十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質(zhì)模擬題（北京卷）專題09立體幾何與空間向量（解析版）

大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質(zhì)模擬題（北京卷）

專題09立體幾何與空間向量

...?⑥真題匯總'一.

1.【2022年北京卷091已知正三棱錐P-4BC的六條棱長(zhǎng)均為6,S是△4BC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)

集合7={Q6S\PQ<5},則7表示的區(qū)域的面積為（）

A*B.兀C.2nD.3n

【答案】B

【解析】

設(shè)頂點(diǎn)P在底面上的投影為。，連接80,則。為三角形4BC的中心，

且BO=|x6xy=2V3,故PO=V36-12=2瓜.

因?yàn)镻Q=5,故。Q=l,

故S的軌跡為以0為圓心，1為半徑的圓，

而三角形ABC內(nèi)切圓的圓心為0,半徑為絲包=73>1>

3x6

故S的軌跡圓在三角形4BC內(nèi)部，故其面積為兀

故選：B

2.【2021年北京4】某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）

A.B.4C.3+V3D.2

2

【答案】A

根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐。-ABC,

其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，

由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1,

故其表面積為3x工x1x1+更x(V2)2=三里，

24v72

故選：A.

3.[2021年北京8]定義：24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度(mm)來(lái)判斷降雨程度.其中小雨(V10mm),

中雨(10mm—25mm),大雨(25mm—50mm),暴雨(50mm—100mm),小明用一個(gè)圓錐形容器接了2

4小時(shí)的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)()

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】B

由題意，一個(gè)半徑為學(xué)=100(mm)的圓面內(nèi)的降雨充滿一個(gè)底面半徑為等x黑=50(mm),高為

150(mm)的圓錐，

所以積水厚度d=^紀(jì)要=12.5(mm)，屬于中雨.

JTX1002、,

故選：B.

4.【2020年北京卷04】某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為().

側(cè)(左)視圖

A.6+V3B.6+2V3C.12+V3D.12+26

【答案】D

【解析】

由題意可得，三棱柱的上下底面為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)面為三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形,

則其表面積為：S=3x(2x2)+2xgx2x2xsin60°)=12+2翼.

故選：D.

5.【2018年北京理科05】某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（）

正（主〉視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.1B.2C.3D.4

【答案】解：四棱錐的三視圖對(duì)應(yīng)的直觀圖為：必J_底面/8CC,

AC=V5,CD=V5,

PC=3,PD=2y/2,可得三角形尸8不是宜角三角形.

所以側(cè)面中有3個(gè)直角三角形，分別為：LPAB,/XPBC,

/XPAD.

6.【2017年北京理科07】某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（)

俯視圖

A.3V2B.2V3C.2V2D.2

【答案】解：由三視圖可得直觀圖,

再四棱錐尸-48CZ）中，

最長(zhǎng)的棱為以，

即PA=7PB2+PC2=J22+(2V2)2

=2V3,

故選:B.

7.【2016年北京理科06】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（)

1

側(cè)視圖

俯視圖

【答案】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，

棱錐的底面面積S=*1xlXl=51,

高為1,

故棱錐的體積v=聶九=

5o

故選：A.

8.【2015年北京理科04】設(shè)a,。是兩個(gè)不同的平面，機(jī)是直線且〃?ua,“加〃0”是"a〃仗'的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】解："?ua,m〃。得不到a〃B，因?yàn)閍,0可能相交，只要用和a,0的交線平行即可得到加〃仇

a〃樂(lè)wua,和。沒(méi)有公共點(diǎn)，.?."?〃仇即a〃。能得到加〃仇

〃邛’是“a〃B”的必要不充分條件.

故選:B.

9.【2015年北京理科05】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.2+V5B.4+V5C.2+2V5D.5

【答案】解：根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：

OAL^ABC,AC=AB,E為8c中點(diǎn)，

EA=2,EC=EB=1,OA=l,

可得ZE_LBC,BC±OA,

由直線與平面垂直的判定定理得：BC^AEO,AC=?0E=V5

S/^ABC=:x2X2—2,S^OAC~S/^OAB=；xV5xl=亨.

S&BCO=有x2xV5=V5.

故該三棱錐的表面積是2+2巡，

故選：C.

10.【2014年北京理科07】在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知/(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),

D(1,1,V2),若Si，S2,S3分別表示三棱錐。/8c在yOz,zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，

則()

A.S\=S2=S3B.S2=Si且S2WS3

C.S3=S1且S3#S2D.S3=S2且S3WS1

【答案】解：設(shè)力(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,V2),則各個(gè)面上的射影分別為4,

B\C,￡>>,

1

在xQy坐標(biāo)平面上的正投影4(2,0,0),夕(2,2,0),C(0,2,0),0(1,1,0),S=*x2x2=2.

