十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質(zhì)模擬題匯編新高考卷與全國專題12立體幾何與空間向量解答題（解析版）

大數(shù)據(jù)之十年高考真題(2013-2022)與優(yōu)質(zhì)模擬題(新高考卷與新課

標(biāo)理科卷)

專題12立體幾何與空間向量解答題

◎真題匯總

1.【2022年全國甲卷理科18］在四棱錐P-4BCD中，PD1底面IIAB,AD=DC=CB=1,AB=

2,DP=V3.

(1)證明：BD1PA；

(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析;

【解析】

(1)證明：在四邊形4BCD中，作于E,CF1AB于F,

因?yàn)?CD=CB=1,AB=2,

所以四邊形ABCO為等腰梯形，

AEFB

所以==g

故DE=—.BD=>JDE2+BE2=V3,

所以+BD2=附,

所以/W1BD,

因?yàn)镻。J_平面ABC。，BOu平面4BC0,

所以PC1BD,

乂PDMD=D,

所以8D_L平面P4D,

又因P4u平面P4D,

所以8。1PA；

BD=心,

則4(1,0,0),B(0,V3,0),尸(0,0,V3).

則方=(-1,0,y/3),BP=(0,-V3,V3),DP=(0,0,V3).

設(shè)平面P4B的法向量元=(x,y,z),

則有｛了.#=-”+8z=°，可取元=（低1」）,

n-BP=-V3y+V3z=0

則cos他而＞=焉瓶=曰，

所以PC與平面P4B所成角的正弦值為g.

2.【2022年全國乙卷理科18】如圖，四面體力BCD中，AD1CD,AD=CD,zJ\DB=^BDC,E為4c的中點(diǎn).

D

(1)證明：平面BEDI平面4CD：

(2)設(shè)AB=BD=214C8=60。，點(diǎn)尸在BD上，當(dāng)AAFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦

值.

【答案】(1)證明過程見解析

⑵CF與平面ABD所成的角的正弦值為苧

【解析】

(1)因?yàn)?D=CD,E為AC的中點(diǎn)，所以ACJ_DE；

在448。利必CBD中,因?yàn)?0=CD/ADB=乙CDB,DB=DB,

所以△力8。三△CBO,所以48=CB,又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AC_LBE；

又因?yàn)镈E,BEu平面BED,DECBE=E,所以ACJ■平面BED,

因?yàn)?Cu平面4C。，所以平面BED1平面4CD.

(2)連接EF,由(1)知，4cl平面BE。，因?yàn)镋Fu平面BEO,

所以“_LEF,所以SA4FC="LEF,

當(dāng)“18。時，EF最小，即尸C的面積最小.

因?yàn)椤鰽BD三△C8D,所以CB=4B=2,

又因?yàn)橐褹CB=60。，所以△ABC是等邊三角形，

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以4E=EC=1,BE=依,

因?yàn)镮CO,所以DE=(4C=1,

在△DEB中，DE2+BE2=BD2,所以BEIDE.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

則A(l,0,0),B(0,g,0),C(0,0,l),所以而=(-1,0,1),=(-1,73,0),

設(shè)平面4B0的一個法向量為五=(x,y,z),

則一:+j_°n，取y=V5,則五=(3,6,3),

E?AB=—x+73y=0)

又因?yàn)镃(-1,0,0),F(0,ft)，所以汴=(

/一64V3

所以85仇,")=n而'CF聞=喜=丁，

設(shè)CF與平面4BC所成的角的正弦值為。(0<0<0,

所以sin。=|cos(n,CF)|=一，

3.【2022年新高考1卷19］如圖，直三棱柱ABC-&B1C1的體積為4,△48C的面積為2VL

⑴求Z到平面4BC的距離;

(2)設(shè)。為4c的中點(diǎn)，AAj=AB,平面ABCJL平面48叢&,求二面角4一8。-C的正弦值.

【答案】⑴立

【解析】

(1)在直三棱柱48。-414的中，設(shè)點(diǎn)Z到平面418c的距離為

則力-&BC=gs-i8c,h==/i-ABC=(SAABC,A-[A=^VABC-AiBiCy=g

解得/l=V2,

所以點(diǎn)Z到平面ABC的距離為我；

(2)取的中點(diǎn)E,連接4瓦如圖，因?yàn)?4]=48,所以4EJ.A8,

又平面418。_1_平面488141，平面AiBCn平面ABB/i=ArB,

且4Eu平面4幽4，所以4E1平面&BC,

在直三棱柱4BC-&B1C1中，BBiJ_平面ABC,

由BCu平面A]BC,BCu平面ABC可得4E1BC,BB11BC,

又4E,BBiu平面且相交，所以BCJ_平面ABB14,

所以8C,B4BBi兩兩垂直，以8為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

由(1)得4E=&,所以44i=4B=2,A、B=2握,所以BC=2,

則4(0,2,0),4(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以&C的中點(diǎn)￡>(1,1,1),

