河南省安陽市滑縣高二（下）期末數學試卷（理科）（附答案詳解）

2019-2020學年河南省安陽市滑縣高二(下)期末數學試

卷(理科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1

1.用列舉法表示集合4={(x,y)|［：二久二+,，則下列表示正確的是()

——%

A.{x=l,y=0)B.{(1,0))C.{1,0}D.(1,0)

2.已知復數2=i—汽02。，則|。|=()

C.1D.V2

4.已知雙曲線1一馬=l(a>0,b>0),四點尸1(4,2),22(2,0),。3(—4,3),線(4,3)中

a2bl

恰有三點在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為()

A.更B.-C.亙D.\

2222

5.已知函數f(x)的圖象是由函數g(x)=cosx的圖象經過如下變換得到：先將g(x)的

圖象向右平移個單位長度，再將其圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，縱坐

標不變，則函數f(x)的圖象的一條對稱軸方程為()

A.x=￡B.x=—C.%=7D.x=—

612312

6.甲、乙、丙、丁四名同學在某次軍訓射擊測試中，各射擊10次.四人測試成績對應

的條形圖如圖：

頻率

1.01.01.01.0

0.90.90.90.9

OXO.S0.80.8

7

O.6

O.5

O.

O.4

O.3

O.

O.2

1

0

12345678環(huán)數

甲乙丙丁

以下關于這四名同學射擊成績的數字特征判斷不正確的是（）

A.平均數相同B.中位數相同C.眾數不完全相同D.方差最大的是丁

7.設公差不為0的等差數列｛an｝的前n項和為%.若A7=518,則在由8,S35,%7-

S19-Sr這四個值中，恒等于0的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

52345

8.已知（x—I）=a。+arx+a2x+a3x+a4x+a5x',則%—a2+a3—a4+

=（）

A.-32B.-33C.31D.34

9.如圖，邊長為1的正方形ABC。的內切圓為圓。，P,Q是圓。是

上任意兩點，則|而+而|的最大值為（）

A.0.5

B.1

C.1.5

D.2

10.一個所有棱長均為2的四面體可以在一個圓柱形容器內任意轉動，則此圓柱形容

3

器的容積的最小值為（）

A.V2TTB.y/3nC.27rD.37r

11.2020年5月5日，廣東虎門大橋發(fā)生異常抖動，原因是一定流速的風流經過橋面時，

產生了卡門渦街現象.卡門渦街是流體力學中重要的現象，在自然界中?？捎龅?

在工業(yè)生產中也有很多成功的應用.比如在工業(yè)中廣泛使用的卡門渦街流量計，就

是利用卡門渦街現象制造的一種流量計在流體中設置旋渦發(fā)生體（也稱狙流體），從

旋渦發(fā)生體兩側交替地產生有規(guī)則的旋渦，這種旋渦稱為卡門渦街.設旋渦的發(fā)生

頻率為/（單位：赫茲），旋渦發(fā)生體兩側平均流速為水單位：米/秒）,旋渦發(fā)生體的

迎面寬度為d（單位：米），表體通徑為D（單位：米），旋渦發(fā)生體兩側弓形面積與管

第2頁，共22頁

道橫截面積之比為m.根據卡門渦街原理，滿足關系式/=落，其中凡稱為斯特羅哈

爾數.對于直徑為d(即旋渦發(fā)生體的迎面寬度)的圓柱形旋渦發(fā)生體，滿足m=l-

黑小_(/+9],sine=g,。6[0,9設。=g，當aS0.005時，在近似計算中

可規(guī)定a=0.已知某圓柱形旋渦發(fā)生體的直徑為0。1米，表體通徑為10米，在平均

流速為20米/秒的風速下，發(fā)生的頻率是420赫茲，則“=()

A.0.15B.0.21C.0.32D.0.36

12.在正方體ABCD-4B1GD1中，點E,F,C分別是棱441，的仇，BC的中點，過點

名作平面a，使得4。1_La,若an平面418母山1=m,。。平面5/6=〃，則直線m

與直線n所成的角的正切值為()

A.五B.2C.JD.I

2345

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

2%—y—530

13.已知實數工，y滿足約束條件％-2y-2工0,則2=汽+丫的最小值為.