在yOz坐標(biāo)平面上的正投影4(0,0,0),8'(0,2,0),C(0,2,0),D'CO,1,V2),S2=gx2x々=6

在zOx坐標(biāo)平面上的正投影4(2,0,0),&(2,0,0),C(0,0,0),￡>'(0,1,V2),S3=|x2xV2=V2,

則S3=S2且S3WS1，

故選：D.

11.【2019年北京理科11】某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙

3

該幾何體是把棱長(zhǎng)為4的正方體去掉一個(gè)四棱柱，

則該幾何體的體積-=4x2x2+/(2+4)x2x4=40.

故答案為：40.

12.【2019年北京理科12】已知/,，〃是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷：

①/_L"?；@m//a；③/_La.

以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：—.

【答案】解：由/,〃，是平面a外的兩條不同宜線，知：

由線面平行的判定定理得：

若/_La,/_!〃?，則加〃a.

故答案為：若/La,11m,則山〃心

13.【2013年北京理科14】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體-小81cgi中，E為8c的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段

D\E上，點(diǎn)P到直線CCi的距離的最小值為

【答案】解：如圖所示，取81cl的中點(diǎn)尸，連接E凡ED\,

：.CC\//EF,

乂￡Fu平面D\EF,CCi<t平面D\EF,

.?.CCi〃平面D\EF.

...直線CC上任一點(diǎn)到平面尸的距離是兩條異面直線。與CG的距離.

過(guò)點(diǎn)Ci作C\MLD\F,

?.?平面OiM_L平面A\B\C\D\.

平面D\EF.

過(guò)點(diǎn)M作/W尸〃E尸交GE■于點(diǎn)P,則M尸〃CiC.

MXC\N=MP,連接PN,則四邊形AZ/WCi是矩形.

可得NP_L平面D\EF,

在R9CF中，C心。/=加2凡得?？?益=等.

:.點(diǎn)P到直線co的距離的最小值為手.

14.(2022年北京卷17］如圖，在三棱柱ABC-Ai/Ci中，側(cè)面8CC14為正方形，平面BCgBi，平面A8B1公,

AB=BC=2,M,N分別為為當(dāng)，4C的中點(diǎn).

(1)求證：MN||平面BCG/；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.

條件①：AB1MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)取48的中點(diǎn)為匕連接MK,NK,

由三棱柱ABC-4/iCi可得四邊形4BB1占為平行四邊形，

=MAVBK=KA,則

而MK<t平面CBBiG，u平面CBBiG，故MK〃平面CBBiG,

而CN=M4,BK=KA,則NK〃BC,同理可得NK〃平面。3a的，

而NKClMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面CB/Ci，而MNu平面MKN,故MN〃平面CB/Ci，

(2)因?yàn)閭?cè)面CBBiG為正方形,故CB18%，

而CBu平面CBBiG，平面CBBiG1平面A8B14,

平面CBBiGC平面4BB14=BBi，故CB，平面488出,

因?yàn)镹K〃BC,故NK_L平面ABB/i，

因?yàn)?Bu平面ABB/i，故NK14B,

若選①，則而NKJ.4B,NKCMN=N,

故4BJ■平面MNK,而MKu平面M/VK,故481MK,

所以4818%,而CBJ.BB1，CBCAB=B,故附L平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0),A(0,2,0),N(l,l,0),M(0,L2),

i^BA=(0,2,0),麗=(1,1,0),=(0,1,2).

設(shè)平面BNM的法向量為元=(x,y,z),

則色.雪=，，從而取z=—L則五=(一2,2,-1),

n-BM=0y十/z—u

設(shè)直線4B與平面BNM所成的角為仇則

sine=|cos(H,四)|=*=*

若選②，因?yàn)镹K〃BC,故NKJL平面48B1A，而KMu平面MKN,

故NK1KM,而B(niǎo)]M=BK=1,NK=1,故=NK,

而B(niǎo)/=MK=2,MB=MN,故.4BB^MNAMKN,

所以NBBiM=4MKN=90。，故公當(dāng)上⑶/，

而CBlBBi，CBdAB=B,故幽1平面48C,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則8(0,0,0),4(0,2,0),N(l,1,0),M(0,1,2),

故成=(0,2,0),麗=(1,1,0),=(0,1,2)，

設(shè)平面BNM的法向量為元=(x,y,z),

則g?更=0,從而=取z=-l,則五=(一2,2，-1),

n-=0>+2z=。

設(shè)直線48與平面BNM所成的角為仇則

.--*42

sin。=|cos(H,AB)|=—=

15.【2021年北京17】已知正方體年BC京一4道16。1，點(diǎn)E為久〃中點(diǎn)，直線/G交平面CTE于點(diǎn)F.