貝麗=(1,1,1)>BA=(0,2,0),近=(2,0,0),

設(shè)平面4BD的一個法向量福=(x,y,z),則產(chǎn),二x+y+z=0,

m-BA=2y=0

可取而=(1,0,-1),

設(shè)平面BCC的-個法向量冠=(a,b,c),則｛沅,而二a+匕+'=°,

沅?8C=2Q=0

可取元=(0,1,—1),

則cos(沅,元)=焉^=備=/

所以二面角4-BD-C的正弦值為Jl-(1)2=當(dāng)

4.【2022年新高考2卷20]如圖，P0是三棱錐P-4BC的高，PA=PB,AB1AC,E是PB的中點(diǎn).

p

c

(1)證明：OE〃平面P4C；

(2)若乙48。=4c8。=30。，PO=3,PA=5,求二面角C-4E-B的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

嚙

【解析】

(1)證明:連接BO并延長交AC于點(diǎn)交連接04、PD,

因?yàn)镻0是三棱錐P-4BC的高，所以P。！平曲;4BC,A0,B0u平面4BC,

所以PO1A。、P01B0,

又P4=PB,所以△P04WAP0B,即04=。8,所以乙。48=4。84,

5LAB1AC,即NBAC=90。，所以4。48+4040=90。，/.OBA+Z.ODA=90°,

所以40ZM=/.OAD

所以4。=DO,BIMO=DO=0B,所以。為BD的中點(diǎn)，又E為PB的中點(diǎn)，所以O(shè)E〃P。,

又OEC平面P4C,PDu平面P4C,

所以0E〃平面P4c

(2)解：過點(diǎn)4作4z〃0P,如圖建立平面直角坐標(biāo)系,

因?yàn)槭?3,AP=5,所以O(shè)4=V4P2-2。2=4,

y

z

又40BA=NOBC=30。，所以BC=2O4=8,貝ijAD=4,AB=4V3.

所以4C=12,所以0(2百,2,0),F(4V3,0,0),P(2b,2,3),C(0,12,0),所以E(3K,1,|),

則在=(3百,1，5，AB=(4V3,0,0),AC=(0,12,0),

設(shè)平面4EB的法向量為H=(x,y,z),則1nAE-jV3x+y+-z-0,令z=2、則y=-3,x=0,所以五=

(n-AB=4V3x=0

(0,-3,2)；

設(shè)平面4EC的法向量為市=(a,b,c),貝ij］沆TE=/a+"+|c=°,令。=g，則c=一6,b=0,所以

Im-AC=126=0

m=(V3,0,-6)：

用而__12__4V3

所以cos（五，沆）同|利一V13xV39一—IT

設(shè)二面角C一AE-B為仇由圖可知二面角C一AE一8為鈍二面角,

所以cose=-竽’所以Sina='l—8S28=￡

故二面角C一AE-B的正弦值為三；

5.（2021年全國甲卷理科19】已知直三棱柱ABC-A/iCi中，側(cè)面人公/夕為正方形，AB=BC=2,E,

尸分別為AC和eg的中點(diǎn)，。為棱AiBi上的點(diǎn).BFlAiBi

（1）證明：BF1DE-.

（2）當(dāng)BiD為何值時，面BBigC與面DFE所成的二面角的正弦值最??？

【答案】（1）見解析；（2）BXD=^

因?yàn)槿庵鵄BC—41/Ci是直三棱柱，所以BBil底面ABC,所以

因?yàn)锳iBi〃4B,BFJ.A1B1，所以BF1AB,

XBB]OBF=8,所以4B1平面BCCiBr

所以兩兩垂直.

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為％y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

所以8(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),8式0,0,2),A式2,0,2),g(0,2,2),

0)/(0,2,1).

由題設(shè)D(a,0,2)(0<a<2).

(1)因?yàn)锽F=(0,2,1),DE=(1-a,1,-2),

所以BF-DF=0x(l-a)+2xl+lx(-2)=0,所以BF1DE.

(2)設(shè)平面DFE的法向量為沅=(x,y,z),

因?yàn)镋F=(-1,1,1),DE=(1—a,1,-2),

EF=0-x+y+z=0

所以｛?OE=0'BmP(((l-a)x+y-2z=0-

令z=2—a,則m=(3,1+a,2—a)

因?yàn)槠矫鍮CgBi的法向量為瓦？=(2,0,0)，

設(shè)平面BCG/與平面。EF的二面角的平面角為仇

則|cos8|=-四綱-=—，上_.=r—_.