%<7

已知數列｛｝的前幾項和一若則以：&=.

14.anSn=1,k-L=2,

15.已知函數/(%)=蠟+er—%2(e、2.71828…為自然對數的底數)，則不等式

/(2x)<f(x-3)的解集為.

16.設F1，尸2是橢圓C：立+藝=1的兩個焦點，過尸1，尸2分別作直線是1,且，)〃2,

432

若k與橢圓C交于4,B兩點，％與橢圓C交于C，。兩點(點A，D在X軸下方)，則四

邊形ABCD面積的最大值為.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.在A/IBC中，內角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知2sin24+sin(4—8)=sinC,

且4堞

(I)求加值；

(口)若c=2,C=|,求△ABC的面積.

18.已知拋物線C：y2=2px(p>0),過拋物線C的焦點F且垂直于x軸的直線交拋物線

C于P,Q兩點，|PQ|=4.

(1)求拋物線C的方程，并求其焦點F的坐標和準線1的方程；

(2)過拋物線C的焦點尸的直線與拋物線C交于不同的兩點4,B,直線。4與準線，交

于點M.連接MF,過點尸作MF的垂線與準線，交于點N.求證：。，B,N三點共線.

19.如圖，在四棱柱ZBCD—4出￡。1中，底面4BCD為平行四邊形，AB=441=4,

AD=2,AABC=60°,且G在底面上的投影E恰為CD的中點.

(1)過QE作與4。垂直的平面a,交棱4D于點F,試確定點F的位置，并說明理由；

(2)若點M滿足的=4G瓦，試求;I的值，使二面角M-EF-C的平面角為135。.

20.已知函數/(*)=sinx—43,『(X)為/(x)的導函數.

(1)求f(x)在x=0處的切線方程；

(2)求證：f'(x)在(一^)上有且僅有兩個零點.

21.為了提高生產線的運行效率，工廠對生產線的設備進行了技術改造.為了對比技術

改造后的效果，采集了生產線的技術改造前后各20次連續(xù)正常運行的時間長度(單

位：天)數據，并繪制了如莖葉圖：

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改造前改造后

9865518

866543221022679

544132334567789

0411223

(I)(1)設所采集的40個連續(xù)正常運行時間的中位數m,并將連續(xù)正常運行時間超

過沉和不超過m的次數填入下面的列聯表：

超過小不超過m

改造前ab

改造后Cd

(2)根據(1)中的列聯表，能否有99%的把握認為生產線技術改造前后的連續(xù)正常運

行時間有差異？

n(ad-dc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>fc)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

(n)工廠的生產線的運行需要進行維護，工廠對生產線的生產維護費用包括正常維

護費、保障維護費兩種.對生產線設定維護周期為r天(即從開工運行到第H■天(k6

N*)進行維護.生產線在一個生產周期內設置幾個維護周期，每個維護周期相互獨

立.在一個維護周期內，若生產線能連續(xù)運行，則不會產生保障維護費；若生產線

不能連續(xù)運行，則產生保障維護費.經測算，正常維護費為0.5萬元/次；保障維護

費第一次為0.2萬元/周期，此后每增加一次則保障維護費增加0.2萬元.現制定生產

線一個生產周期(以120天計)內的維護方案：7=30,k=l,2,3,4.

以生產線在技術改造后一個維護周期內能連續(xù)正常運行的頻率作為概率，求一個生

產周期內生產維護費的分布列及期望值.

(i+t2

22.已知曲線Ci的參數方程為｛為參數)，曲線的參數方程為

為參數)，以直角坐標原點0為極點，x軸的正半軸為極軸建立極

坐標系.

(1)求曲線G和曲線的極坐標方程；

(2)射線。=，與曲線G和曲線分別交于M，N,已知點Q(4,0),求△QMN的面積.

23.已知函數f(%)=|%—2|+-a|,f(%)N6的解集為W0或％之6}.

(1)求a的值.

