2021新高考數(shù)學卷2

--#且xw(-oo,xju(吃,+oo)時，f(x)>0；xe(xl9x2)時，/r(x)<0;故/(x)在(-8,不),(心+8)上為增函數(shù)，在(為，如)上為減函數(shù)，若勺=1,因為/(x)在(冷,+8)為增函數(shù)且/(1)=0,而當xe(o,x2)時，因為于(X)在(兀,切上為減函數(shù),ffi/(x)>/(^)=/(l)=O,故1為p°+PM+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根,若兀>1，因為/(1)=0且在(0,x2)上為減函數(shù)，故1為p°+P/+p2x2+/;3x3=x的一個最小正實根,綜上，若E(X)<1，則p=l.若E(X)>1，則門+2伐+3幾>1，故］人+2］人>p°.此時f(O)=-(p2+po+pi)<O,f(1)=必+2卩3一">0,故廣(x)有兩個不同零點兀，且兀<0<x4<1,且xe(-oo,x3)U(^4,-Ko)時,f(x)>0；xe(x5,x4)時,f(x)<0;故/(X)在(-8宀),(“,+8)上為增函數(shù)，在(“，兀)上為減函數(shù)，而/(1)=0,故/(E)v0,又f(O)=Po>O，故f(x)在(0,兀)存在一^零點“，且p<\.所以P為Po+P1X+p2X2+/；3X3=X的一1最小正實根，此時P<1,故當E(X)>1時,P<1.(3)意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1,則若干代必然滅絕,若繁殖后代的平均數(shù)超過1,則若干代后被滅絕的概率小于1.22.已知函數(shù)f(x)=(x-l)e'-ax2+b.討論/⑴的單調性；從下面兩個條件中選一個,證明：『⑴有一個零點1?—<a<—、b>2a;22@0<ci<^,b<2a.［思路分析］⑴首先求得導函數(shù)的解析式,然后分類討論確定函數(shù)的單調性即可；⑵由題意結合⑴中函數(shù)的單調性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結論.【解析】：(1)由函數(shù)的解析式可得:f'(x)=x(ex-2a),當*0時,若xe(-oo,0),則廣(x)<0J(x)單調遞減,若xw(0,+8),則廣(x)>0J(x)單調遞增;當0<?<|時，若xe(-co,lii(2?)),則廣(x)>0J(x)單調遞增,若xe(lii(26/).O),則廣(x)vOJ(x)單調遞減，若.￥€(0,4-00),則廣(x)>oj(x)單調遞增；當時，廣⑴noj(x)在R上單調遞增；當。+時，若Xw(-迪0),則廣(x)>0,/(x)單調遞增，乙

若xw(0,ln(2a)),則廣(x)vO,/(x)單調遞減，若xe(ln(2a),-Ko),則廣(x)>OJ(x)單調遞增;⑵若邇睪條恤:]2由于寸vg]，故lv2d",貝y/?>2?>l,/(0)=/?-l>0,而f(―b)=(—1—b)幺“—ab2—b<0,而函數(shù)在區(qū)間(-8,0)上單調遞增,故函數(shù)在區(qū)間(-8,0)上有一個零點./(ln(2a))=2a[ln(2d)-l]-a[ln(2d)]-+/?>2a[in(2a)一1]一a[in(2a)丁+2a=2aIn(2a)-a[in(2a)丁=dln(2d)[2-ln(2a)],12由于—vaW仝,l<2a<e2，故dln(2a)[2-ln(2a)],22結合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在區(qū)間(0,+乞)上沒有零點.綜上可得,題中的結論成立.若選擇條ft?:由于05V*,故2avl,則/(0)=Z?-l<2f/-l<0,當bno時，e2>4,4a<2,/(2)=/-4°+/?>0,而函數(shù)在區(qū)間(0,+“)上單調遞增,故函數(shù)在區(qū)間(0,+乞)上有一個零點.當bvo時，構造函數(shù)H(x)=ex-x-l，則H\x)=ex-i,當xe(-oo,0)時，H?)vO,H(x)單調遞減,當.￥e(0,+oo)時，H'(x)>0,H(x)單調遞增，注意到H(o)=o，故立，從而有：ex>x+l，此時：/(x)=(x-l)ev-ax2-Z?>(x-l)(x+l)-a￥2+b=(l-tz)x2+(b-l),當x>+1,則/(竝)>0,取X。二當x>+1,則/(竝)>0,取X。二即：/(0)<0,/+1>0,而函數(shù)在區(qū)間(O,+8)上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間(0,+乞)上有一個零點./(in(2^))=2a[in(2(7)-1]-a[in(2a)]-+b<2a[ln(2d)-l]-a[ln(2d)丁+2d=2aIn(2a)-a[in(2a)丁=dln(2d)[2-ln(2a)],由于Ovav*,0<2a<l，故aln（2d）［2-ln（2a）］vO,結合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在區(qū)間（-迪0）上沒有零點.綜上可得,題中的結論成立.【歸納總結】導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度