\m\-\BA\2xJ2a2-2。+14y/2a2-2a+14

當(dāng)。=:時，2a2—2a+4取最小值為

3x/6

此時cos。取最大值為居=T.

所以(sin9)min=JI-(y)2=導(dǎo)

此時=i

6.【2021年新高考1卷20］如圖，在三棱錐4-BCD中，平面4BDJ■平面BCD,AB=AD,。為BD的中點(diǎn).

(1)證明：041CD；

(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱4D上，DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小為45。,

求三棱錐4-BCD的體積.

【答案】(1)詳見解析(2)在

6

(1)因?yàn)锳B=AD,0為BD中點(diǎn)，所以AO_LBD

因?yàn)槠矫鍭BDC平面BCD=BD,平面ABD_L平面BCD,AOu平面ABD,

因此AO_L平面BCD,

因?yàn)镃Du平面BCD,所以AO±CD

(2)作EF_LBD于F,作FMJ_BC于M,連FM

因?yàn)锳O_L平面BCD,所以AO_LBD,AOICD

所以EF1BD,EFXCD,BDnCD=。，因此EF_L平面BCD,即EF1BC

因?yàn)镕M_LBC,FMCEF=F，所以BC_L平面EFM,即BC_LMF

則4EM尸為二面角E-BC-D的平面角，4EMF=彳

因?yàn)锽O=OD,AOCD為正三角形，所以△OCO為直角三角形

因?yàn)锽E=2ED,-FM=^BF=1(1+1)=|

從而EF=FM=1AO=1

■■■AO，平面BCD,

所以V={AO-SABCD=JxlxixlxV3=^

<5oLt>

7.【2021年全國乙卷理科18］如圖，四棱錐P-4BCD的底面是矩形，PD1底面4BCD,PD=DC=1,M

為BC的中點(diǎn)，且PB14M.

(2)求二面角4—PM—B的正弦值.

【答案】⑴缶⑵罌

（1）???POJ■平面4BCD,四邊形4BCD為矩形，不妨以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC.DP所在直線分別為X、

設(shè)BC=2a,則。(0,0,0)、P(0,0,l)、B(2a,1,0),M(a,l,0)、A｛2a,0,0),

則而=(2a,1,-1),AM=(-a,l,0)，

?-■PB1AM,則而?而=-2a2+i=o，解得。=爭故BC=2a=低；

⑵設(shè)平面PAM的法向量為沅=（x"i，Zi）,則彳祈=（一苧,1,0）,AP=（-y/2,0,1），

^2

-AM=--Xi+%=0

由｛21-71取冗i=V2,可得沅=(V2,1,2),

m-AP=-V2%1+Z[=0

設(shè)平面PBM的法向量為正=（%%々），兩=（一苧,0,0），BP=（-V2,-1,1），

由｛nBM=--x2=0,取力=1,可得m=(0,i,i),

z

nBP=-V2X2-y2+2=0

,一?1、mn33-714

<m,n>=~rr^

cos|m||n|=V-77=x—V2?==14

所以，sin<m,n>=V1_cos2<m,n>=

14

因此,二面角4-PM-8的正弦值為唱.

8.（2021年新高考2卷19】在四棱錐Q-4BCD中，底面4BCD是正方形，若4。=2,QD=QA=遮,QC=3.

Q

----r

（1）證明：平面Q4D-L平面4BCD；

（2）求二面角B—QD—4的平面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）1

（1）取4D的中點(diǎn)為。，連接QO,CO.

因?yàn)镼4=QD,0A=0D,則Q01AD,

而4D=2,Q4=V5,故Q0=75^1=2.

在正方形4BCD中，因?yàn)?。=2,故DO=1,故CO=代，

因?yàn)镼C=3,^QC2=QO2+OC2,故△QOC為直角三角形且QO1OC,

因?yàn)镺CCl4。=0,故QO1平面4BCD,

因?yàn)镼。u平面Q4D,故平面Q4。1平面4BCD.

（2）在平面4BCD內(nèi)，過。作O77/CD,交BC于7,則07_L4D,

結(jié)合（1）中的Q01平面ABCD,故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.

Q

則0(0,1,0),<2(0,0,2),B(2,-1,0),故的=(-2,1,2),BD=(-2,2,0).

設(shè)平面QB。的法向量ii=(x,y,z),

則Cn-BQ—Ownr-+y+2z=0

'[nBD=0U{-2x+2y=0取x=1,則y=l,z=|,

故元=(1,1弓).

而平面QA。的法向量為沅=(1,0,0),故cos(而，元)=+=：.

