西安電子科技大學(xué)電磁場大作業(yè)

.../電磁場與電磁波大作業(yè)學(xué)院：電子工程學(xué)院班級：021231 指導(dǎo)老師：侯建強(qiáng) 組長：組員：基于MATLAB的電磁場數(shù)值分析摘要使用計算機(jī)進(jìn)行電磁場數(shù)值分析已成為電磁場的工程開發(fā)、科研和教學(xué)的重要手段。本文介紹了電磁場數(shù)值分析的基本理論,并且基于MATLABPDE工具箱實現(xiàn)了的靜態(tài)場的邊值型問題的求解。實驗結(jié)果表明,MATLAB使電磁場問題的求解迅速、簡單、方便。關(guān)鍵詞：MATLAB數(shù)值分析法邊值型問題ElectromagneticFieldNumericalAnalysisBasedonMATLABAbstract:Usingcomputerstoanalyzeelectromagneticfieldhasbeenanimportantmethodofthedevelopmentofprojects,researchandteaching.Theessayintroducessomebasictheoriesofelectromagneticfieldnumericalanalysis.AndbasingonMATLABPDEtool,theelectromagneticfieldboundaryvalueproblemhasbeensolved.Furthermore,theresultsshowthatitiseasier,morepromptandmoreconvenienttofigureitoutwiththesoftware,MATALAB.Keywords:MATLAB,ElectromagneticFieldNumericalAnalysis,boundaryvalueproblem目錄0引言21數(shù)值分析法基本原理21.1泊松方程和拉普拉斯方程21.2邊值問題的分類31.3直角坐標(biāo)系中的分離變量法32例題分析53MATLAB實現(xiàn)64結(jié)論75結(jié)束語86參考文獻(xiàn)80引言MATLAB是一種用于數(shù)值計算、可視化及編程的高級語言和交互式環(huán)境。使用MATLAB,可以分析數(shù)據(jù),開發(fā)算法,創(chuàng)建模型和應(yīng)用程序。借助其語言、工具和內(nèi)置數(shù)學(xué)函數(shù),您可以探求多種方法,比電子表格或傳統(tǒng)編程語言〔如C/C++或Java?更快地求取結(jié)果。MATLAB應(yīng)用廣泛,其中包括信號處理和通信、圖像和視頻處理、控制系統(tǒng)、測試和測量、計算金融學(xué)及計算生物學(xué)等眾多應(yīng)用領(lǐng)域。在各行業(yè)和學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)中,有一百多萬工程師和科學(xué)家使用MATLAB這一技術(shù)計算語言。MATLAB偏微分方程工具箱<PDEtoolbox>可以實現(xiàn)對二維問題高速、準(zhǔn)確的求解過程,通過使用用戶界面或者M(jìn)文件,畫出所需要的任何區(qū)域,輸入方程類型和有關(guān)系數(shù),可以顯示解的圖形和數(shù)值解。1數(shù)值分析法基本原理當(dāng)電荷或者電流分布已知時,可以通過積分來計算電場或磁場。但實際上我們通常要處理兩種類型的靜電場問題。一種是已知場源〔電荷、電流分布直接計算空間個點的場強(qiáng)或位函數(shù),這類問題叫做分布型問題。另一種是已知空間某給定區(qū)域內(nèi)的長遠(yuǎn)分布和該區(qū)域邊界上的位函數(shù)〔或其法向?qū)?shù),求區(qū)域內(nèi)位函數(shù)的分布,這類問題叫作邊值型問題。求解這些邊值型問題空間電場、磁場的分布可以化為求解給定邊界條件下的位函數(shù)的拉普拉斯方程或泊松方程,即求解邊值問題。1.1泊松方程和拉普拉斯方程拉普拉斯方程是一個二階偏微分方程,可以用解析法、數(shù)值分析法、實驗?zāi)M和圖解法等求解。電場的位函數(shù)是一個標(biāo)量函數(shù),簡稱為電位,電位的定義由下式確定〔式1.1.1電位的單位是伏〔V,因此電場強(qiáng)度的單位是伏/米〔V/m。將式1.1.1帶入高斯定理的微分形式,得〔式1.1.2〔式1.1.2稱為泊松方程,若討論的區(qū)域,則電位微分方程為〔式1.1.3二階微分方程〔式1.1.3稱為拉普拉斯方程。其中在直角坐標(biāo)中為〔式1.1.41.2邊值問題的分類靜電場的計算通常是求場內(nèi)任一點的電位,一旦電位確定,電場強(qiáng)度和其他的物理量都可由電位求得。在無界空間,如果已知分布電荷的體密度,可以通過積分公式計算任意點的電位。