(2)若f(%)的最小值為3且兩正數小，幾滿足2m+九=2七，求證：素+

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：根據題意，%;二；1，解得故4=｛（1,0）｝.

故選:B.

根據題意，集合4是點集，包含的元素為y=x—l和y=—x+l的交點，求解即可.

本題主要考查集合，比較基礎，點集是解題關鍵.

2.【答案】C

【解析】解：???Z=i-*020=i_@4）505=-1+3

...|3|=|上|=|（T+i）（】T）I=Ijl=1

11+i111+i11111'

故選：C.

根據已知條件，結合復數的四則運算，以及復數模公式，即可求解.

本題主要考查復數的四則運算，以及復數模公式，屬于基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：

X-1

???/（X）為奇函數，其圖象關于原點對稱，故排除C,

當XT+8時，/（%）t0,故排除4,B,

故選：D.

根據奇偶性和函數值的變化趨勢即可判斷.

本題考查了函數圖象的識別，關鍵掌握函數的奇偶性和函數值的變化趨勢，屬于基礎題.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了雙曲線的簡單性質和離心率，屬于基礎題.

先判斷「3（-4,3）,「4（4,3）都在雙曲線上，則P1（4,2）一定不在雙曲線上，貝妙2（2,0）在雙曲

線上，則可得a=2,求出b和c,再根據離心率公式計算即可.

【解答】

解：根據雙曲線的性質可得「3(-4,3),P4(4,3)都在或都不在雙曲線上，

由題意知「3、”都在雙曲線上，

則B(4,2)一定不在雙曲線上，則。2(2,0)在雙曲線上，

r口169

?"=2且/一應=1,

解得爐=3,

???c2=a24-/?2=7,

???c=V7，

C\f7

Ae=一=一，

a2

故選C.

5.【答案】A

【解析】解：已知函數/(%)的圖象是由函數g(%)=cos%的圖象經過如下變換得到：先

將g(x)的圖象向右平移9個單位長度，可得y=cos(x-》的圖象，

再將其圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?，縱坐標不變，可得函數/(x)=cos(2x-

學的圖象，

令2x*="，可得/(x)的圖象的對稱軸方程為％=與+9keZ,結合所給的選項，

3Z6

故選：A.

根據函數y=Asin(3x+w)的圖象變換規(guī)律，余弦函數的圖象的對稱性，可得結論.

本題主要考查函數丁=加譏(3乂+租)的圖象變換規(guī)律，余弦函數的圖象的對稱性，屬于

基礎題.

6.【答案】D

【解析】解：平均數為:“甲=4X0.5+6x0.5=5,x乙=4x0.3+5x0.4+6X0.3=5,

%丙=3X0.3+4x0.1+5x0.2+6x0.1+7x0.3=5,%丁=2x0.1+4x0.3+5x

0.24-6x0.3+8x0.1=5,故A正確；

對于B,甲的中位數為：等=5,乙的中位數為：5；

丙的中位數為5；丁的中位數為：5,故8正確；

對于C,甲的眾數為4和6；乙的眾數為5：丙的眾數為3和7；丁的眾數為4和6,故C正

確；

對于D,結合圖形得方差最大的是丙，故。錯誤.

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故選：D.

結合甲、乙、丙、丁的條形圖，分別求出四人測試成績的平均數、中位數、眾數，再由

結合圖形得方差最大的是丙，由此能求出結果.

本題考查命題真假的判斷，考查條形圖統計圖的性質、數據特征等基礎知識，考查運算

求解能力，是基礎題.

7.【答案】C

【解析】解：設｛冊｝的首項為的,公差為d,由Si7=Si8,

18X17

即17%+彳％=18al+d,

2

得的=-17d,

???an=(n-18)d,

_n(-17d+nd-18d)__n(n-35),

n-2-2，

所以。18=0,S35=0.

%7—Q]9=—d—d=-2dt

19x(-16),16X(-19),

S19-S16=---a-----------a=0.

故選：c.

設｛的J的首項為的，公差為d,由S17=S18,即17%+手d=18%+等d,得為

-17d,可得：即，S“，即可判斷出結論.