Cl

M'.

(1)證明：點(diǎn)F為Big的中點(diǎn)；

⑵若點(diǎn)M為棱上一點(diǎn)，且二面角M—CF-E的余弦值為亭求管的值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)然

(1)如圖所示，取Big的中點(diǎn)F,連結(jié)DE,EF',FC,

由于4BCD-41B1C1%為正方體，與尸'為中點(diǎn)，故EF'IICD,

從而E,RC,D四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面CCEF,

據(jù)此可得：直線々Ci交平面CDE于點(diǎn)F,

當(dāng)直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)尸與點(diǎn)F重合，

即點(diǎn)尸為B1Q中點(diǎn).

(2)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4,方向分別為x軸，y軸，z軸正方形，建立空間直角坐標(biāo)系D-％yz,

則：M(2,22,2),C(0,2,0),F(1,2,2),E(l,0,2),

從而：MC=(-2,2-2A,-2),CF=(1,0,2),FE=(0,-2,0).

設(shè)平面MCF的法向量為：m=則:

m?MC=-2Kl+(2—22)yi-2z1=0

m-CF=工1+2zi=0

令Zi=-1可得：記=（2，白，-1）,

1-X

設(shè)平面CFE的法向量為:n=(X2,y2.z2)＞則:

n-FE=-2y2=0

n?CF=必+2Z2=0

令Zi=-1可得:n=(2.0,-1),

從而：mn=5,|m|=J5+(^)2,|n|=V5.

t―?fmn5V5

則:8sH麗鏟斤短F

整理可得：(2—1)2=：,故Z=T舍去).

16.【2020年北京卷16］如圖，在正方體。BCD—418住1。1中,E為BB1的中點(diǎn).

D

(1)求證：BQ〃平面AD/；

(II)求直線與平面4D/所成角的正弦值.

【答案】(I)證明見(jiàn)解析；(H)*

【解析】

在正方體4BCD一&瑪"1中，AB'/ArB^AB=4必，Wg%且4出=。必，

二4B//C1%且AB=Ci5,所以，四邊形ABC%為平行四邊形，則夕口/〃小,

???BCt,平面ADtu平面4C1E,二BC1〃平面4D[E；

(II)以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，4。、4B、44]所在直線分別為無(wú)、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系4-xyz,

設(shè)正方體4BCD-41B1GD1的棱長(zhǎng)為2,則4(0,0,0)、4式0,0,2)、。式2,0,2)、F(0,2,1),ADX=(2,0,2),

AE=(0,2,1),

設(shè)平面4%E的法向量為證=(x,y,z),由『“巴zaf2x+2z=0

(n?AE—02y+z=0

令z=-2,則x=2,y=1,則ft=(2,1,—2).

cos<范歷42

3x2一一3

因此，直線4必與平面4。國(guó)所成角的正弦值為李

17.【2019年北京理科16］如圖，在四棱錐尸-N8CZ)中，R4_L平面/BCD,ADLCD,AD//BC,PA=AD

PF1

=CD=2,BC=3.E為尸。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在尸C上，且m=石.

(1)求證：CA_L平面PAD；

(II)求二面角F-AE-P的余弦值；

PG2

(III)設(shè)點(diǎn)G在尸8上，且二=>判斷直線/G是否在平面ZEF內(nèi)，說(shuō)明理由.

PB3

【答案】證明：(1)：以，平面Z8C。，：.PA±CD,

"JADLCD,PA^AD^A,

.,.。。，平面玄。.

解：(II)以/為原點(diǎn)，在平面內(nèi)過(guò)4作8的平行線為x軸,

為y軸，/尸為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

224

A(0,0,0),￡：(1,0,1),F(-,P(0,0,2),

333

1-*224

AE=(1,0,1),AF=(一,一,一),

333

平面4夕的法向量蔡二(1,0,0),

設(shè)平面4EF的法向量藍(lán)=(x,y,z),

m-AE=x4-z=0-外1,

->->224，取x=l,得m=(1,1,-1),

{m-4尸=/+“+尹=0

設(shè)二面角F-AE-P的平面角為。,

則C°SO=JM=%=^.

|m|-|n|V33

...二面角尸F(xiàn)E-P的余弦值為手.