2

二面角B-QD-4的平面角為銳角，故其余弦值為:

9.【2020年全國1卷理科18］如圖，0為圓錐的頂點(diǎn)，0是圓錐底面的圓心,4E為底面直徑,4E=.△ABC是

底面的內(nèi)接正三角形，P為。。上一點(diǎn)，PO=^DO.

O

(1)證明：PA1平面PBC；

(2)求二面角B—PC-E的余弦值.

【答案】(1)證明見解析：(2)詈.

【解析】

(1)由題設(shè)，知△O4E為等邊三角形，設(shè)4E=L

則D0=",C0=B0=；4E=；,所以PO=￥DO=',

22264

PC=\/P02+0C2=—,PB=VPO2+OB2=

44

又△ABC為等邊三角形，則鼻=204,所以84=容

sm602

PA2+PB2=-=AB2,則ZJ!PB=90。，所以P4J.PB,

4

同理1PC,又PCnPB=P,所以PAiTffiPBC；

(2)過。作0N〃8c交4?于點(diǎn)N,因?yàn)镻01平面4BC,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，0/為x軸，ON為y軸建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則E(-i0,0),P(0,0,當(dāng),B(-i,y,0),C(一一苧,0),

配=(-？-今-與，而=(-；，?，-當(dāng)，聞=

設(shè)平面PCB的一個法向量為冗=(Xi，%,Zi),

由口篇:.得二請MD—…

所以同=(魚,0,—1),

設(shè)平面PCE的一個法向量為沆=(x2,y2,z2)

嘴吃常得

，人/二.，8r得—嚀

所以市=(1,今-煙

s,一一、ft而2V22x/5

故4tcos<m,n>=——=—-1==—?

MHm|gx隼5

V3

設(shè)二面角B-PC—E的大小為仇則cos。=竽.

10.【2020年全國2卷理科20］如圖，已知三棱柱N8C-48C1的底面是正三角形，側(cè)面BBCC是矩形,

M,N分別為8C,81G的中點(diǎn)，P為4M上一點(diǎn),過SG和尸的平面交48于E,交AC于F.

（1）證明：AA\//MN,且平面44WN_LE5iG尸；

（2）設(shè)。為△小81cl的中心，若40〃平面且Z0=/5,求直線囪E與平面44VW所成角的正弦

值.

【答案】（1）證明見解析；（2）嘿

【解析】

（1）TM,N分別為BC,8佟1的中點(diǎn)，

又AAi〃BBI

MNHAAi，

在AABC中，M為BC中點(diǎn)，則8cl4M

又?.?側(cè)面BBiGC為矩形，

**?BC-LBB-^9

MN1BC,

由MNn4M=M,MN,ZMu平面44MN

???BC_L平面44MN

又???B*C/BC,且C平面ABC,BCu平面ABC,

B￡〃平面ABC

又；u平面EBi”,且平面E/CiFC平面ABC=EF

BiCJ/EF

：.EF//BC,

乂,:BC_L平面414MN

EF，平面AiAMN

???EFu平面EBigF

???平面EB[C/J_平面414MN

(2)連接NP

???4?！ㄆ街礽EBigF,平面40NPC平面EBigF=NP

：.AOHNP,

根據(jù)三棱柱上下底面平行，

其面41NM4。平面ABC=AM,面&NMAC平面AiBiQ=AtN

：.ON//AP,

故：四邊形0/VP4是平行四邊形

設(shè)44BC邊氏是6m(m>0)

可得：ON=AP,NP=AO=AB=6m

???。為AAiBiCi的中心，且Ci邊長為6nl

ON=|x6xsin60°=V3m,

故：ON=AP=^m

???EF//BC,

:.——AP=——EP,

AMBM

V3_EP

"373=~）

解得：EP=m

在BiG截取/Q=EP=m,故QN=2m

■■■BiQ=EP旦BQEP

二四邊形BiQPE是平行四邊形，

???B[E〃PQ,

由（1）81cl_L平面414MN

故NQPN為/E與平面414MN所成角

^r.Rt^QPN,根據(jù)勾股定理可得：PQ=yjQN2+PN2=V（2m）2+（6m）2=2V10m

.QN2mV1O

???smy乙QPN=z—=—==—=-

yPQZx^iOm10

???直線B/與平面為AMN所成角的正弦值：察.

11.【2020年全國3卷理科19］如圖，在長方體4BCD-&B1C1D1中，點(diǎn)瓦F分別在棱上，且2CE=

EDi，BF=2FBi，

(1)證明：點(diǎn)Ci在平面4EF內(nèi)；

(2)若4B=2,AD=1,44i=3,求二面角4一E尸一公的正弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2)手.