本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、方程的解法，考查了推理能力與計算能力,

屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：令％=0,則劭=(一1)5=-1,

令X=-1,則Q0—%+02=(—1—1)5=—32,

所以-Q]+a2—***—%=—32—(—1)=-31,

則Q]—。2+…+。5=—(—31)=31,

故選：C.

分別令％=0,%=-1,建立方程即可求解.

本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題.

9.【答案】B

【解析】解：由已知條件，建立如圖所示的平面

直角坐標系，

則4號,一?嗎）

設pGcosO'sin。），Q^cosS弓sinB）,

^AAP=(^cosd+~|sind+i),CQ=geos.一

則方+&=Gcos。+1cosfi,|sind+1sin。)，

貝ij（而+CQ）2=1{cosdcosfi+sin&sin/?）=+1cos（0—/?）6[0,1],

貝|J|存+的|G[0,1],

貝|J|都+衣|的最大值為1，

故選：B.

先建立如圖所示的平面直角坐標系，然后標出對應點的坐標，然后結合向量數量積的坐

標運算求解即可.

本題考查了平面向量數量積運算，重點考查了平面向量的模的運算，屬基礎題.

10.【答案】C

【解析】解：?.?棱長均為2的四面體可以在一個圓柱形容器內

3

任意轉動，

??.四面體的外接球與圓柱體內切時圓柱形容器的容積最小，

如圖，可得四面體APQM的外接球的直徑為四面體對應正方體

的體對角線長，

即（竽x^）x遍=2,

二圓柱的高為2,底面圓半徑為1,

故容積的最小值為27r.

故選：C.

由棱長均為度的四面體可以在一個圓柱形容器內任意轉動，得到四面體的外接球與圓

3

柱體內切時圓柱形容器的容積最小，結合圖像可得四面體4PQM的外接球的直徑為四面

體對應正方體的體對角線長，即可求解.

第10頁，共22頁

本題考查了圓柱體積的計算，屬于中檔題.

11.【答案】B

【解析】解：?,?某圓柱形旋渦發(fā)生體的直徑為0.01米，表體通徑為10米，平均流速為20米

/秒的風速下，發(fā)生的頻率是420赫茲,

???d=0.01m,D=10m,u-20m/s,f—420Hz,

Vsin9=P6￡[0,自，

2

m=1--[sind?cos0+9],

當a=^,a<0.005時，在近似計算中可規(guī)定a=0,

???a=g=sin。,則a=0,

Am=1,

?”=給

/md

fmd420x1x0.01八cy

??.s==-------------=0.21.

ru20

故選：B.

由已知條件可得，d=0.01m,D=10m,u=20m/s，f=420Hz,再結合a<0.005時,

在近似計算中可規(guī)定a=0,f二運,即可求解.

Jmd

本題主要考查函數的實際應用，考查轉化能力，屬于中檔題.

12.【答案】A

【解析】解：如圖，AQ1平面4&CD,易

證平面〃平面a,

作平面EFG與正方體4BCD-的截

面，

設48=4,直線巾與直線n所成的角為氏

平面41位。。n平面&B1GD1=A1B-l,

平面為B1CDn平面EFG=PQ,

易證&BJ/in,PQ//n,

.?.作PR〃4回交BiC于R,

???直線rn與直線n所成的角。即為NRPQ,

VA1P=CQ=-DA,DA=4近,

411

???RQ=2^2,

在RtARQP中，tan乙RPQ=除=半=與,

???直線m與直線n所成的角的正切值為它.

2

故選：A.

作平面EFG與正方體4BCD-&B1C1D1的截面，設48=4,直線?n與直線n所成的角為

易證PQ//n,作PR〃&交/C于R,得到直線m與直線n所成的角。即為

乙RPQ,即可求解.

本題考查了異面直線所成的角，屬于中檔題.

13.【答案】3

2%—y—5N0

【解析】解：畫出實數》,y滿足約束條件卜-2y-240的可行域如圖,

.x<7

由仁？二之:，解得聯》

由2=%+丫，即、=一％+2,貝！|z表示y=-x+z在y軸截距，結合圖象可知在點4處,

在y軸上的截距取得最小值，

此時目標函數取得最小值，可得：

目標函數的最小值3.

故答案為：3.

畫出約束條件的可行域，利用目標函數的幾何意義，求解最值即可.

本題考查線性規(guī)劃的簡單應用，畫出可行域是解題的關鍵.

第12頁，共22頁

14.【答案】9

【解析】解：由題意，當n=l時，%=Si=31-1=2,

nnn-1

當九>2時，an=Sn-Sn_i=3-1—3t+1=2?3,

%=2也滿足上式，

n

???an=2-3t,n￡N*,

??.數列｛an｝是以2為首項，3為公比的等比數列，

vfc—Z=2,

.n,n—也一女1—nk-l—o2—Q

故答案為：9.

先根據公式1?進行計算可得數列｛即｝的通項公式，即可發(fā)現數列

｛斯｝是以2為首項，3為公比的等比數列，再根據=2和等比數列的通項公式進行計

算即可得到縱：的的比值.

本題主要考查等比數列的判定，以及等比數列的性質應用.考查了轉化與化歸思想，分

類討論思想，定義法，以及邏輯推理能力和數學運算能力，屬基礎題.

15.【答案】[一3,1]

【解析】解：因為/(尤)=6*+6-，-產，定義域為R關于原點對稱，

又/'(-X)=ex+e~x-x2=/(x),所以/'(x)為偶函數，

當x20時，f'(x)=ex-e~x—2x,/w(x)=ex+e~x—2>2—2=0,當x=0時取

等號，

所以((乃=母一e-x-2x在x>0時單調遞增且f'(0)=0,即1(x)>0,

所以/(%)在x20時單調遞增，

由f(2x)Wf(x—3),得|2x|S|x-3|,

兩邊平方得4/S0一3產，整理得M+2x-3S0,解得—3SXS1,

所以不等式/(2x)</(x-3)的解集為[-3,1].

故答案為：[-3,1].

先判斷函數的單調性及奇偶性，然后結合單調性及奇偶性解不等式即可.

本題主要考查了函數的單調性及奇偶性在求解不等式中的應用，屬于中檔題.

16.【答案】6

【解析】解：由題意可得橢圓的焦點F1，尸2的坐標分別為(-1,0),(1,0),

因為?！ǎ?,設平行線間的距離為d,所以四邊形力BCD面積為S=

當直線的斜率不為0時，，由橢圓的對稱性可得4BCD為平行四邊形，

設k的方程為:x=my-l,設4(%,乃)，B(x2,y2)>

聯立直線與橢圓的方程12'整理可得&+3m2)y2-6my-9=0,

A

=144(^2+1),y1+y2=嬴，y/2=高,

所以MB|=滔.叵孚=12.也3

114+3m24+3m2

可得兩條平行線間的距離公.，

所以SMCD=|4B|-d=W^24加2+1

3(7712+1)+1，

令+*=t(t>1),則LBCD=赤=短口，

因為y=3t+?在口,+8)單調遞增，3t+：24,當且僅當m=0時，取等號,

???SABCD<6,所以四邊形4BCD面積的最大值為6.

由題意四邊形為平行四邊形，設平行線間的距離為d,所以四邊形的面積為S=\AB\-d,

設直線k的方程，與橢圓聯立求出兩根之和及兩根之積，進而求出弦長|AB|,再求平行

線間的距離d的值，求出面積S的表達式，換元再由均值不等式求出面積的取值范圍，進

而求出面積的最大值.

本題考查橢圓的性質及直線與橢圓的綜合，及換元法的應用，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由25)24+$也(4-8)=5譏(7,

可得2sbi24+sin(4—B)=sin(4+B),

可得：2sinAcosA=sinBcosA

?：A*.

???cosAH0.

得2sin4=sinB,

由正弦定理：2a=b,即￡=

b2

(II)已知C=2,C=p

由余弦定理：得彥+b2-ab=4.

