大題專項(xiàng)訓(xùn)練16：立體幾何（二面角）-2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

二輪大題專練16—立體幾何（二面角）1．如圖，在四棱柱中，底面是以，為底邊的等腰梯形，且，，．（1）證明：．（2）若，求二面角的正弦值．（1）證明：在中，，，，由余弦定理得，則，即，又，，故平面．而平面，．（2）解：取的中點(diǎn)，，．由（1）可知平面平面，故平面．由是等腰梯形，且，，得，則，．以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?，，的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，1，，，，0，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，有．又是平面的一個法向量．，二面角的正弦值為．2．如圖，已知三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又，所以是等邊三角形，所以，所以，所以，．又，得，又，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，在平面內(nèi)過點(diǎn)垂直于的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，0，，，0，，，，，，0，，所以，，0，，，，設(shè)，，為平面的法向量，由，令，得，，．而平面的一個法向量，1，，．設(shè)二面角的平面角為，則二面角的正弦值為．3．如圖，在四棱錐中，，平面平面，，在上，且．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)直線與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．解：（1）連接，．，，在上，且．，四邊形為菱形，平面平面，面，且，面．平面，平面平面；（2）易得四邊形，為菱形，、、均為正三角形．設(shè)，可得，由（1）得面，為直線與平面所成的角，．，．，過作直線，可得面平面．取中點(diǎn)，則，又，可得．平面與平面所成的銳二面角．在中，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．．4．在四棱錐中，底面四邊形是一個菱形，且，，平面．（1）若是線段上的任意一點(diǎn)，證明：平面平面．（2）當(dāng)平面與平面所成的銳二面角的余弦值為時，求的長．解：（1）證明：四邊形是一個菱形，，又平面，，又，則平面，在平面內(nèi)，平面平面；（2）設(shè)，交于點(diǎn)，分別以，所在直線為軸，軸，以平行于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，可取，同理可求平面的一個法向量為，，解得，．5．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為梯形，CD⊥AD，BC∥AD，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝CD＝2，BC＝3．（1）E為PD的中點(diǎn)，證明AE與平面PCD垂直；（2）點(diǎn)F在PC上，且，求二面角F﹣AE﹣P的正弦值．（1）證明：∵AP＝AD＝2，E為PD的中點(diǎn)∴△APD為等腰三角形，∴AE⊥PD，又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∵CD⊥AD，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，CD⊥AE，∵AE⊥PD，AE⊥CD，PD∩CD＝D，PD?平面PDC，AD?平面PDC，∴AE⊥平面PCD．（2）解：因?yàn)镻A⊥底面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，所以PA、AD、CD兩兩垂直，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AD為y軸，AP為z軸，過A做平面ABCD內(nèi)CD的平行線，交BC于點(diǎn)H，AH為x軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)镻A＝AD＝CD＝2，BC＝3，所以A（0，0，0），B（2，﹣1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且，所以E（0，1，1），．設(shè)平面AEF的一個法向量為，則，即，取b＝1，則a＝1，c＝﹣1，得．又平面AEP的一個法向量為，所以．所以二面角F﹣AE﹣P的正弦值為．6．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，四邊形BDD1B1是矩形．（1）求證：BD⊥A1C；（2）若，點(diǎn)E在棱BB1上，且B1B＝4B1E，求二面角E﹣A1C﹣C1的余弦值．證明：（1）連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O為AC的中點(diǎn)，∵四邊形BDD1B1是矩形，∴BD⊥DD1，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥DD1，∴BD⊥AA1，∵AA1，AC?平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵A1C?平面ACC1A1，∴BD⊥A1C．解：（2）∵AA1＝A1C，且O為AC的中點(diǎn)，∴A1O⊥AC，∵BD⊥平面ACC1A1，∴面ABCD⊥面ACC1A1，∵面ABCD∩面ACC1A1＝AC，∴A1O⊥面ABCD，∴A1O⊥OA，A1O⊥OB，∴OA，OB，OA1兩兩互相垂直，分別以O(shè)A，OB，OA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵AA1＝A1C＝2，BD＝2，AB＝，∴OB＝1，OA＝2，OA1＝2，∴A（2，0，0），B（0，1，0），A1（0，0，2），C（﹣2，0，0），B1（﹣2，1，2），∴＝（﹣2，0，﹣2），＝（2，0，﹣2），＝（﹣），設(shè)平面A1CE的一個法向量＝（x，y，z），則，取x＝1，得＝（1，1，﹣1），平面A1CC1的一個法向量為＝（0，1，0），平面A1CC1的一個法向量為＝（0，1，0），∴cos＜＞＝＝，∴二面角E﹣A1C﹣C1的余弦值為．7．在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，平面ADE⊥平面ABCD，EF∥AB，DE＝EF＝1，DC＝2，∠EAD＝30°．（1）求證：CD⊥平面ADE；（2）在線段BD上是否存在點(diǎn)G，使得平面EAD與平面FAG所成的銳二面角的大小為30°，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．證明：（1）∵平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，正方形ABCD中，CD⊥AD，∴CD⊥平面ADE．解：（2）由（1）知平面ABCD⊥平面AED．在平面DAE內(nèi)，過D作AD的垂線DH，則DH⊥平面ABCD，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DH所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A（2，0，0），F(xiàn)（），＝（2，2，0），＝（﹣），設(shè)，λ∈[0，1]，則＝（2λ﹣2，2λ，0），設(shè)平面FAG的一個法向量＝（x，y，z），則，令x＝﹣，得＝（﹣），平面EAD的一個法向量＝（0，1，0），由已如得cos30°＝＝＝，化簡可得：9λ2﹣6λ+1＝0，解得，∴＝．8.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AD＝CD＝PD＝2AB＝2．（Ⅰ）求證：AB⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．（Ⅰ）證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以PD⊥AB．（2分）因?yàn)锳B∥CD，AD⊥CD，所以AD⊥AB．（4分）因?yàn)镻D∩AD＝D，（5分）所以AB⊥平面PAD．（6分）（Ⅱ）解：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AD⊥CD，（7分）所以以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz．