變換實(shí)質(zhì)是一種離散拉氏變換

8－3 Z變換

變換實(shí)質(zhì)是一種離散拉氏變換，可以看作是拉氏變換的推廣與發(fā)展。

我們已經(jīng)很熟悉，對于一個(gè)線性連續(xù)系統(tǒng)，其運(yùn)動特性可用線性微分方程來描述，并且可應(yīng)用拉氏變換的方法來分析其動態(tài)及穩(wěn)態(tài)性能。相似地，一個(gè)線性采樣系統(tǒng)，其運(yùn)動特性可由線性差分方程來描述，相應(yīng)地，需要應(yīng)用離散拉氏變換法，即所謂z變換法來分析其動態(tài)及穩(wěn)態(tài)性能。

由式(8－2)或式(8－3)可知，一般連續(xù)函數(shù)的采樣函數(shù)為

將式(8－10)進(jìn)行拉氏變換，可得采樣函數(shù)的拉氏變換式，用表示

比較(8－10)與(8－11)式可知，采樣函數(shù)的拉氏變換式與采樣函數(shù)本身在形式上有明顯的對應(yīng)關(guān)系。求取采樣函數(shù)的拉氏變換式本身并無特殊困難，但是需要指出的是采樣函數(shù)的拉氏變換式中包含有項(xiàng)，這是復(fù)變量的超越函數(shù)。這對采樣系統(tǒng)的分析研究，將帶來很大的不便，為了克服這一困難，簡化對采樣系統(tǒng)的計(jì)算，引入變換概念。

一、z變換的定義

如果引入新的復(fù)變量z，使或，代入式(8－11)，則將變成新變量的函數(shù)，通常用來表示，即

我們稱為的z變換，記作，即

這里應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出，只有采樣函數(shù)才能定義變換。如果我們說對連續(xù)函數(shù)作變換時(shí)，這就是指對它的采樣函數(shù)作變換。進(jìn)一步說，若連續(xù)函數(shù)的拉氏變換為，

因?yàn)榕c是唯一對應(yīng)的，因此如果說對象函數(shù)作變換，也就是指對其原函數(shù)的采樣函數(shù)作z變換。為了書寫方便，通常把的變換記作

(8－12a)

因此，式(8－12a)和式(8－12)是同一個(gè)意思。

可見，若僅從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來說，變換只不過是離散拉氏變換引入新變量后的一種變量代換而已。但是，通過這一代換，可將的超越函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)變?yōu)榈膬缂墧?shù)或有理分式表達(dá)式。后面將會看到，這將給采樣系統(tǒng)的分析研究帶來很大的方便。

【例8－1】設(shè)，試求的z變換。

解 由于的采樣函數(shù)為

于是的拉氏變換式為

因此

(8－13)

【例8－2】設(shè)，采樣周期為，試求。

解 由于單位階躍函數(shù)的采樣函數(shù)為

其拉氏變換式為

因此

式中，若時(shí)，則上式便可縮寫成如下的閉合形式，即

(8－14)

條件可以換成對復(fù)變量s的限制，因?yàn)?/p>

(8－15)

式中，所以由上式可見，條件與等值，即

（8－16)

式(8－16)所示為單位階躍函數(shù)能進(jìn)行拉氏變換的條件，從數(shù)學(xué)上講，變換只是改換了變量的拉氏變換，因此，不會對單位階躍函數(shù)能進(jìn)行變換的條件增加新的要求。

【例8－3】試求衰減的指數(shù)函數(shù)的變換。

解 將衰減指數(shù)函數(shù)在各采樣時(shí)刻上的采樣值1，,,,…代入式(8－12)中，得

(8－17)

上式中若條件

成立，則式(8－17)可寫成下列閉式，即

(8－18)

這里需要特別指出的是，相同的變換式對應(yīng)于相同的采樣函數(shù)，但并不一定對應(yīng)于相同的連續(xù)函數(shù)，這一點(diǎn)可用圖8－17所示。由圖可見，由于采樣函數(shù)，，完全相同，即==，其變換式、、必然也完全相同，即==。但十分明顯，連續(xù)函數(shù)、、并不完全相同。實(shí)際上，如果將的z反變換記作

則它只能給出采樣信號，而不能提供連續(xù)信號。

綜上分析可見，通過級數(shù)求和法求取已知函數(shù)變換的缺點(diǎn)在于：需要將無窮級數(shù)寫成閉式。這在某些情況下要求很高的技巧。但函數(shù)z變換的無窮級數(shù)形式(8－12a)卻具有鮮明的物理含義，這又是變換無窮級數(shù)表達(dá)形式的優(yōu)點(diǎn)。對照式(8－12)與式(8－10)可見，變量的系數(shù)代表連續(xù)函數(shù)在各采樣時(shí)刻上的采樣值，而其冪指數(shù)，1，則表示從時(shí)間起點(diǎn)算起，以采樣周期的個(gè)數(shù)來衡量采樣時(shí)刻，故實(shí)際上可看作時(shí)序變量。因此，變換本身便包含著時(shí)間概念，可由函數(shù)變換的無窮級數(shù)形式清楚地看出原連續(xù)函數(shù)采樣脈沖序列的分布情況。

與拉氏反變換相類似，求取反變換的工作要比求取變換困難得多。通常采用的方法為冪級數(shù)法(長除法)、部分分式展開法(與拉氏反變換相類似)及留數(shù)法等。這里不作專門介紹。

二、z變換的重要定理

類似于拉氏變換，變換也有幾條常用定理，靈活應(yīng)用這些定理，將可以大大簡化有關(guān)運(yùn)算。

1線性定理設(shè)、為任意常數(shù)，和的變換分別為和，則有

線性定理說明變換具有線性性質(zhì)。

證明：根據(jù)變換定義有

2實(shí)位移定理

(1)負(fù)位移定理(遲后定理)

設(shè)的變換為，則有

(8－19)

式(8－19)便是變換的遲后定理，它說明當(dāng)原函數(shù)在時(shí)間上產(chǎn)生個(gè)采樣周期的遲后時(shí)，其相對應(yīng)的變換需要乘以。

證明：根據(jù)變換定義

式中為正整數(shù)，令，上式即為

因?yàn)闀r(shí)，，則上式成為

式(8－19)。得證。

(2)正位移定理(超前定理)

設(shè)的變換為，則有

(8－20)

式中為正整數(shù)。

證明：

式(8－20)得證。

3復(fù)位移定理

設(shè)的變換為，則有

(8－21)

證明：根據(jù)變換定義

令，則上式變?yōu)?/p>

所以

4初值定理

設(shè)的變換為，且極限存在，則

(8－22)

證明：因?yàn)?/p>

所以

5終值定理

設(shè)的變換為，且為有限值，0,1,2,3,…，則

(8－23)

證明：因?yàn)椴蓸雍瘮?shù)

如果先取到項(xiàng)，如圖8－18()所示，則

相應(yīng)的變換