數(shù)學(xué)中考專題訓(xùn)練-全等三角形的判定和性質(zhì)

中考專題訓(xùn)練——全等三角形的判定和性質(zhì)

1.如圖，點(diǎn)E,尸在BC上，BE=CF,/A=/。，NB=NC,求證：AB=DC.

2.如圖，點(diǎn)E,F在BC上，BE=CF,NA=N。,ZB=ZC,AF與交于點(diǎn)O.

(1)求證：AB=DC；

3.如圖，△ABC是等邊三角形，AE=CD,BQ_LAO于Q,BE交AD于P.

(1)求證：△ABE之△C4￡＞；

(2)求NP8Q的度數(shù).

4.如圖，ZiABC中，AB=BC,BE_LAC于點(diǎn)E,AQ_L8C于點(diǎn)Q,ZBAD=45°,AO與

BE交于點(diǎn)F,連接CF.

(1)求證：BF=2AE；

(2)若C￡)=&,求4力的長.

5.如圖，OE_L4B于E,。尸_LAC于凡若BD=CD,BE=CF,

(1)求證：AO平分/8AC；

(2)直接寫出AB+AC與AE之間的等量關(guān)系.

6.如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且NBAC=90°,ZDAE=90°,B,C,。在

同一條直線上.

(1)求證：BD=CE.

(2)BD,CE有什么位置關(guān)系？請證明.

7.如圖，在AABC和△4DE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°.

(1)當(dāng)點(diǎn)。在AC上時(shí)，如圖①，線段83,CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請證明

你的猜想；

(2)將圖①中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),如圖②，線段BQ,CE

有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由.

8.己知：如圖，AD//BC,EF垂直平分BD,與AD,BC,BD分別交于點(diǎn)E,F,O.求

證：

(1)4BOF公ADOE；

(2)DE=DF.

E

9.如圖，點(diǎn)C是線段AB上除點(diǎn)A、8外的任意一點(diǎn)，分別以AC、8C為邊在線段AB的同

旁作等邊△ACO和等邊△8CE,連接AE交0c于M,連接8。交CE于N,連接MN.

(1)求證：AE=BDi

(2)判斷△CMN的形狀并說明理由.

10.如圖，在△ABC中，A2=AC,8c=6,點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BA移動，同時(shí)，點(diǎn)Q

從點(diǎn)C出發(fā)沿線段4C的延長線移動，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到A時(shí)，點(diǎn)尸、。隨即停止運(yùn)動，若

點(diǎn)P、。移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)。.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P自點(diǎn)8出發(fā)在線段叢上運(yùn)動時(shí)，過點(diǎn)尸作AC的平行交3c于點(diǎn)

F,連接PC、FQ,判斷四邊形PFQC的形狀，并證明你的結(jié)論.

(2)如圖②，過點(diǎn)P作PEL8C,垂足為E,請說明在點(diǎn)P、。在移動的過程中，OE長

度保持不變.

11.如圖，在△ABC中，AB=8,AC=4,G為8c的中點(diǎn)，QG_LBC交NBAC的平分線A。

于。，DELABE,OF_LAC于F交AC的延長線于F.

(1)求證：BE=CF；

(2)求AE的長.

12.(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,/XACB和△￡)(7￡：均為等邊三角形，點(diǎn)A,D,E在同一直線上，連接BE,求/

AEB的度數(shù).

(2)拓展探究

如圖2,△ACB和△OCE均為等腰直角三角形，NACB=NOCE=90°,點(diǎn)A、D、E在

同一直線上，CM為△OCE中。E邊上的高，連接8E.請求/4EB的度數(shù)及線段CM,

AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

13.如圖，在RtZ\ABC中，NBAC=90°,AB=AC,。是BC的中點(diǎn)，AE=BF.求證:

(1)DE=DF；

(2)△DEF為等腰直角三角形.

14.如圖，△ABC中，AB=AC,NB4C=45°,BDLAC,垂足為。點(diǎn)，AE平分NBAC,

交BD于F,交BC于E,點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，連接OG,交AE于點(diǎn)H,

(1)求/ACB的度數(shù)；

(2)求證：HE^^AF.

2

D.

A

15.已知AM〃BN,AE平分NBAM,BE平分NABN,

(1)求的度數(shù).