【解析】

(1)在棱eg上取點(diǎn)G,使得CiG=；CG,連接DG、FG、gE、QF,

在長方體ABCD-&出6/中，AD//BCS.AD=BC,BBJ/CCi且=Cg,

CXG=~CG,BF=2FBi，:.CG=|CC\=|BBi=BFRCG=BF,

所以，四邊形BCGF為平行四邊形，則4尸〃DG旦4F=OG,

同理可證四邊形。EQG為平行四邊形，:C1E//DG且GE=DG,

：.C1E//4F且GE=AF,則四邊形4EC/為平行四邊形，

因此，點(diǎn)Ci在平面4EF內(nèi)；

(2)以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，Ci。I、gBi、gC所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系

GL-xyz,

則4(2,1,3)、4(2,1,0)、￡(2,0,2),/(0,1,1),

而=(0,-1,-1),AF=(-2,0,-2),取=(0,—1,2),A^F=(-2,0,1),

設(shè)平面4EF的法向量為市=(Xi，yi，zi),

由匕萼=＞得匚：〔工廠:取zi=-l,得必=%=1,則沆=(1,1,一1),

lm-AF=0I以1/Zi—u

設(shè)平面&Ef的法向量為元=(x2,y2,z2'),

由尸？I=t得取Z2=2,得必=1,%=4,則冗=(1,4,2),

-zx

(n-ArF=0l2+Z2-u

Zi

,一一、m?3y/7

cos<m,n>=—=-；=-7==—，

|mHH|V3xV217

設(shè)二面角4一E尸一A1的平面角為0,則|cosO|=?,sin0=V1-cos20=

因此，二面角4-EF-①的正弦值為手.

12.[2020年山東卷20]如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，底面/8CO.設(shè)平面PAD與平面PBC

的交線為/.

(1)證明：LL平面PZJC；

(2)已知PD=ZO=1,。為/上的點(diǎn)，求尸8與平面所成角的正弦值的最大值.

【答案】⑴證明見解析；(2)當(dāng)

【解析】

(1)證明：

在正方形4BCD中，AD//BC,

因?yàn)?0C平面PBC,BCu平面PBC,

所以4。//平面PBC,

乂因?yàn)?。u平面P4。，平面PADn平面PBC=，，

所以40//1,

因?yàn)樵谒睦忮FP—4BCD中，底面4BCD是正方形，所以4。1DC,1

且P。，平面4BC。，所以4。1PD,?-.I1PD,

因?yàn)镃DClPD=。

所以，，平面PDC；

(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

因?yàn)镻D=4D=1,則有D(0,0,0),C(0,l,0),4(l,0,0),P(0,0,l),B(l,L0)，

設(shè)Q(m,0,1),則有雙=(0,1,0),DQ=(m,0,1),PB=(1,1,-1),

設(shè)平面QCD的法向量為ft-(x,y,z),

令尤=1,則z=—m,所以平面QCD的一個法向量為”=(1,0,—m),則

nPB1+0+m

cos<n,PB>=

\n\\PB\V3-Vm2+1

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與

平面所成角的正弦值等于|8S<n,PS>|==日?^?小得若?［高<

爭=M當(dāng)且僅當(dāng)m=1時取等號，

所以直線PB與平面QC。所成角的正弦值的最大值為苧.

13.［2020年海南卷20］如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，底面/8CO.設(shè)平面PAD與平面PBC

的交線為/.

方…c

(1)證明：平面尸￡>C；

(2)已知尸。=/。=1,。為/上的點(diǎn)，求P8與平面0CD所成角的正弦值的最大值.

【答案】(1)證明見解析；⑵Y，

【解析】

(1)證明：

在正方形4BCD中，AD//BC,

因?yàn)?。C平面PBC,BCu平面PBC,

所以平面PBC,

又因?yàn)?。u平面P40,平面PADn平面PBC=I,

所以4D//1,

因?yàn)樵谒睦忮FP-4BCD中，底面4BCD是正方形，所以4D1_L0C,

且PD1平面4BCD,所以AD1PD,IIP。，

因?yàn)镃Df\PD=D

所以?平面PDC：

(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一久yz,

因?yàn)镻D=AD=1,則有D(0,0,0),C(0,1,0),4(10,0),P(0,0,1),8(1,1,0),

設(shè)Q(m,0,l),則有配=(0,1,0),函=(m,0,1),而=(1,1,-1),

設(shè)平面QCD的法向量為定=(x,y,z),

DCn=

DQ-n=0

令冗=1,則2=—加，所以平面QCO的一個法向量為元=(1,0,-m),

n-PB1+0+m

則cos<n,PB>=

m\?B\~后石石T

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與

平面所成角的正弦值等于|8S＜加四＞|=標(biāo)號=去］臂=今”^三泉廣高S

^-V1T1=Y，當(dāng)且僅當(dāng)m=l時取等號，

所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為苧.

