第十一章 推理與證明、算法初步、復數(shù)(文數(shù)) 第1講

2433342222224333422222ab22基礎鞏固題組建議用時：40鐘)一、填空題西安八校聯(lián)考)察一列算式：1?1，?，?1，13，22，3?1，1?4，2332，4?1，?子35第_.解析兩數(shù)和為的有，和為有2，和為有3個，和為5有4個，和為6的有5個，和為有6，前面共有21個，?和為8第3，所以為第24.答案242.觀察)＝2，)′＝x，(cosx′＝－sinx，由歸納推理得：若定義在R上函數(shù)f(x滿足f(－x＝f(x，記g)為f)導函數(shù)，則(－x＝________.解析由已知得偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)，故(－)＝－gx).答案－g(x13.在平面幾何中，有“正三角形內切圓半徑等于這個正三角形高的.拓展到空間，類比平面幾何的上述正確結論，則正四面體的內切球半徑等于這個正四面體的高的________.解析設正三角形的邊長為，高為，內切圓半徑為r由等面積法知3＝1ah所以r；1同理，由等體積法知4＝，所以RH答案

144.下列推理是歸納推理的是________.①A，B為定點，動點滿足＋＝2a，點的軌跡為橢圓；②由a＝1a＝3n－，求SS，猜想出數(shù)列的n和S的表達式；1123nxy③由圓x＋y＝r的面積r，猜想出橢圓＋＝的面積＝π；④科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇.解析從SS猜想出數(shù)列的項和S，是從特殊到一般的推理，所以123②是歸納推理.

2233455101010322334551010103233323333332224332答案②5.觀察下列各式ab＝1a＋＝3＋＝4a＋＝，a＋b＝11，?則a＋等于________.解析觀察規(guī)律，歸納推理.從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則＋b＝123.答案123仔細觀察下面○和●的排列規(guī)律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○??若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的○和●，那么在前120○和●中，●的個數(shù)是________.解析進行分組○●eq\o\ac(○,|)●eq\o\ac(○,|)○○●○○○○●eq\o\ac(○,|)○○○○eq\o\ac(○,|)○○○○○●??，則前組兩種圈的總數(shù)是fn)234?＋＝＝119，f(15)135故n答案14

nn32

，易知7.(2016·徐州檢)觀察下列等式1＝，1＋2＝，1＋2＋＝，1＋2＋3＋4＝10，?，根據(jù)上述規(guī)律，第n等式為________.解析

觀察所給等式左右兩邊的構成易得第

n個等式為1＋?n＝＋1n（n1答案1＋2＋?＝

n（＋1）4濟南模擬)有一個奇數(shù)組成的數(shù)陣排列如下：1321

?5915

??1125

???1927

????29

???????????則第30從左到右第3個數(shù)是

x1x1解析

先求第30的第個數(shù)，再求第30的第3數(shù)觀察每一行的第一個數(shù)，由歸納推理可得第30行的第1個數(shù)是1810?30（2602

－1又第行從左到右的第2數(shù)比第1個大2n個數(shù)比第2數(shù)大2n2行從左到右的第2數(shù)比第1數(shù)大60數(shù)比數(shù)30從左到右3數(shù)92960＝051.答案

1二、解答題9.給出下面的數(shù)表序列：表1

表2

表31154412

?其中表(＝1，2，3?行，第1行的n個數(shù)是13，5，?n－1，從第2起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.寫出表4，驗證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成等比數(shù)列，并將結論推廣到表n(n≥不要求證明).解表4

134812122032它的第1234行的數(shù)的平均數(shù)分別是1632它們構成首項為4公比為2等比數(shù)列將這一結論推廣到表n(n≥3)，即表nn各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成首項為n公比為2等比數(shù)列.f(x)＝

13＋3

，先分別求(0)＋(1)，(－＋f(2)，f(－＋f(3)，然后歸納猜想一般性結論，并給出證明.解f(0)＋(1)＝

3

0

11＋＋3＋3

333x1xxxxxxx3x22333x1xxxxxxx3x22131＝＋＝＋＝，1＋（＋3）31＋3）（＋）3同理可得f(－1)＋f＝，f(－＋f(3)＝3由此猜想f(x＋f(1－)證明f(x＋f(1－)＝

11＋3＋3－＋311＝＋＝＋3＋333·33＋33＋3

x

）＝

3＋3＝.3（＋）能力提升題組建議用時：20鐘)平面內有n條直線，最多可將平面分成(n)個區(qū)域，則(n)＝________.解析1直線將平面分成＋個區(qū)域；條直線最多可將平面分成＋＋＝個區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋23)7個區(qū)域；??；n條直線最多可將平面分成(12?區(qū)域.

nn1＋n＝個2答案

n＋＋22古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).比如：他們研究過圖1中的13，6，，?于這數(shù)能夠表示成三角形，將其

2xx＋122xx＋1221222xx＋122xx＋122122＜sinADABAC22稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，16?樣的數(shù)為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是________(填號).①289；②1；③225；④1解析觀察三角形數(shù)：，，610?為{}a＝，＝n1＋2a＝a＋33?＝＋n∴a＋a＋?(a＋＋?)(12?a＝2?122n＋n

nn12

，觀察正方形數(shù)：1，，?為{}＝.四個選項的nn數(shù)字，分別代入上述兩個通項公式，可知使得都為正整數(shù)的只有225.答案③13.(2016·南測試)已知點A，ax)，x，)是函數(shù)y＝a(a＞的圖象上任112意不同兩點，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，兩點之間函數(shù)圖象的上ax＋ax方，因此有結論＞a2成立運用類比思想方法可知，若點x，1x)B(xsinx)是函數(shù)＝sinx∈，))的圖象上任意不同兩點，則類似地122有_立.解析對于函數(shù)ya(a1)圖象上任意不同兩點，B依據(jù)圖象可知，線ax＋ax段AB是位于B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有結論＞a成立；對于函數(shù)y(x∈(0π的圖象上任意不同的兩點(x，sinx)1(x，sinx)線段總是位于AB點之間函數(shù)圖象的下方，2sin＋sinx＋x類比可知應有＜成立.答案

sin＋sinx＋x12211在ABC中，⊥，AD⊥于D，求證：＝＋，那么在四面體ABCD中，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由.證明如圖所示，由射影定理，得

222222.22222ADAC222222222222＝222222.22222ADAC222222222222＝＋＋22AD

＝BD，AB

2

＝BDBC，＝BCDC，11∴＝ADBD·DC＝＝BD·DCBC·AC

2又BC＝＋AC，1AB＋AC1∴＝＝＋·AC猜想，在四面體ABCD中，A