(2)如圖2,過點(diǎn)￡的直線交射線4M于點(diǎn)C,交射線BN于點(diǎn)￡),求證：AC+BD=AB-,

(3)如圖3,過點(diǎn)E的直線交射線AM的反向延長線于點(diǎn)C,交射線BN于點(diǎn)。，AB=5,

試探索以

下問題:

(1)當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1,求證：EC=ED.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E不是A3的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)E作EF〃BC,交AC于點(diǎn)F,求證：△AEF

是等邊三角形.

(3)在(2)的條件下，EC與還相等嗎？請說明理由.

圖2

17.如圖1,點(diǎn)A和點(diǎn)8分別在y軸正半軸和x軸負(fù)半軸上，且。4=。8,點(diǎn)C和點(diǎn)。分

別在第四象限和第一象限，且0C，0￡>,0C=0￡),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(〃?，〃)，且滿足(膽

-2〃)2+|〃-2|=0.

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)求NAK。的度數(shù)；

(3)如圖2,點(diǎn)P,。分別在y軸正半軸和x軸負(fù)半軸上，且OP=O。，直線ON_LBP

交AB于點(diǎn)、N,交BP的延長線于點(diǎn)M,判斷ON,MN,的數(shù)量關(guān)系并證明.

18.在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。是直線BC上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)8、C重合)，以AQ為一

邊在的右側(cè)作△?!￡>￡：,使4￡>=4E,NDAE=/BAC,連接CE.

(1)如圖，點(diǎn)力在線段BC上，若NBAC=90°,則NBCE等于度；

(2)設(shè)/MC=a,ZBCE=p.

①如圖，若點(diǎn)。在線段BC上移動，則a與0之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

②若點(diǎn)￡>在直線8c上移動，則a與B之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論.

19.如圖(1)四邊形ABCQ中，已知NA8C+NAOC=180°,AB=AD,DA±AB,點(diǎn)E在

CD的延長線上，ZBAC^ZDAE.

(1)試說明：

(2)試說明CA平分/8C￡>；

(3)如圖(2),過點(diǎn)A作4MJ_CE,垂足為例，試說明：ZACE=ZCAM=ZMAE=

Z￡=45°.

20.如圖(1),直線AB與x軸負(fù)半軸、y軸的正半軸分別交于4、B、。4、。8的長分別

為a、b,且滿足a2-2ab+b2—0.

(1)判斷△AOB的形狀；

(2)如圖(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線OQ交直線A8于第二象限于點(diǎn)Q,過A、8兩點(diǎn)分別

作AM_LOQ、BN1.OQ,若AM=7,BN=4,求MN的長；

(3)如圖(3),E為A8上一動點(diǎn)，以AE為斜邊作等腰直角三角形ACE,P為BE的

中點(diǎn)，延長OP至凡使PF=DP,連接PO,BF,試問。尸、尸0是否存在確定的位置關(guān)

系和數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論并證明.

參考答案：

1.如圖，點(diǎn)、E,F在BC上，BE=CF,NA=ND,NB=NC,求證：AB=DC.

【分析】利用全等三角形的判定定理AAS證得aABF絲△￡)(?￡然后由全等三角形的對

應(yīng)邊相等證得4B=C￡>.

【解答】證明：：點(diǎn)E,F在3c上，BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF,艮［JBF=CE；

在AABF和△OCE中，

rZA=ZD

■ZB=ZC>

BF=CE

:.△ABF@XDCECAAS),

J.AB^CD(全等三角形的對應(yīng)邊相等).

2.如圖，點(diǎn)E,F在BC上，BE=CF,NA=/。，NB=NC,AF與QE交于點(diǎn)O.

(1)求證：AB=DC；

(2)試判斷尸的形狀，并說明理由.

【分析XI)根據(jù)BE=C尸得到8F=CE,XZA=ZD,NB=NC,所以△ABF絲△QC￡,

根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；

(2)根據(jù)三角形全等得NAFB=NCEC,所以是等腰三角形.

【解答】(1)證明：)BE=CF,

：.BE+EF=CF+EF,

即BF=CE.

在AAB尸與△OCE中，

'BF=CE

<ZA=ZD>

ZB=ZC

:.△ABF9/\DCE(A45),

：.AB=DC.

(2)△OEF為等腰三角形

理由如下：V

二ZAFB=ZDEC,

：.OE=OF,

.?.△OEF為等腰三角形.

3.如圖，△A8C是等邊三角形，AE=CZ),8Q_LAQ于Q,BE交AD于P.

(1)求證：

(2)求/PBQ的度數(shù).

