高考四元聚焦·理數(shù)-《對點(diǎn)訓(xùn)練》 第26講　平面向量的概念及線性運(yùn)算

第頁第五單元平面向量與復(fù)數(shù)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(第26講平面向量的概念及線性運(yùn)算))1.(2023·福州市3月質(zhì)檢)在△ABC中，點(diǎn)O在線段BC的延長線上，且與點(diǎn)C不重合，假設(shè)eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)·eq\o(AC,\s\up6(→))，那么實(shí)數(shù)x的取值范圍是(A)A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(0,1)解析：eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))可化為eq\o(CO,\s\up6(→))＝xeq\o(CB,\s\up6(→))，因?yàn)辄c(diǎn)O在線段BC的延長上，所以x∈(－∞，0)，應(yīng)選A.2.(2023·本溪、莊河聯(lián)考)如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且交其對角線于K，其中eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，那么λ的值為(A)A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)解析：過點(diǎn)F作FG∥CD交AC于G，那么G是AC的中點(diǎn)，且eq\f(AK,KG)＝eq\f(\f(1,3),\f(1,2))＝eq\f(2,3)，所以eq\o(AK,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)×eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，那么λ的值為eq\f(1,5)，應(yīng)選A.3.(2023·吉林市3月預(yù)測)滿足方程(3,1)x2＋(2，－1)x＋(－8，－6)＝0的實(shí)數(shù)x為(A)A．－2B．－3C．3D.eq\f(4,3)解析：由(3x2＋2x－8，x2－x－6)＝0，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2＋2x－8＝0,x2－x－6＝0))，解得x＝－2，應(yīng)選A.4.(2023·山東省日照市)如下圖，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，那么以下等式中成立的是(A)A．c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)aB．c＝2b－aC．c＝2a－bD．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b解析：由eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，得eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝2(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，即2eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))，即c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a，應(yīng)選A.5.(2023·遼寧鞍山第二次模擬)在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，假設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－3，－5)，那么eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3).解析：因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1，－1)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1,3)．6.(2023·北京市石景山區(qū)一模)設(shè)向量a＝(cosθ，1)，b＝(1,3cosθ)，且a∥b，那么cos2θ＝－eq\f(1,3).解析：因?yàn)閍∥b，所以cosθ·3cosθ－1＝0，即3cos2θ＝1，cos2θ＝eq\f(1,3)，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝eq\f(2,3)－1＝－eq\f(1,3).7.(2023·臨沂二模)在△ABC中，D是邊AB上的一點(diǎn)，假設(shè)eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，CD＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，那么λ＝eq\f(2,3).解析：因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(2,3).8.圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝4以及點(diǎn)A(1,1)，M為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段MA的延長線上，且MA＝2AN，求點(diǎn)N的軌跡方程．解析：設(shè)N(x，y)，M(x1，y1)．由題意可知，eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(AN,\s\up6(→))，所以(1－x1,1－y1)＝2(x－1，y－1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－2x＋3,y1＝－2y＋3)).又M在圓C上，所以(x1－3)2＋(y1－3)2＝4，將方程組代入上式，得x2＋y2＝1，故點(diǎn)N的軌跡方程為x2＋y2＝1.9.點(diǎn)A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，假設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，試求：(1)λ為何值時，點(diǎn)P在第三象限；(2)點(diǎn)P到原點(diǎn)的最短距離．解析：(1)設(shè)P(x，y)，那么eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)．又eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．所以(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝3＋5λ,y－3＝1＋7λ))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5＋5λ,y＝4＋7λ))，①因?yàn)辄c(diǎn)P在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5＋5λ<0,y＝4＋7λ<0))，所以λ<－1，故當(dāng)λ<－1時，點(diǎn)P在第三象限．(2)將①消去λ，得P點(diǎn)軌跡方程為直線7x－5y－15＝0，所以點(diǎn)P到原點(diǎn)的最短距離為d＝eq\f(15,\r(72＋52))＝eq\f(15\r(74),74).1.(2023·遼寧卷)點(diǎn)A(1,3)，B(4，－1)，那么與向量eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的單位向量是(A)A．(eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))B．(eq\f(4,5)，－eq\f(3,5))C．(－eq\f(3,5)，eq\f(4,5))D．(－eq\f(4,5)，eq\f(3,5))解析：由，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－4)，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5，所以與eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的單位向量為eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝(eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))，應(yīng)選A.2.(2023·北京卷)向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))，假設(shè)a－2b與c共線，那么k＝1.解析：因?yàn)閍－2b＝(eq\r(3)，3)，c＝(k，eq\r(3))，又因?yàn)閍－2b與c共線，(方法一)所以eq\r(3)×eq\r(3)－3k＝0?k＝1.(方法二)所以a－2b＝λc?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)＝λk,3＝\r(3)λ))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1,λ＝\r(3))).3.(2023·江蘇卷)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC，假設(shè)eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，那么λ1＋λ2的值為eq\f(1,2).解析：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ1＋λ2＝－eq\f(1,6)＋eq\f(2,3)＝eq\f(1,2).4.(2023·山東卷)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，假設(shè)eq\o(A1A3,\s\up6(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up6(→))＝μeq\o(A1A2,\s\up6(→))(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，那么稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2.點(diǎn)C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)調(diào)和分割點(diǎn)A(0,0)，B(1,0)，那么下面說法正確的選項(xiàng)是(D)A．C可能是線段AB的中點(diǎn)B．D可能是線段AB的中點(diǎn)C．C，D可能同時在線段AB上D．C，D不可能同時在線段AB的延長線上解析：由eq\o(A1A3,\s\up6(→))＝λeq\o(A1A2,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(A1A4,\s\up6(→))＝μeq\o(A1A2,\s\up6(→))(μ∈R)知，四點(diǎn)A1，A2，A3，A4在同一條直線上．因?yàn)镃，D調(diào)和分割點(diǎn)A，B，所以A，B，C，D四點(diǎn)在同一直線上，又eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，所以eq\f(1,c)＋eq\f(1,d)＝2，應(yīng)選D.5.(2023·全國卷)△ABC中，AB邊的高為CD，假設(shè)eq\o(CB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，那么eq\o(AD,\s\up6(→))＝(D)A.eq\f(1,3)a－eq\f(1,