14.【2019年新課標(biāo)3理科19】圖1是由矩形/OE8、和菱形8尸GC組成的一個平面圖形，其中

AB=\,BE=BF=2,NFBC=66；將其沿48,8c折起使得8E與8F重合，連結(jié)。G,如圖2.

圖1圖2

(1)證明：圖2中的力，C,G,。四點(diǎn)共面，且平面48cJ_平面8CGE；

(2)求圖2中的二面角8-CG-N的大小.

【答案】證明：(1)由已知得CG//BE,：.AD//CG,

：.AD,CG確定一個平面，

：.A,C,G,。四點(diǎn)共面，

由已知得ABLBC,BCGE,

VABC,ABCmBCGE.

解：(2)作EH1,BC,垂足為H,

；EHu平面BCGE,平面BCGEA.T'ffiABC,

平面45C,

由已知，菱形8CGE的邊長為2,NEBC=60；

:EH=V3,

以，為坐標(biāo)原點(diǎn)，"C的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系，-孫z,

則/(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,V3),

CG=(1,0,V3),AC=(2,-1,0),

設(shè)平面4CGZ)的法向量〃=(x,y,z),

貝"阿=x+8z=°,取x=3,得1=(3,6,—遍),

(AC?n=2x—y=0

又平面BCGE的法向量為蔡=(0,I,0),

?J~、n-m>/3

..cos<n,m>=——

1nMm|2

二面角8-CG-/的大小為30°.

15.【2019年全國新課標(biāo)2理科17］如圖，長方體力58-351。n的底面是正方形，點(diǎn)E在棱441

上，BELECi.

(1)證明：8E_L平面EBiCi；

(2)若求二面角8-EC-G的正弦值.

【答案】證明：(1)長方體中，8iG_L平面/8Z/1,

:?BiCi上BE,YBE工ECi,

解：(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)ZE=4E=1,:夕月,平面后囪。，ABE±EB\,：.AB=],

則E(1,1,1),A(1,1,0),Bi(0,1,2),Ci(0,0,2),C(0,0,0),

'：BCVEB\,AEfiilffiEBC,

故取平面￡8C的法向量為云=EBr=(-1,0,1),

設(shè)平面EC。的法向量％=(x,y,z),

由匕41=°,得t；；+z=o,取x=l，得鼠（1，7,0），

（n?CE=0

—>—>

tTTTL'Tl

Acos<m,n>=Jt=~4?

V3

，二面角B-EC-Ci的正弦值為三.

16.【2019年新課標(biāo)1理科18］如圖，直四棱柱月88-/18QD1的底面是菱形，AA\=4,AB=2,/BAD

=60°,E,M,N分別是BC,BB\,小。的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面CiDE；

(2)求二面角4-MXi-N的正弦值.

【答案】（I）證明：如圖，過N作則N”〃/4，且NH=*44i，

又MB〃AA\,MB=^AAX,，四邊形NA784為平行四邊形，則MW〃64,

由NH〃44i，N為小。中點(diǎn)，得“為中點(diǎn)，而￡為8c中點(diǎn)，

：.BE//DH,BE=DH,則四邊形為平行四邊形，則BH〃DE,

C.NM//DE,

平面CiDE,OEu平面C\DE,

；.MV〃平面C\DE-,

（2）解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于。C得直線為x軸，以0c所在直線為夕軸，以。。?所在直線為z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，

則N（j-i,2）,M（V3,1,2）,Al（V3,-1,4）,

2乙

贏=（號,|,0）,啟=（孚，2）,

設(shè)平面小MV的?個法向量為藍(lán)=(%,y,z),

in-NM=^-x+=01

t片'，取x=V5,得m=(VL-1,-1),

{m?NA^=竽x-iy+2z=0

又平面M441的一個法向量為3=(1,0,0),

mn_>/3_/15

/.cos<m，

|m|-|n|正5

二二面角力-Mm-N的正弦值為平.

17.【2018年新課標(biāo)1理科18］如圖，四邊形Z8S為正方形，E,尸分別為8c的中點(diǎn)，以。尸為折

痕把△￡>“1折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且

(1)證明：平面尸EF_L平面48尸￡)；

(2)求QP與平面48萬所成角的正弦值.

【答案】(1)證明：由題意，點(diǎn)E、尸分別是4。、8c的中點(diǎn),

11

貝必E=.4D,BF=”(：,

由于四邊形/8C。為正方形，所以EFLBC.