E

BDC

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得A8=AC,ZBAC=ZC=60°,然后利用“邊

角邊”即可證明兩三角形全等；

(2)根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得再根據(jù)三角形的一個外角等于與

它不相鄰的兩個內(nèi)角的和得到NBPQ=60°,再根據(jù)8QJ_A￡>得到/BQP=90°,根據(jù)

三角形的內(nèi)角和定理求出NPBQ=30°.

【解答】(1)證明：:△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC,NBAC=NC=60°,

在△ABE與△CAQ中，

'AB=AC

，ZBAC=ZC=60°>

AE=CD

.?.△ABEg△04。(SAS)；

(2)解：V/\ABE^^CAD(已證)，

NABE=ADAC,

：.NBPQ=NABE+NBAP=NDAC+NBAP=ZBAC=60°,

VBQ-LAD,

，N80P=9O°,

...NP8Q=180°-90°-60°=30°.

4.如圖，AABC中，AB=BC,BEJ_AC于點(diǎn)E,AOJ_BC于點(diǎn)O,ZBAD=45°,40與

BE交于點(diǎn)、F,連接CF.

(1)求證：BF=2AE；

(2)若CD=?,求A。的長.

【分析】(1)先判定出△A8Q是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD

=BD,再根據(jù)同角的余角相等求出/C4O=/CBE,然后利用“角邊角”證明△AOC

和△BCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF=AC,再根據(jù)等腰三角形三線合一

的性質(zhì)可得AC=2AF,從而得證；

(2)根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=CD,然后利用勾股定理列式求出CF,再根

據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AF=CF,然后根據(jù)

代入數(shù)據(jù)即可得解.

【解答】(1)證明：,：ADLBC,ZBAD=45°,

...△AB。是等腰直角三角形，

：.AD=BD,

\"BE1AC,AD^BC,

.,.ZCAD+ZACD=90°,

ZCB￡+ZAC￡>=90°,

:.NCAD=NCBE,

在△ADC和中，

"ZCAD=ZCBE

<AD=BD>

ZADC=ZBDF=90°

A/\ADC^/\BDF(ASA),

：.BF=AC,

'：AB=BC,BEVAC,

：.AC=2AE,

：.BF=2AE；

⑵解：V^ADC^/XBDF,

:.DF=CD=M，

在RtZiCOF中，CF={DF2y口2=2,

\'BE±AC,AE=EC,

：.AF=CF^2,

：.AD=AF+DF=y/2+2.

A

5.如圖，DEIABTE,DFLACF,若BD=CD,BE=CF,

(1)求證：AO平分N8AC；

(2)直接寫出AB+AC與AE之間的等量關(guān)系.

【分析】(1)根據(jù)“HL”定理得出△BOE絲△<:￡)/,故可得出DE=DF,所以AO平分

ABAC-,

(2)根據(jù)HL證明△4￡?也所以AE=AF,^(.AB+AC^AE-BE+AF+CF^AE+AE

=2AE.

【解答】解：(1)；DE_LAB于E,OF_LAC于凡

:.NE=NDFC=90°,

二/\BDE與ACDE均為直角三角形，

vfBD=CD>

,IBE=CF'

:./\BDE冬ACDF(HL),

：.DE=DF,

二4力平分/BAC；

(2)AB+AC^2AE.

理由：'：ZE=ZAFD=90°,

在RtAAED與RtAAFD中，

[DE=DF,

IAD=AD'

.?.△AE￡>絲△AFC(HL),

：.AE=AF,

：.AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE.

6.如圖，ZVIBC和都是等腰三角形，且/BAC=90°,/D4E=90°,B,C,力在

同一條直線上.

(1)求證：BD=CE.

(2)BD,CE有什么位置關(guān)系？請證明.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出A3=AC、AD=AE,由/B4C=/D4E=90°

可得出/BAO=/C4E,由此即可證出△BAO絲△C4E(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

即可得出BD=CE；

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出/A8C=/ACB=45°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

可得出NACE=NABC=45°,進(jìn)而即可得出NBCE=NACB+NACE=90°,即BDV

CE.

【解答】證明：⑴:△ABC和△ADE都是等腰三角形，

.'.AB=AC,AD=AE.

；NBAC=90°,ZDAE=90°,

ZBAC+ZCAD^ZCAD+ZCAE,

即/&4￡>=/C4E.