(Ill)直線4G不在平面尸內(nèi),理由如下:

一,-PG242

,:點(diǎn)、G在PB上,且而=?，G(1°，百)，

-42

/.AG=(一,0,二)，

33

???平面ZEF的法向量薪=(1,1,-1),

-422

m-AG=可一可=可工°，

故直線AG不在平面AEF內(nèi).

18.【2018年北京理科16］如圖，在三棱柱Z8C-小81。中，CG，平面Z8C,D,E,F,G分別為441，

AC,AiCi，Mi的中點(diǎn),AB=BC=亞,AC=AA\=2.

(I)求證：4C_L平面BEF；

(II)求二面角B-CD-C\的余弦值；

(Ill)證明：直線FG與平面8CZ)相交.

BI

G

B

【答案】(/)證明：尸分別是(C,小。的中點(diǎn)，，即〃CCi，

VCCi±￥ffiABC,：.EFA.ABC,

又4Cu平面/8C,J.EFLAC,

\'AB=BC,E是/C的中點(diǎn)，

J.BEVAC,

又BECEF=E,BEu平面8EF,EFu平面BEF,

.../C_L平面BEF.

(〃)解：以E為原點(diǎn)，以EB,EC,EF為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:

則8(2,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,1),

：.BC=(-2,1,0),CD=(0,-2,1),

fTT

設(shè)平面5。。的法向量為G=(x,乃z),貝膽?呼=。，即杼

tn-CD=0-y十z-u

令y=2可得蔡=(1,2,4),又E8L平面力CCi/i,

：.EB=(2,0,0)為平面CO-。的一個(gè)法向量，

品>=辿=4=般.

cos<n,

\n\\EB\歷x221

由圖形可知二面角B-CD-C\為鈍二面角，

，二面角B-CD-C\的余弦值為一嗎.

(III)證明：F(0,0,2),G(2,0,1),：.FG=(2,0,-1),

.*.FG*n=2+0-4=-2W0,

二啟與藍(lán)不垂直，

...尸G與平面8c。不平行，又尸GC平面8CO,

:.FG與平面BCD相交.

19.【2017年北京理科16】如圖，在四棱錐尸-488中，底面A8C。為正方形，平面平面

點(diǎn)M在線段PB上，尸?！ㄆ矫鍹4C,PA=PD=&,Z8=4.

(1)求證：M為PB的中點(diǎn)；

(2)求二面角8-PO-N的大?。?/p>

(3)求直線MC與平面8。尸所成角的正弦值.

【答案】(1)證明：如圖，設(shè)4CC8O=。，

,.Z8C。為正方形，為8。的中點(diǎn)，連接OM,

〃平面M4C,POu平面P8。，平面尸8。0平面/知。=?！?

BOBM,,,,

PD//OM,則=="T—■＞即M為尸8的中點(diǎn)；

BDBr

(2)解：取中點(diǎn)G,

"：PA=PD,：.PG±AD,

:平面以。_L平面Z8C。，且平面以。。平面N8CD=4),

：.PGmABCD,則PG_LZ。，連接OG,則尸G_LOG,

由G是力。的中點(diǎn)，。是/C的中點(diǎn)，可得OG〃OC,則OGUD

以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以G。、GO、GP所在直線為x、/z軸距離空間直角坐標(biāo)系，

由必=「。=乃，，48=4,得。(2,0,0),AC-2,0,0),P(0,0,VI),C(2,4,0),8(-2,4,

、，V2

0),M(-1,2,—),

2

而=(-2,0,V2),而=(-4,4,0).

設(shè)平面P8O的一個(gè)法向量為蔡=(x,y,z),

則由何*=0,得二記您/取zS得靛⑴LV2).

DB=0

取平面玄。的一個(gè)法向量為￡=(0,1,0).

—>—>

TTm-n11

cosOn^n>2x1=2'

|m||n|

，二面角8-PD-4的大小為60°；

⑶解：CM=(-3,-2,辛)，平面80P的一個(gè)法向量為益=(1,1,V2).

直線A/C與平面8。尸所成角的正弦值為|cosVC。，m>\=\=\.-2—1=孚.

\CM\\m\Jg+4+1xl

20.【2016年北京理科17】如圖，在四棱錐尸-/8C。中，平面以。JL平面Z8C。，PALPD,PA=PD,AB

LAD,AB=\,AD=2,AC=CD=V5.

(I)求證：PO_L平面PAB；

(ID求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；

AM

(山)在棱刃上是否存在點(diǎn)A/,使得8A/〃平面PC。？若存在，求-二的值，若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】(I)證明：?.?平面平面48CZ),且平面為。。平面48C￡>=4),

RABLAD,/8u平面/BCD,

，力8_L平面PAD,

,./Du平面PAD,

：.ABA.PD,

又PDLB4,且■E4r148=/,

平面PAB；

(II)解：取4)中點(diǎn)為O,連接CO,PO,

'：CD^AC=V5,

：.COLAD,

又,：PA=PD,

：.POLAD.