由于PF1.BF,EFC\PF=F,貝I」8尸_1_平面PEF.

又因?yàn)?/七平面48/孫所以：平面尸EF_L平面/8FD

(2)在平面PEF中，過P作PHLEF于點(diǎn)H,連接。4,

由于丘尸為面ABCD和面PEF的交線，PHLEF,

則?面ABFD,故PHLDH.

在三棱錐尸-。￡尸中，可以利用等體積法求

因?yàn)镺E〃8尸且

所以P/7!.。。

乂因?yàn)椤鱌OF空△CDF,

所以/FPC=/FC￡)=90°,

所以PFJ_PD,

由于DEQPD=D,貝UPF_L平面PDE,

1

故UF-PDE=QPF?S“PDE，

因?yàn)锽F//DA且5尸，面PEF,

所以O(shè)4JL面尸￡凡

所以DELEP.

設(shè)正方形邊長為2〃，則PQ=2〃，DE—a

在△POE中，PE=V3a,

所以5^PDE=苧a?，

故VF-PDE-第加，

又因?yàn)?々a,2a=Q2,

所以所=①￡/￡=*a,

aL,

所以在△PHA中,sinNPDH=器=拳

V3

即ZPDH為￡＞尸與平面Z8FD所成角的正弦值為：—.

4

4c的中點(diǎn).

(1)證明：尸。_1平面/8C；

(2)若點(diǎn)M在棱8C上，且二面角%-C為30°,求PC與平面P4M所成角的正弦值.

【答案】(1)證明：連接80,

,:AB=BC=2&,。是4C的中點(diǎn)，

J.BOLAC,且80=2,

又PA=PC=PB=AC=4,

J.POLAC,PO=2y/3,

貝ijPB2=PO2+BO2,

則P0L0B,

,：OBQAC=O,

."O_L平面ABC；

(2)建立以。坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,OP分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖:

A(0,-2,0),P(0,0,2V3),C(0,2,0),B(2,0,0),

BC=(-2,2,0),

設(shè)嬴=入詬=(-2入，2入，0),O<A<1

則京=前一贏=(-2入，2人，0)-(-2,-2,0)=(2-2入，2入+2,0),

則平面以C的法向量為薪=(1,0,0),

設(shè)平面A/以的法向量為n=(x,y,z),

則易=(0,-2,-2V3),

貝房?易=-2夕-2怎=0,n-AM=(2-2入)x+(2A+2)y=0

令z=l,貝x=尸,

-(2+l)V3廣、

1B3rPln=(-------,—V3>1)>

???二面角為30°,

mnV3

/-cos30°

■+1).p

即?F~=%

J(-V3)^+l+3-l

解得入=q或入=3(舍)，

則平面A/必的法向量1=(2V3,-VI1),

PC=(0,2,-26),

-t-2V3-2V34。75

PC與平面總M所成角的正弦值sin6=|cos<PC,n>\=\r-\==V.

V16-V16104

19.【2018年新課標(biāo)3理科19］如圖，邊長為2的正方形488所在的平面與半圓弧而所在平面垂直，M

是加上異于C,。的點(diǎn).

(1)證明：平面/皿，平面8MC；

(2)當(dāng)三棱錐M-N8C體積最大時，求面與面MCZ)所成二面角的正弦值.

【答案】解：(1)證明：在半圓中，DMLMC,

:正方形N8CQ所在的平面與半圓弧前所在平面垂直,

，平面DCM,則AD±MC,

'：ADC\DM=D,

，A/C_L平面4DM,

?.?MCu平面MBC,

二平面平面BMC.

(2),?,△Z2C的面積為定值，

要使三棱錐M-48C體積最大，則三棱錐的高最大，

此時M為圓弧的中點(diǎn)，

建立以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示的空間直角坐標(biāo)系如圖

?正方形的邊長為2,

：.A(2,-1,0),B(2,1,0),M(0,0,1),

則平面A/CO的法向量益=(1,0,0),

設(shè)平面的法向量為ri=(x,y,z)

則n=(0,2,0),AM=(-2,1,1),

1TTT

由幾?48=2》=0,n?4M=-2x+y+z=0,

令x=l,

則y=0,z=2,即九=(1,0,2),

i/-、m-n11

則micos<mn>=--=---===-T=,

f|m||n|lxVl+4V5

則面MAB與面MCD所成二面角的正弦值sina=Jl-(-^)2=等.

20.【2017年新課標(biāo)1理科18］如圖，在四棱錐尸中，AB//CD,且NBAP=NCDP=90°.