'AB=AC

在△BAO和△CAE中，<NBAD=NCAE，

AD=AE

.?.△BA。之△CAE(SAS),

：.BD=CE.

(2)BDLCE.

「△ABC是等腰三角形，/BAC=90°,

AZABC=ZACB=45°.

:△BA。絲△CAE,

.*.N4CE=/ABC=45°,

NBCE=NACB+NACE=90°,

:.BDLCE.

7.如圖，在△ABC和△AOE中，AB=AC,AD=AE,NBAC=Z￡)4E=90°.

(1)當(dāng)點(diǎn)。在AC上時(shí)，如圖①，線段8D,CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請證明

你的猜想；

(2)將圖①中的△4DE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),如圖②，線段BQ,CE

有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由.

【分析】。)延長8。交CE于F,易證△E4C絲△D4B,可得BD=CE,ZABD^AACE,

根據(jù)乙4EC+/ACE=90°,可得/AB￡>+/AEC=90°,即可解題；

(2)延長BZ)交CE于F,易證N2A￡>=/EAC,即可證明△EAC絲△D43,可得8￡>=

CE,NABD=NACE,根據(jù)NABC+/ACB=90°,可以求得NC8"N8CF=90°,即

可解題.

【解答】證明：(1)延長B力交CE于凡

在△￡4c和△D4B中,

，AE=AD

<ZEAC=ZDAB>

AC=AB

：./\EAC^/\DAB(SAS),

：.BD=CE,NABD=NACE,

VZAEC+ZACE=90°,

...NABZ)+/AEC=90°,

:.NBFE=90°,BPEC.LBD；

(2)延長BD交CE于F,

E

"：ZBAD+ZCAD=9^,ZCAD+ZEAC=90a,

：.ZBAD=ZEAC,

?.,在4c和△D48中，

，AD=AE

<ZBAD=ZEAC>

AB=AC

.?.△EAC絲△QAB(SAS),

：.BD=CE,/ABD=NACE,

?.?NA8C+NACB=90°,

NCBF+NBCF=ZABC-AABD+AACB+AACE=90°

：.ZBFC=90°,BPEC1BD.

8.已知：如圖，AD//BC,EF垂直平分8。，與A。，BC,BD分別交于點(diǎn)E,F,O.求

證：

(1)/\BOF^/\DOE；

(2)DE=DF.

【分析】（1）由線段垂直平分線的定義可知OB=OD,且NBOF=NE。。，利用平行可

得NBFO=NDEO,利用AAS可證明△BOFg△QOE；

(2)由(1)中的全等可得OE=O凡可知8。是EF的垂直平分線，可得。E=￡>F.

【解答】證明：

(1)'：AD//BC,

:.NBFO=NDEO,

垂直平分BD,

：.OB=OD,ZBOF=ZDOE=90a,

在△B。尸和△OOE中

'NBOF=/DOE

-ZBF0=ZDE0

OB=OD

.?.△BO尸絲△OOE(A45)；

(2)由(1)可知△BO尸鄉(xiāng)△QOE,

AOE=OF,S.BD1EF,

：.BD為線段EF的垂直平分線，

：.DE=DF.

9.如圖，點(diǎn)C是線段AB上除點(diǎn)A、B外的任意一點(diǎn)，分別以4C、8C為邊在線段A8的同

旁作等邊△ACC和等邊△BCE,連接AE交。C于例，連接BQ交CE于N,連接MN.

(1)求證：AE=BD；

(2)判斷的形狀并說明理由.

【分析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合條件可證明△ACE絲△DCB,則可證得AE=

BD；

(2)利用(1)的結(jié)論，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可證明△4CM也△￡>(7%,可證得MC=

NC,則可判定△CMN為等邊三角形.

【解答】(1)證明：

△4C￡)和△BCE是等邊三角形，

：.AC=DC,CE=CB,ZDCA=60°,ZECB=60°,

*.'/￡>C4=/EC8=60°,

NDCA+NDCE=ZECB+ZDCE,ZACE=NDCB,

在△ACE與△DCB中，

'AC=DC

<ZACE=ZDCB

CE=CB

AAACE^ADCB(SAS),

：.AE^BD-,

(2)解：△CMN為等邊三角形，理由如下：

;由(1)得，△ACE也△DC8,

：.4CAM=2CDN,

,：ZACD^ZECB=60Q，而A、C、B三點(diǎn)共線，

:.NDCN=60°,

在△ACM與△OCN中，

"ZMAC=ZNDC

，AC=DC

ZACM=ZDCN

：.4ACM迫叢DCNCASA),

：.MC=NC,

■:NMCN=60°,

.?.△MCN為等邊三角形.

10.如圖，在△ABC中，AB=AC,BC=6,點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)沿線段BA移動，同時(shí)，點(diǎn)Q

從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到A時(shí)，點(diǎn)P、。隨即停止運(yùn)動，若

點(diǎn)P、。移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)。.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)尸自點(diǎn)8出發(fā)在線段BA上運(yùn)動時(shí)，過點(diǎn)P作4C的平行交8C于點(diǎn)

F,連接PC、FQ,判斷四邊形PFQC的形狀，并證明你的結(jié)論.

(2)如圖②，過點(diǎn)P作PELBC,垂足為E,請說明在點(diǎn)尸、。在移動的過程中，OE長

度保持不變.

【分析】(1)如圖①中，四邊形PFQC是平行四邊形.只要證明PF〃C。，PF=C。即

可解決問題.

(2)如圖②中，過點(diǎn)P作PF〃4c交BC于F,首先證明8E=EF,根據(jù)。尸=FC,即

可解決問題.

【解答】解：(1)如圖①中，四邊形PFQC是平行四邊形.

理由：'：AB^AC,

：.ZB=ZACB,

'JPF//AQ,

；./PFB=NACB=NB,/DPF=NDQC,

：.PB=PF=CQ,

，四邊形PFQC是平行四邊形.

(2)如圖②中，過點(diǎn)尸作PF〃AC交BC于凡

0

⑵

???△P8F為等腰三角形，

:.PB=PF,

:PELBF

；.BE=EF,

由(1)可知尸￡>=DC,

AED=EF+FD=^BF+^-FC=—(.BF+FC)=」BC=3,

2222

ED為定值，

11.如圖，在AABC中，A8=8,AC=4,G為8C的中點(diǎn)，OG_L8C交NBAC的平分線A。

于。，DEJ_AB于E,。凡L4C于尸交4c的延長線于尸.

(1)求證：BE=CF；

(2)求AE的長.

【分析】(1)連接DB、DC,先由角平分線的性質(zhì)就可以得出DE=DF,再證明△￡>"后

絲△OCF就可以得出結(jié)論；

(2)由條件可以得出△AOE絲力F,就可以得出AE=AF,進(jìn)而就可以求出結(jié)論.

?.?DG_LBC且平分BC,

：.DB=DC.

為NA4c的平分線，DE±AB,DFLAC,

：.DE=DF.NAED=NBED=ZACD=ZDCF=90°

在RtADBE和RtADCF中

fDB=DC

lDE=DF

RtADCF(HL),

：.BE=CF.

(2)在木△ADE和Rt/\ADF中

fAD=AD

IDE=DF

.,.RtAADE^RtAADF(HL).

：.AE=AF.

'：AC+CF=AF,

：.AE=AC+CF.

'：AE=AB-BE,

：.AC+CF=AB-BE

：AB=8,AC=4,

：.4+BE=S-BE,

；.BE=2,

，AE=8-2=6.

12.(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,ZVICB和△￡>(“均為等邊三角形，點(diǎn)A,D,E在同一直線上，連接BE,求N

AEB的度數(shù).

(2)拓展探究

如圖2,△ACB和△OCE■均為等腰直角三角形，NAC8=N￡)CE=90°,點(diǎn)A、D、E在

同一直線上，CM為△OCE中DE邊上的高，連接BE.請求N4EB的度數(shù)及線段CM,

【分析】(1)先證出/ACZ)=NBCE,那么△ACD之△BCE,根據(jù)全等三角形證出NAOC

=NBEC,求出/ADC=120°,得出/BEC=120°,從而證出/AE8=60°；

(2)證明△ACD四△BCE,得出/AOC=N8EC,最后證出。M=ME=CM即可.

【解答】解：(1)..?△4C8和△OCE均為等邊三角形，

：.CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

ZACD=6QQ-NCDB=ABCE.

在△4C￡)和△BCE中，

rAC=BC

<ZACD=ZBCE-

CD=CE

AAACD^ABCE(SAS).

：.ZADC=ZBEC.

???△QCE為等邊三角形，

：.NCDE=NCED=60°.

?點(diǎn)A,D,E在同一直線上，

/.ZADC=120°,

ZBEC=120°.

NAEB=ZBEC-ZCED=60°.