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：

則戶(0,0.1),B(1,1,0),D(0,-I,0),C(2,0,0),

則而=(1,1,-1),而=(0,-1,-1),而=(2,0,-1),CD=(-2,-1,0),

設(shè)n=(x0,y(),1)為平面PC。的法向量，

則電幻喀二LU,則…一)

設(shè)尸8與平面尸CZ)的夾角為0,則sin0=|cosd,而＞|=|二|下I二二一|=察

|n||PS|而而x83

AM

(III)解：假設(shè)存在A1點(diǎn)使得8M〃平面PC。，設(shè)二二=九M(0,y\,z\),

AP

由(II)知，A(0,1,0),P(0,0,1),筋=(0,-1,1),B(1,1,0),茄=(0,丫1一1，Z。,

則有我=入方\可得A/(0,I-A,人)，

???易=(-1,-3A),

〃平面PC。，n=(1,-1,1)為平面PC￡)的法向量,

TT11

：.BM-n=0,即一尹4+)=0,解得肘=%.

AM1

綜上，存在點(diǎn)M,即當(dāng)二7=：7時(shí)，歷點(diǎn)即為所求.

AP4

21.【2015年北京理科17】如圖，在四棱錐/-￡7(8中，AAEF為等邊三角形,平面/E/_L平面EFC8,

EF//BC,BC=4,EF=2a,NEBC=NFCB=60°,。為E尸的中點(diǎn).

(I)求證：AOLBE.

(II)求二面角F-AE-B的余弦值;

(III)若平面/OC,求a的值.

【答案】證明：(I)..?△/E尸為等邊三角形，O為小的中點(diǎn)，

.'.AO1EF,

:平面■平面E/CB,JOcTffiAEF,

."O_L平面EFCB

J.AOVBE.

(II)取8c的中點(diǎn)G,連接OG,

,:EFCB是等腰梯形，

：.OG±EF,

由(I)知NO_L平面EFCB,

OGu平面EFCB,：.OALOG,

建立如圖的空間坐標(biāo)系，

則OE=a,BG=2,GH=a,(aW2),BH=2-a,EH=BHtan60Q=V3(2-a),

則E(a,0,0),A(0,0,V3a),B(2,V3(2-a),0),

EA=(-a,0,V3a),BE=(a-2,-V3(2-a),0),

設(shè)平面NE8的法向量為n=(x,y,z).

則?.曰=°,即卜四+百az：。，

In.BE=0l(a-2)x+V3(a-2)y=0

令z=1,則x=V3,y=-1,

即71=(V3,-1,1),

平面力"'的法向量為薪=(0,1,0),

-、mn>/5

貝niiljicosOn,n>=_?_>=——=-

1時(shí)幾15

即二面角F-AE-B的余弦值為一冷;

(Ill)若8EJ_平面4OC,

則BELOC,

即屆?OC=0,

'：BE=(a-2,-75(2-a),0),OC=(-2,於(2-a),0),

：.BE-0C=-2(a-2)-3(a-2)2=0,

22.【2014年北京理科17】如圖，正方形4WCE的邊長(zhǎng)為2,B,C分別為/〃，的中點(diǎn)，在五棱錐尸

-4BCDE中,尸為棱PE的中點(diǎn)，平面與棱產(chǎn)￡),PC分別交于點(diǎn)G,H.

(1)求證：AB//FG-,

(2)若為，底面Z8CQE,且以=/￡求直線BC與平面廠所成角的大小，并求線段尸，的長(zhǎng).

【答案】(1)證明：在正方形/A/DE中，是的中點(diǎn),

.'.AB//DE,又..780平面POE,二/8〃平面POE,

?.78u平面ABF,且平面ABFO平面PDE=FG,

J.AB//FG；

(2)解：ABCDE,：.PAA.AB,PALAE,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系4xyz,則/(0,0,0),

B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),

E(0,2,0),F(0,1,1),FC=(1,1,0),

設(shè)平面N8F的法向量為n=(x,y,z),則

令z=l,則y=-1,n=(0>-1>1),

設(shè)直線3C與平面ABF所成的角為a,則

n-BC1

sina=|cos<n,BC>|=E=2,

|n|-|BC|

71

直線BC與平面ABF所成的角為二,

6

設(shè)“(”，v,卬)，?.?，在棱PC上，可設(shè)而=4而(0qvi).

