⊥平面ABCD.∴∠PCE為側(cè)棱PC底面所成角PE=BA=,CE=在eq\o\ac(△,Rt)PEC中∠45°為所求(3)在矩形中,AB∥,∵側(cè)PCDAB側(cè)面PCD,∴∥側(cè)面取CD的點(diǎn)連接,,EFAB.又∵⊥,∴⊥平面PEF.∵∥,∴⊥平面PEF.平面PCD平面作EG,垂足為G則EG⊥平在eq\o\ac(△,Rt)PEF中,EG=為所求.【例3解(1)明:證法一:由題設(shè)知AD=CD=BD,作DO平面ABC,O為足則OA=OB=OC.∴是ABC外心即的中點(diǎn)∴∈AB即O∈平面

∴平ABD.平面ABD平面(證法二:取中點(diǎn),連接,,則有ODABOC,即是二面角D的平設(shè),則OC=OD=a,又,∴CD=a.∴COD是角三角,即∠COD=90°.∴二面角是直二面角即平面ABD⊥面(2)取BD的中點(diǎn)E,連接,,,△為正三角,∴⊥BD.又△BOD為等腰直角三角,∴⊥∴為二面角C的面角.同1)可證OC⊥平面,∴⊥OE.△為直角三角.設(shè),則,OE=a,∴cos∠即所求【例4】解(1)證明由題知⊥面,∵ABC',∴平面ABC'⊥平面ABD.又∵⊥,平面∩面ABD=AB∴⊥平面ABC'.∴AD⊥∵BC'⊥,BC'⊥平面AC'D.BC'AC'.(2)∵BC'平面AC'D平面BC'D,∴面⊥面BC'D.作AHC'D,則AH平面BC'D連接BH則BH為在平面上的射影∴∠ABH為與面BC'D成的.又在eq\o\ac(△,Rt)AC'D,33,AD=3,AC'=∴AH=.∴sin∠,即與面所角的正弦值(3)過(guò)作⊥于G連接C'G則⊥,則∠為面角BD的面在eq\o\ac(△,Rt)AC'B中,在eq\o\ac(△,Rt)BC'D中C'G=.∴OG=.∴tan∠C'GO==2,即二面角A正切值為2.點(diǎn)評(píng):直線(xiàn)與平面垂直是立體幾的核,是證明垂直問(wèn)題和求二面角的基,因此利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理找出平面的垂,就顯得非常重.五、1解由三棱柱性質(zhì)得平面ABC⊥平面B,過(guò)A作AN平面垂足為N,則AN⊥平面BCCB(即為我們要找的垂線(xiàn)),在平面內(nèi)過(guò)作NQ⊥垂足為連接,則∠即為二面角的平面角.∵在面ABC上的射影為CA⊥,∴⊥A.AB=BB1,得AB=.∵直線(xiàn)B與面成角∴∠CB=BC=2.在eq\o\ac(△,Rt)AC由勾股定理得AC=.∴AQ=在eq\o\ac(△,Rt)BAC中,AB=1,,得

sin∠AQN=,即二面角BA的正弦值2解:(1)明如圖,取的點(diǎn)E,連接,EM,EA,∵△PCD為正三角形,∴⊥,sinPDE=2sin60°=.∵平面PCD⊥平面,∴⊥平面ABCD.∵四邊形是矩,∴△ADE△ECMeq\o\ac(