(1)證明：平面為B_L平面BW；

(2)若PA=PD=AB=DC,//PD=90°,求二面角/-P8-C的余弦值.

【答案】(1)證明：':NBAP=NCDP=9G°,C.PAVAB,PD1CD,

".'AB//CD,J.ABLPD,

又：以。尸。=尸，且孫u平面以。，P〃u平面以。，

平面21D,又48u平面均8,

二平面以8_1_平面PAD；

(2)解：'JAB//CD,AB=CD,四邊形NBCD為平行四邊形，

由(1)知平面%。，則四邊形/8CO為矩形，

在△/!尸。中，由以=P。，ZAPD=90°,可得△為。為等腰直角三角形，

i§LPA=AB=2a,貝ij4)=2夜a.

取/。中點(diǎn)O,8c中點(diǎn)E,連接P。、OE,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以04、OE、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則：D(-V2a,0,0),B(V2a,2a,0),P(0,0,V2a),C(-&a,2a,0).

PD={-42a,0,-V2a),PB=(V2a,2a,-V2a),BC=(-2V2a,0,0).

設(shè)平面P8C的一個法向量為％=(x,y,z),

t

得n=1

(oV2)

平面以。，力。u平面以。，：.AB±PD,

又PDLP4,PAQAB=A,

，PD_L平面以8,則訪為平面以8的一個法向量，PD=(-V2a,0,-V2a).

：.cos<PD,%>=一卓

|PD||n|2axj33

由圖可知，二面角/-P8-C為鈍角,

二面角A-PB-C的余弦值為一堂.

21.【2017年新課標(biāo)2理科19］如圖，四棱錐尸-48CC中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面/BCD,

4B=BC=%D,ZBAD=ZABC=90°,E是尸。的中點(diǎn).

(1)證明：直線CE〃平面我8；

(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線與底面48CO所成角為45°,求二面角M。的余弦值.

【答案】(1)證明：取期的中點(diǎn)F,連接EF,BF,因?yàn)槠呤?。的中點(diǎn)，

所以EFII^D，AB=BC=^AD,ZBAD=ZABC=90°,.\BC//^AD,

尸是平行四邊形，可得CE〃BF,BFu平面必B,C&t平面刃8,

直線CE〃平面PAB；

(2)解：四棱錐P-48CD中，

側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=^AD,

ZBAD=ZABC=90°,￡是心的中點(diǎn).

取力￡)的中點(diǎn)O,M在底面43。上的射影N在。C上，設(shè)4。=2,則N8=8C=1,OP=V3,

...NPCO=60°,直線8A/與底面Z8CZ)所成角為45°,

Jo

可得：BN=MN,CN=,MN,BC=\,

可得：1+q8解=8解，BN=*,MN=咚,

作NQ1.AB于Q,連接MQ,ABLMN,

所以乙W0N就是二面角-D的平面角，MQ=Ji?+（日）2

1VTo

二面角M-AB-D的余弦值為：~f==——.

V105

22.【2017年新課標(biāo)3理科19］如圖，四面體/8CO中，Zv/BC是正三角形，△NCO是直角三角形，ZABD

=NCBD,AB=BD.

(1)證明：平面4CD_L平面N2C；

（2）過/C的平面交8。于點(diǎn)E,若平面/EC把四面體Z8CD分成體積相等的兩部分，求二面角。-NE-

C的余弦值.

【答案】（1）證明：如圖所示，取4c的中點(diǎn)O,連接8。，OD.

?.,△NBC是等邊三角形，C.OBLAC.

△48。與△C8。中，AB=BD=BC,/ABD=NCBD,

:.△ABDmACBD,：.AD=CD.

:是宜角三角形，

是斜邊，.?.N/￡)C=90°.

：.DO=^AC.

：.DO2+BO2=AB2=BD2.

：.ZBOD=90a.

J.OBLOD.

又。。n/C=O,.?.OB,平面4CD.

又O8u平面ABC,

二平面4CZ)_L平面/8C.

(2)解：設(shè)點(diǎn)。，8到平面/C￡的距離分別為紅，加.則粵=整

hfBE

???平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，

./△ACkMhDDE

具研,如無EBE

，點(diǎn)E是8。的中點(diǎn).

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨取48=2.

則O(0,0,0),A(1,0,0),C(-1,0,0),D(0,0,1),B(0,6,0),￡(0,闿，方).

AD=(-1,0,1),AE=(-1,亨，I),AC=(-2,0,0).

設(shè)平面ZOE的法向量為其=(x,y,z),貝*巾,竺=°,即同1八，取薪=(3,聒,3).

lm-XE=0(-x+Ty+2^=0

同理可得：平面/C￡的法向量為蔡=(0,1,-V3).