即("，V,W-2)=入(2,1,-2),二“=2入，v=入，w=2-2入，是平面尸的法向量,

TT2422

：.n>/1/7=0,即（0,-1,1）?（2入，入，2-2入）=0,解得入=1：.H（-,一，-）,

$333

23.【2013年北京理科17】如圖，在三棱柱/8。-小81。中，44CC是邊長(zhǎng)為4的正方形.平面N8C_L

平面441CCAB=3,BC=5.

(I)求證：44iJ_平面Z8C；

(II)求證二面角A\-BC\-B\的余弦值；

(III)證明：在線段8。上存在點(diǎn)。，使得由，并求”的值.

【答案】(/)證明：fiCiC是正方形，，力」/。

又：平面/8C_L平面AAiCiC,平面ABCn平面AA\C\C^AC,

.平面Z8C.

(〃)解:由/C=4,BC=5,AB=3.

：.AC2+AB2=BC2,J.ABLAC.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則小(0,0,4),B(0,3,0),51(0,3,4),Ci(4,0,4),

ABC1=(4,-3,4),BA1=(0,-3,4),幽=(0,0,4).

設(shè)平面N出Ci的法向量為五=(%「ylfz0,平面5出G的法向量為次=(物及，Z2).

則竹邑=4/一3y1+4ZL。，令〃=4,解得力=0,勿=3..3=(0,4,3).

(幾1?BAX=-3yr+4Z]=0

^-BC1=4x2-3y2+4Z2=0；解得”=4,Z2=0,；.后=(3,4,0).

n2-BB1=4Z2—0

7Tt、九1,九21616

的物>=鬲兩=信花=而

16

工二面角小-BC\-Bi的余弦值為云.

a

GID設(shè)點(diǎn)。的豎坐標(biāo)為3(0</<4),在平面BCGBi中作?！阓L8C于E,可得。(如氯4-t),t),

.?.T40=(3氯34一。，t),&TB=(0,3,-4),

VAD1‘蘇A；B=0,

Q2A

?'?0+彳(4—t)-4t=01解得t=

..??⑥模擬好題］

1.一個(gè)底面積為1的正四棱柱的頂點(diǎn)都在同一球面上，若此球的表面積為20m則該四棱柱的高為（）

A.V3B.2C.3V2D.V19

【答案】C

【解析】

設(shè)球的半徑為R,則4H/?2=20TT,解得肥=5

設(shè)四棱柱的高為/i,則F+1+1=4W，解得八=3V2

故選：C

2.已知/,用是兩條不同的直線，見(jiàn)0是兩個(gè)不同的平面，下面正確的結(jié)論是（）

A.若〃/a,m〃a,則/〃mB.若-L0,則m1a

C.若11a』1m,則m〃aD.若I_LS，mJ.1a,貝〃la

【答案】D

【解析】

A：l//a,m//a,則，,?n可能平行、相交或異面,錯(cuò)誤;

B：m//p,a1則m,a可能相交、平行或mua,錯(cuò)誤；

C：/1a,/1m,則m,a平行或mua,錯(cuò)誤；

D：Z1/?,m1/?,貝!|〃/m,又m_La,故I_La,正確.

故選：D

3.如圖，在正方體4BCD-4iBigDi中，E為棱BC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為棱的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.直線公小與直線EF相交

B.當(dāng)E為棱BC上的中點(diǎn)時(shí);則點(diǎn)E在平面ADiF的射影是點(diǎn)F

C.存在點(diǎn)E,使得直線4Di與直線E尸所成角為30°

D.三棱錐E-4DF的體積為定值

【答案】D

【解析】

A：由題意知，AD"/BiG，81clu平面4必C平面BigCB

所以4/1〃平面BigCB,

又EFu平面BigCB,所以久久與EF不相交，故A錯(cuò)誤；

B：連接。1/、AF.AE.CBi，如圖，

當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，EF//CBX,）LADX1CB1（所以EFlAD1，

若點(diǎn)E在平面AOiF的射影為凡則EF，平面4小尸，垂足為F,

所以EF1AF,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則4E=4F=西，EF=V2,

在AAEF中，AF2+EF2^AE2,所以4AFEW9O°,

即EFlAF不成立，故B錯(cuò)誤：

C：建立如圖空間直角坐標(biāo)系。一xyz,連接BCi，則4C//BC1，

所以異面直線EF與4小所成角為直線EF與BQ所成角，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,若存在點(diǎn)E(a,2,0)(0<a<2)使得EF與BQ所成角為30°,

則8(2,2,0),嚴(yán)(2,2,1),G(0,2,2),所以即=(2-a,0,1),西=(-2,0,2),

所以市.西l=2a-2,X|￡7-BZ7|=|EF||BC7|COS30°,

得12a-2|=2A/2XJ(2-a]+1xy.解得a=4±V3.