(2)NAEB=90°,AE=BE+2cM.

理由：??,△ACB和△￡>(7￡均為等腰直角三角形，

：.CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=90°.

：.NAC￡>=ABCE.

在△ACQ和△BCE中，

'CA=CB

<ZACD=ZBCE>

CD=CE

AACD^ABCE(SAS).

：.AD=BE,NADC=NBEC.

???△OCE為等腰直角三角形，

：.ZCDE=ZCED=45Q.

?點(diǎn)A,D,E在同一直線上，

AZADC=135°,

...NBEC=135°.

NAEB=NBEC-NCED=9(T.

,:CD=CE,CMIDE,

:.DM=ME.

VZDCE=90°,

:.DM=ME=CM.

：.AE=AD+DE=BE+2CM.

13.如圖，在RtZ\A8C中，N8AC=90°,AB^AC,。是BC的中點(diǎn)，AE=BF.求證:

(1)DE=DF；

(2)△OEF為等腰直角三角形.

【分析】（1）連接AQ,證明△BFZ）四△AEQ即可得出。E=￡>F；

（2）根據(jù)三線合一性質(zhì)可知A。_LBC,由也△AE￡>可知根據(jù)等

量代換可知NEQF=90°,可證△QEF為等腰直角三角形.

【解答】證明：（1）連接AD

；RtZ\A8C中，NBAC=90°,AB=AC,

；.NB=NC=45°.

"：AB=AC,DB=CD,

：.ZDAE=ZBAD=45°.

.?./B4O=/8=45°.

：.AD=BD,NA￡>B=90°.

在△￡>?!￡和AOB尸中，

'AE=BF

<ZDAE=ZB=45°，

AD=BD

:.叢DAE9ADBF(SAS).

:.DE=DF；

(2)'：^DAE^/XDBF

：.ZADE^ZBDF,DE=DF,

VZBDF+ZADF=ZADB=90°,

AZADE+ZADF=90°.

：./\DEF為等腰直角三角形.

,BD±AC,垂足為。點(diǎn)，AE平分/BAC,

交BD于F,交BC于E,點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，連接。G,交AE于點(diǎn)”,

(1)求NACB的度數(shù);

(2)求證：HE=LAF.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即可:

(2)證△ADFg/iBDC,推出AF=BC,求出HE=BE=CE,即可得出答案.

【解答】解：⑴：A8=AC,

ZACB^ZABC,

VZBAC=45°,

：.ZACB=ZABC=—(180°-NBAC)=工(180°-45°)=67.5°.

22

(2)連接H8,

\'AB=AC,AE平分/BAC,

：.AE±BC,BE=CE,

：.ZCAE+ZC=90a,

VBD1AC,

；.NCBO+NC=90°,

：.ZCAE=ZCBD,

'：BD±AC,。為垂足，

：.ZDAB+ZDBA=90°,

\'ZDAB=45°,

AZDBA=45°,

：.ZDBA^ZDAB,

:.DA=DB,

在RtABDC和Rt/XADF中，

'NBDC=/ADF

<BD=AD

ZCAE=ZCBD

ARtABDC^RtA/lDF(ASA),

：.BC=AF,

；OA=OB,點(diǎn)G為A8的中點(diǎn)，

.?.QG垂直平分A8,

?.?點(diǎn)H在0G上，

:.HA=HB,

；.NHAB=NHBA=L/BAC=22.5。,

2

NBHE=ZHAB+ZHBA=45°,

:.NHBE=NABC-NABH=67.5°-22.5°=45°,

:.NBHE=NHBE,

：.HE=BE=—BC,

2

"：AF=BC,

：.HE=^AF.

2

15.已知AM〃BN,AE平分NBAM,BE平分NABN,

(1)求乙4E8的度數(shù).

(2)如圖2,過點(diǎn)E的直線交射線AM于點(diǎn)C,交射線BN于點(diǎn)￡),求證：AC+BD=AB；

(3)如圖3,過點(diǎn)E的直線交射線AM的反向延長線于點(diǎn)C,交射線BN于點(diǎn)￡>,AB=5,

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NBAM+NA8N=180°,根據(jù)角平分線的定義得到

ABAE=^/BAM,NABE=±NABN,于是得到結(jié)論；

22

(2)在AB上截取AF=AC,連接EF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NAEC=NAEF,BF

=BD,等量代換即可得到結(jié)論；

(3)延長AE交8。于尸，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=B/=5,AE=EF,根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)得到。F=AC=3,設(shè)SABEF=SAABE=5X,S&DEF=S&ACE=3X,根據(jù)SAABE

-S^ACE—2,即可得到結(jié)論.

【解答】解：(I),：AM〃BN,

：.ZBAM+ZABN=\SO0,

平分NBAM,BE平分/ABN,

:.NBAE=L/BAM,NABE=LNABN,

22

/.ZBAE+ZABE^^-(NBAM+NABN)=90°,

2

，/AEB=90°；

(2)在AB上截取AF=AC,連接EF,

在△ACE與△AFE中，

'AC=AF

<ZCAE=ZFAE.

AE=AE

△ACE&XAFE,

：.NAEC=NAEF,

VZAEB=90°,

NAEF+NBEF=ZAEC+ZBED=90Q,

：?/FEB=NDEB,

在ABFE與ABDE中,

rZFBE=ZDBE

<BE二BE，

ZFEB=ZDEB

:.XBFE空XBDE,

；?BF=BD,

?；AB=AF+BF,

：.AC+BD=AB；

(3)延長A￡交8。于產(chǎn)，

VZAEB=90Q,

：.BELAFf

BE平分/ABN,

：.AB=BF=5,AE=EF,

?:AM"BN,

:?/C=/EDF,

在△人(?￡與中，

<ZC=ZEDF

<NAEONFEN，

AE=EF

，△ACE絲△FOE,

：.DF=AC=3,

'：BF=5,

???設(shè)S&BEF=S>ABE=5x,S^DEF=S^ACE=3%,

■:S&ABE~S/\ACE=2,

/.5x-3x=2,

??x=1,

「?△BOE的面積=8.

16.在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)。在CB的延長線上，且AE=BO.試探索以

下問題：

(1)當(dāng)點(diǎn)E為A8的中點(diǎn)時(shí)，如圖1,求證：EC=ED.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E不是4B的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)E作E尸〃8C,交AC于點(diǎn)尸，求證：/XAEF

是等邊三角形.

(3)在(2)的條件下，EC與ED還相等嗎？請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出A8=AC=BC,ZABC=ZACB=ZA=60°,

再由E是A8的中點(diǎn)，AE=BE=BD,證出/EZ)B=NEC8,得出EC=E￡＞；

(2)在AAE尸中，只要證明有兩個內(nèi)角是60°即可；

(3)只要證明△QBE0AEFC,即可推出結(jié)論：

【解答】證明：(1);△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC,/ABC=NACB=NA=60°,

是A8的中點(diǎn)，

:.AE=BE,ZECB=—ZACB=30°,

2

"：AE=BD,

：.BE=BD,

：.ZEDB=ZDEB=^ZABC=30Q,

2

:.NEDB=NECB,

：.EC=ED.

(2)過E點(diǎn)作EF〃8C交AC于尸點(diǎn).如圖2所示:

'：EF//BC,

：.ZAEF=ZABC=60Q,ZAFE=ZACB=60°,

...△AEF是等邊三角形.

(3)ED=EC.理由如下：

：ZiAEF是等邊三角形.

NAFE=ZABC=60°

：.ZEFC=ZDBE=120°,

5L'：AE=BD,AB=4C,

：.BD=EF,BE=FC,

在△OBE和△EFC中，

'BD=EF

<ZDBE=ZEFC-

BE=FC

:ADBE出AEFC(SAS),

：.ED=EC.

17.如圖1,點(diǎn)A和點(diǎn)8分別在y軸正半軸和x軸負(fù)半軸上，且OA=OB,點(diǎn)C和點(diǎn)。分

別在第四象限和第一象限，且OC_LO￡>,0C=0￡),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(機(jī)，〃)，且滿足(山

-2”)2+|〃-2|=0.

(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)求/AKO的度數(shù)；

(3)如圖2,點(diǎn)P,。分別在y軸正半軸和x軸負(fù)半軸上，且OP=O。，直線ONJ_BP

交A8于點(diǎn)N,MNLAQ交BP的延長線于點(diǎn)M,判斷ON,MN,的數(shù)量關(guān)系并證明.

【分析】(I)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

(2)如圖1中，作OE_L2￡>于E,OFA,ACF.只要證明△BO。空△AOC,推出EO

=。尸(全等三角形對應(yīng)邊上的高相等)，推出OK平分NBKC,再證明NAK8=N80A

=90°,即可解決問題：

(3)結(jié)論：BM=MN+ON.只要證明以及即可解決問題；

【解答】解：(1)V(m-2n)2+\n-2\=Q,

又（/n-2n）220,-2|20,

??/i=2,m=4,

.?.點(diǎn)。坐標(biāo)為（4,2）.

(2)如圖1中，作0E_L8。于E,。尸_LAC于凡

'：OA=OB,OD=OC,ZAOB=ZCOD=90a,

ZBOD=ZAOC,

：./\BOD^/\AOC,

：,EO=OF（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等），

OK^^-ZBKC,

.'.ZOBD=ZOAC,易證NAKB=NBOA=90°,

：.ZOKE=45a,

：.ZAKO=\35°.

(3)結(jié)論：BM=MN+ON.

理由：如圖2中，過點(diǎn)B作軸交MN的延長線于

圖2

'：OQ=OP,OA=OB,ZAOQ=ZBOP=90°,

/XAOQ^/XBOP,

：.ZOBP=ZOAQ,

：NOBA=N0A8=45°,

NABP=NBAQ,

'：NM±AQ,BMLON,

：.ZANM+ZBAQ=90°,ZBNO+ZABP=90°,

：.ZANM=NBNO=ZHNB,

?：4HBN=NOBN=45°,BN=BN,

：.HN=NO,ZH=ZBON,

,:NHBM+NMBO=90°,NBON+NMBO=90°,

：.NHBM=4BON=NH,

：.BM=MN+NH=MN+ON.

18.在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。是直線BC上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)8、C重合)，以A。為一

邊在A。的右側(cè)作△AOE,使AO=AE,ZDAE=ZBAC,連接CE.

(1)如圖，點(diǎn)。在線段BC上，若NBAC=90°,則N2"等于90度;

(2)設(shè)/B4C=a,ZBCE=p.

①如圖，若點(diǎn)。在線段BC上移動，則a與0之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

②若點(diǎn)力在直線BC上移動，則a與。之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論.

【分析】(1)可以證明△BAD嶺△C4E,得到NB=NACE,證明NACB=45°,即可解

決問題.

(2)證明△54。絲△C4E,得到NB=NACE,(3=NABC+/ACB,即可解決問題.

(3)證明△%!￡＞絲△C4E,得到/ABO=NACE,借助三角形外角性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：(1)如圖1,,：ZBAC=ZDAE,

：.ZBAD=ZCAEt

'AB=AC

在△84。與△C4E中，,NBAD=NCAE，

AD=AE

.,.△BAD^ACAE(SAS),

：.ZB=ZACE,

：.ZBCE^ZACB+ZACE=90°,

故答案為90.

(2)如圖2,a+p=180°；理由如下：

,?NBAC=ADAE,

：.NBAD=4CAE；

在△84。與△C4E中，

，AB=AC

<ZBAD=ZCAE-

AD=AE

：./\BAD^/\CAE(SAS),

.'.ZB=ZACE,^=ZABC+ZACB,

.?.a+0=18O°.

(3)①：/D4E=/a4C,

.,.ND4B=NEAC；

在△54。與△CAE中，

'AB=AC

-ZBAD=ZCAE-

AD=AE

.?.△BA。g△CAE(SAS),

，/B=ZACE,

：.ZABD=ZACE；而NABD=NACB+a,^=ZACE-ZACB,

，B=/ACB+a-ZACB,

/.a=p.

②當(dāng)。在C8的延長線時(shí)，a=p.

當(dāng)。在BC的延長線上或線段BC上時(shí)，a+B=180°.

19.如圖(1)四邊形A8CZ)中，已知NABC+N4OC=180°,AB=AD,OA_LA8,點(diǎn)E在

CO的延長線上，ZBAC=ZDAE.

(1)試說明：△ABC絲△4DE；

(2)試說明C4平分/BCD；

(3)如圖(2),過點(diǎn)A作AM_LCE,垂足為M,試說明：ZACE=ZCAM=ZMAE=

NE=45°.

【分析】(1)根據(jù)三角形的判定定理ASA即可證得；

(2)通過三角形全等得AC=AE,NBCA=NE,進(jìn)而根據(jù)等邊對等角求得NACD=/E,

從而求得/8C4=/E=ZACD即可證得：

(3)通過三角形全等得AC=AE,ZCA￡=90°,即AACE是等腰直角三角形，根據(jù)