但計算有限區(qū)域的電位時,必須使用所討論區(qū)域邊界上電位的指定值〔稱為邊值來確定積分常數(shù)；此外,當(dāng)場域中有不同介質(zhì)時,還要用到電位在邊界上的邊界條件。這些用來決定常數(shù)的條件,常統(tǒng)稱為邊界條件。我們把通過微分方程及相關(guān)邊界條件描述的問題,稱為邊值問題。實際上,邊界條件〔即邊值除了給定電位在邊界上的值以為,也可以是電位在邊界上的方向?qū)?shù)。根據(jù)不同形式的邊界條件,邊值問題通常分為三類；第一類邊值問題〔Dirichlet問題：給定整個邊界上的位函數(shù)值,即；第二類邊值問題〔Neumann問題：給定整個邊界上每一點位函數(shù)的法向函數(shù),即；第三類邊值問題〔混合問題：給定一部分邊界上每一點的電位,同時給定另一部分邊界上每一點的電位法向函數(shù),即,。1.3直角坐標(biāo)系中的分離變量法分離變量法是數(shù)學(xué)物理方法中應(yīng)用最廣的一種方法,它要求所給的邊界面與一個適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系的坐標(biāo)面相重合,或分段重合；其次在此坐標(biāo)系中,待求偏微分方程的解可表示成三個函數(shù)的乘積,每一函數(shù)僅是一個坐標(biāo)的函數(shù)。這樣通過分離變量法就可以把偏微分方程化為常微分方程求解。在直角坐標(biāo)系中,拉普拉斯方程為〔式1.3.1設(shè)可以表示為三個函數(shù)的乘積,即〔式1.3.2其中,X只是x的函數(shù),同時Y只是y的函數(shù),Z只是z的函數(shù)。將〔式1.3.2帶入〔式1.3.1,得〔式1.3.3然后〔式1.3.3各項除以XYZ,得〔式1.3.4以上方程的第一項只是x的函數(shù),第二項只是y的函數(shù),第三項只是z的函數(shù),要這一方程對任一組〔x,y,z成立,這三項必須分別為常數(shù),即〔式1.3.5a〔式1.3.5b〔式1.3.5c這樣,就將偏微分方程化為三個常微分方程,是分離常量,都是待定常數(shù),與邊界條件有關(guān)。它們可以是實數(shù),也可以是虛數(shù),且由〔式1.3.4應(yīng)有〔式1.3.6以上三個常微分方程〔式1.3.5a、〔式1.3.5b和〔式1.3.5c解的形式,與邊界條件有關(guān)〔即與常數(shù)有關(guān),以〔式1.3.5a為例說明X的形式與的關(guān)系。當(dāng)時,則當(dāng)時,另為正實數(shù),則或當(dāng)時,另,則或以上的a,b,c,d稱為積分常數(shù),也由邊界條件決定。Y<y>和Z〔z的解和X〔x類似。在用分離變量法求解靜態(tài)場的邊值問題時,常需要根據(jù)邊界條件來確定分離常數(shù)是實數(shù)、虛數(shù)或是零。若在某一個方向〔如x方向的邊界條件是周期的,則該坐標(biāo)的分離常數(shù)必是實數(shù),其解要選三角函數(shù)；若在某一個方向的邊界條件是非周期的,則該方向的解要選雙曲函數(shù)或者指數(shù)函數(shù),在有限區(qū)域選雙曲函數(shù),無限區(qū)域選取指數(shù)衰減函數(shù)；若位函數(shù)與某一坐標(biāo)無關(guān),則沿該方向的分離常數(shù)為零,其解為常數(shù)。2例題分析設(shè)一橫截面為矩形的無限長區(qū)域的電位邊值如下圖2.1所示,求空間的電位分布。yb00ax圖2.1矩形截面導(dǎo)體槽解：本題的電位與z無關(guān),只是x,y的函數(shù),即。在區(qū)域0<x<a,0<y<b內(nèi),邊界條件為①②③④設(shè)方程的解為由邊界條件可得,Y〔y的表達(dá)式為X〔x的表達(dá)式為區(qū)域內(nèi)部任意一點的電位表達(dá)式為以上的電位滿足拉普拉斯方程及條件①③④,待定系數(shù)由條件②決定。使用三角函數(shù)的正交歸一性,即用條件②可以得出3MATLAB實現(xiàn)在上題中,令V〔y=2y,設(shè)定邊界,x坐標(biāo)范圍為[0,16],y坐標(biāo)范圍為[0,11]。利用PDETOOL,畫出圖像。圖3.1二維圖像圖3.2三維圖像4結(jié)論靜態(tài)場求解問題,也稱為邊值型問題,滿足給定邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。數(shù)值分析法的重要的方法為有限差分法和有限單元法,將求場域的空間離散化,把拉普拉斯方程化為各節(jié)點上的有限差分方程,并使用迭代法或者超松弛法求解方程,從而求解各節(jié)點上的位函數(shù)值。精讀越高,求解出的各節(jié)點的位函數(shù)值越精確。5結(jié)束語如今,計算機(jī)已經(jīng)變成了計算各種數(shù)據(jù)的一種重要手段,而熟練掌握各種