不符合題意，故不存在點(diǎn)E使得EF與A，所成角為30°,故C錯(cuò)誤；

D：如圖，

由等體積法可知%-4￡（尸=^F-ADE,

又力-AOE=（SAADE-BF=ADxABxBF,

AD.AB.BF為定值，所以VFTPE為定值，

所以三棱錐E-4DF的體積為定值，故D正確.

故選：D.

4.如圖所示，一套組合玩具需在一半徑為3的球外罩上一個(gè)倒置圓錐，則圓錐體積的最小值為（）

【答案】D

【解析】

解：設(shè)母線與底面的夾角2a,底面半徑R,內(nèi)切球半徑r=3,圓錐的高h(yuǎn),

則：R——^―=,h=R-tan2a=—^―-tan2a=--~2~)

tanatanatana1-tan4a

圓錐的體積|Z=-nR2h=-7TXf-YX——J-

33xtana/1-tanza

=187rx—亍—---—,

而0。V2av90。，0°<a<45°,所以0<tana<l,1-tan2a>0又因?yàn)椋簍aMa+(1-taMa)=1定

值

-2

n7

所以(tan2a)(1-tan2a)<(""+「an”)=

當(dāng)且僅當(dāng)tan2a=1-taMa,即tana=苧時(shí)，所以Knin=18"x文=72兀.

故選：D.

5.已知正方體4BCD-4iBiCiOi，。為對(duì)角線AR上一點(diǎn)(不與點(diǎn)4cl重合)，過(guò)點(diǎn)。作垂直于直線4cl的平

面a,平面a與正方體表面相交形成的多邊形記為M,下列結(jié)論不正確的是()

AD

A.M只可能為三角形或六邊形

B.平面4BCD與平面a的夾角為定值

C.當(dāng)且僅當(dāng)。為對(duì)角線ZCi中點(diǎn)時(shí)，M的周長(zhǎng)最大

D.當(dāng)且僅當(dāng)。為對(duì)角線4cl中點(diǎn)時(shí)，M的面積最大

【答案】C

【解析】

如下圖，在正方體中，體對(duì)角線4cl與平面C&D1，平面平面OPQRST都垂直，由圖可知，在平面a

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中M只可能為三角形或六邊形，故A正確；由題可知平面a與AC1都垂直，所以平面a在移動(dòng)過(guò)程中

都是平行平面，與平面的夾角為定值，故B正確；如下圖，當(dāng)。為對(duì)角線4cl中點(diǎn)時(shí)，M為正六邊形

OPQRST,而三角形&BD為等邊三角形，根據(jù)中位線定理=可得兩個(gè)截面周長(zhǎng)相等，故C錯(cuò)誤;

由圖可得，當(dāng)。為對(duì)角線ACi中點(diǎn)時(shí)，M為正六邊形OPQRST,設(shè)邊長(zhǎng)OT=a,面積為苧。2,當(dāng)。向下剛開(kāi)

始移動(dòng)時(shí)，”為六邊形O/iQiRiSiTi，結(jié)合圖形可知兩鄰邊一條增大，一條減小且變化量相等，設(shè)。1加=a+

x,SxT,=a-x(0<x<d),而且所有六邊形的高都相等且等于百a,兩鄰邊夾角都為120。，則S.；

O/iQiRiSli=SAOITR+5於$1(?15171+SAQ]RS=1(a+x)(a-x)sinl20°x2+1(a+x+a-x)x

V3a=乎。2-〈竽a2,當(dāng)M為三角形時(shí)面積最大為百a?<竽。2,所以當(dāng)且僅當(dāng)。為對(duì)角線4的中點(diǎn)

時(shí)，M的面積最大，故D正確.

故選：C.

6.如圖，已知四棱錐P-4BCD的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且N￡MB=T，PD=AD,PD1平面ABC。，F(xiàn),

。分別是P4BD的中點(diǎn)，E是線段PB上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①4c10E；

?FC=PO；

③直線P。與底面4BCD所成角的正弦值為?；

?△4EC面積的取值范圍是憐、國(guó).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①④

【解析】

由4cl80,AC1PD得AC1平面PBD,因?yàn)?。Eu平面PBO,所以AC10E,①正確

計(jì)算可得4c=2y/3,PC=PA=2或，AF=V2，AO=>/3

PO=Jp42—4。2=J(2偽2-V32=Vs

AC2+PA2-PC2(2V3)2+(2V2)2-(2V2)24e)

cos"4c=2—IPCI=-2X2V3X2V2~~=T

2yf^

CF2=AF2+AC2-2\AC\\AF\cos/.PAC=V2+(2V3)2-2x2V3xV2x—=8

4

所以CF=2V2.②不正確:

由線面角定義知，NPOD就是直線P。與底面ABCD所成的角，Sin4P。。=等，③不正確；

由4c1平面PBC得，AC1OE,S^ACE=\AC-OE=>/3xOE

\0E\max=V5.P8J.OE時(shí)|0E|最小，|0E|mm=￥@正確?