又由(I)可知：2a=b,

第14頁，共22頁

從而解得：a=笫k詈

那么:△制的面積5="加比。=筌

【解析】本體考查了正余弦定理的運用和計算能力.屬于基礎題.

(I)根據三角形內角和定理sinC=sin(A+B),展開化簡，根據正弦定理，可得盛的值;

(n)c=2,C=p由余弦定理求出a,b的值，根據△ABC的面積S="加譏C可得答案.

18.【答案】解:(1)由題意可得|PQ|=2p=4,則p=2,

故拋物線C的方程為y2=4%；

其焦點F坐標為(L0)，準線2方程為彳=一1，

(2)設直線4B：x=ty+l,聯立二;;1，得y2-4ty-4=0.則△=16t2+16>0,

設A。1,%),8(*2,%)，則%+、2=41,乃為=一4.

法1：直線。4y=T-X,由*=4%得'=?%，故點

XIyiXi

直線“F的斜率=

￡=三，則直線FN

-1-1%

的斜率/CFN=-y.

直線FN：y=

-^(x-1),則點

N(T%),

直線ON的斜率k0N=

-yi-

直線OB的斜率K°B=

高由*=4*2得ko8=

4

72,

則-fco/v=7-(-yi)==寧=5

72yz>2

所以0,B,N三點共線.

法2：直線。4y=§x,由赤=4X1得y=2x,故點M(-1，F),

xiyiy1

由=-4,得M(-l,y2>

直線MF的斜率AMF=*=一手

-1—1Z

直線尸N：y=f2(x-l),得點N(—1，T—4).由%丫？=一4,得7(一1,%).

直線ON的斜率AON=-%.

直線0B的斜率=/由資=4Q得k0B=套由丫1、2=-4,得=~yi-

則有岫8=AON.所以。，B,N三點共線.

法3：(1)???\PQ\=4,\PF\=2,2\0F\=2,???OF=1,尸(1,0)，

???C：y2=4x,I：x=-1；

(2)設直線4B：x=my+l,

聯立直線與拋物線的方程整理可得：y2-4my-4=0,

(△=16-塊+16>0

所以卜，2=-4,

(.71+y2=4m

設46,%),8(必,、2)，

???直線40：y=§x,X=_1時，y=-z1,

“1X1

一瓷)，?,?上=一戶=一*，

kMF=

xizxiRMFyi

???直線FN：y=一等(x—1),

zi

當％=—i時，y弋，：?N(T充),

^N0=一等，岫。=瓷，

yix2

.?._4%1_力力+4%0_%%+4(+%+1)(+%+1)_(4+2+i)y1y2+4+(yi+y2)+4_

,?KBO~RNO_?____

x2yi“2%x2yrx2y1

-4(4+24-1)+16+2+4_

=vn,

@2

^BO=Mo

：.B,0,N共線.

【解析1(1)由題意可得直線PQ的方程，與拋物線聯立可得弦長|PQ|的值，由題意可得p

的值；

(2)可用3種方法證明，法①可證直線OB,ON的斜率之差為0,設直線2B的方程與拋物

線聯立求出兩根之和及兩根之積，進而求出直線ON,0B的斜率之差為0；

法②設4B的坐標，求出直線4M的方程，令％=-1,求出M的坐標，進而求出直線MF

的斜率，由題意可得直線尸N的斜率，求出直線NF的方程，令％=-1求出N的坐標，進

而求出直線OB,ON的斜率之差，可得為0,證得三點共線；

法③同法①,設直線4B的方程,與拋物線聯立求出兩根之和及兩根之積,再求直線NF,

第16頁，共22頁

AM的方程，令x=-1可得N的坐標，求出直線OB,ON斜率之差為0,可證得三點共線.

本題考查求拋物線的方程，及直線與拋物線的綜合，兩條直線互相存在的性質，屬于中

檔題.

19.【答案】解：（1）當點F為棱4。的中點時，符合題目要求.

下面給出證明.

如圖，連接尸E,FG，

在△FED中，EF=y/FD2+ED2-2FD-ED-cos600=V3,

???FD2+EF2=DE2,因此NEFD=90。，

即EFJ.AD,

???加在底面上的投影E恰為CD的中點，

???CrE_L平面4BCD,

又4。u平面48C。，

:?￡E1AD,

又EFJ.4D,EFnGE=E,EF,C】Eu平面CiEF,

AD_L平面GEF,

因此，點?即所求，且。F=F4,平面QEF即平面a.

(2)如圖，連接應4,EB,

D1

?：AD=DE=EC=BC=2,Z.EDA=60°,乙BCE=120°,

/.CEB=30°,/.DEA=60°,故NAEB=90。，即E4_LEB,

分別以麗，麗，扇為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系E-孫z,ECi=2百，

則E(0,0,0),4(2,0,0),8(0,2遮,0),Q(0,0,2百)，劣(2,-26,2遮),F(|,一日,0),

則加=(|,-今0),

又的=AQA=A(2,-2V3,0)=(2A,-273A,0)，前=用+=

(2尢-2⑸2遮)，

易得平面CEF的一個法向量為記=(0,0,1),

設元=(x,y,z)為平面MEF的法向量，則：

件型=0,B|j(V3x-y=0

In-EM=O''(2/lx-2后ly+2vlz=0'

令乂=得元=(V3,3,22),

???二面角M-EF-C的平面角為135。，

|cos<m,n>|=|cosl35°|,即尚黑=|一爭，

.?.0^=立，即;I=土百，

V12+4A22

又二面角M-EF-C的平面角為鈍角，故4=次.

【解析】(1)當點尸為棱4D的中點時，符合題目要求.連接FE,FG，根據條件證明AD_L

平面GEF即可；

(2)根據條件建立空間直角坐標系，求出平面MEF和平面CEF的法向量，代入向量夾角

公式可得關于；I的方程，求解可得結果.

本題考查了線面垂直的證明以及二面角的求解計算，屬于中檔題.

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20.【答案】解(l)f'(x)=cosx-3x2,

因為((0)=1,/(0)=0,即切點(0,0),切線斜率k=l,

故/(%)在％=o處的切線方程為y=x；

(2)因為f'(%)=cosx-3%2,為偶函數，且/'(0)=1,

則只需證明/'(X)在(。］〃)上有且僅有一個零點即可.

=—sinx—6%,

當x6(0*兀)時，f"(x)<0,故/'(x)在(0*兀)上單調遞減，

因為((0)=1>0,「())<0,

故存在沏e(0g兀)使得/'(xo)=0,

所以/'(%)在(03兀)上有且僅有一個零點，

因此/''(%)在(-兀)上有且僅有兩個零點.

【解析】(1)先對函數求導，結合導數的幾何意義可求切線的斜率，進而可求切線方程：

(2)結合導數可研究函數的性質可轉化為證明［。)在(01兀)上有且僅有一個零點，結合

零點判定定理可求.

本題主要考查了導數的幾何意義的應用及利用單調性及零點判定定理求解函數的零點,

屬于基礎試題.

21.【答案】解：(/)(1)由莖葉圖的數據可得中位數血=望=30,

根據莖葉圖可得：a=5,b—15,c=15,d=5,

超過m不超過m

改造前515

改造后155

n(ad-加產_40(5x5-15x15)2

根據中的列聯表，2

(2)(1)K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-20x20x20x20=10>6,635,

有99%的把握認為生產線技術改造前后的連續(xù)正常運行時間有差異;

(〃)120天的一個生產周期內有4個維護周期，一個維護周期為30天，一個維護周期內,

以生產線在技術改造后一個維護周期內能連續(xù)正常運行的頻率作為概率，得P=5=

設一個生產周期內需要《次維護，f?B(4,》，正常維護費為0.5x4=2萬元,

保障維護費為首項為0.2,公差為0.2的等差數列，共f次維護需要的保障費為

g等必1=0.1產+oif萬元，

故一個生產周期內保障維護X次的生產維護費為(0.1產+0.16+2)萬元，

設一個生產周期內的生產維護費為X萬元，則X可能取值為2,2.2,2.6,3.2,4,

則P(X=2)=C，G)4=*

P(X=2.2)