故答案為：①④

7.已知四棱錐P-48C。的高為1,△P4B和△PCD均是邊長(zhǎng)為四的等邊三角形，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①四棱錐P-力BCD可能為正四棱錐；

②空間中一定存在到P,A,B,C,。距離都相等的點(diǎn)；

③可能有平面PAD1平面4BCD；

④四棱錐P-4BC0的體積的取值范圍是0,|].

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②④

【解析】

根據(jù)題意，i&PO1ABCD,則P0=l,又因?yàn)锳PAB和△?(?￡)均是邊長(zhǎng)為企的等邊三角形，易得。4=0B

0C=0D=1,且N40B=乙COD=1

p

對(duì)①，當(dāng)4B=BC=CD=ZD=&時(shí)，底面為正方形，且。為底面中心，此時(shí)四棱錐P-4BCD可能為正四

棱錐，故①正確；

對(duì)②，04=0B=0C=00=0P=l,故一定存在到P,A,B,C,。距離都相等的點(diǎn)。，故②正確；

對(duì)③，當(dāng)平面PAC1平面ABC。時(shí)，因?yàn)镻0J.4BCC,故P。u平面PAD,此時(shí)乙4。。=兀，又因?yàn)橐?0B=

^-COD=p此時(shí)B,C重合，不滿足題意，③錯(cuò)誤；

對(duì)④，設(shè)Z>BOC=0,則Vp-48CD=3,S.8CD,P。

=^OA-OB+^OC-OD+^OB■OCsinO+g04.ODsin(兀-0))=*1+sin。)，因?yàn)??6(0,兀)，故sin0e

(0,1]>所以UP-ABCD=：(1+sin。)e&|■卜故④正確

故答案為：①②④

8.在四棱錐P-48C。中，必_1_平面N8C7),底面四邊形/8C。為矩形.請(qǐng)?jiān)谙旅娼o出的5個(gè)條件中選出2

個(gè)作為一組，使得它們能成為“在8c邊上存在點(diǎn)。，使得△P0。為鈍角三角形”的充分條件.(寫

出符合題意的一組即可)①PA=2；②BC=3；③BC=V5;?AB=V2;⑤4B=1.

【答案】②④或②⑤或③⑤

【解析】

設(shè)P4=a,48=b,40=c,BQ=x(0<x<c),貝！]CQ=c-x,

因?yàn)镻A，平面ABCD,底面四邊形4BCD為矩形，

所以P41AQ,則PQ2=22+AB2+BQ2=a2+b2+x2,

PA+AQ2=PA

DQ2=CD2+CQ2=b2+(c-x)2,PD2=PA2+AD2=a2+c2,

若在BC邊上存在點(diǎn)Q,使得△PQO為鈍角三角形，

222222

則PQ2+DQ2<PD2,即a2+6+X+b+(c-x)<a+c,

整理得/—ex+b2<0(0<x<c).

要使不等式有解，只需。2-4匕2>0,即只需BC>2AB即可，

因?yàn)棰貾4=2；②8c=3；③8。=花；?AB=V2;⑤48=1,

所以②④或②⑤或③⑤.

故答案為：②④或②⑤或③⑤.

9.設(shè)棱長(zhǎng)為2的正方體4BC0-&B1C101，E是4。中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是棱48、好久上的動(dòng)點(diǎn)，給出以下

四個(gè)結(jié)論：

①存在EN||Mg；

②存在MN平面EC。1；

③存在無(wú)數(shù)個(gè)等腰三角形EMN；

④三棱錐C-MNE的體積的取值范圍是

則所有結(jié)論正確的序號(hào)是.

【答案】③④

【解析】

對(duì)于①:取BC中點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)N在。1cl上移動(dòng)時(shí)，直線ENu平面EPC/i，同時(shí)當(dāng)點(diǎn)〃在直線上移動(dòng)時(shí)Mgu

平面ABC/i，因?yàn)镋PC/inABCWi=Ci/,故EN與不可能平行，①錯(cuò)誤.

對(duì)于②:如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，所以E(1,O,O),C(020)C(0,2,2),設(shè)N(0,Q,2)