正弦交流電表示法

1/1正弦交流電表示法正弦交流電的表示法

2.1.2正弦量的相量表示法

如前所述，一個(gè)正弦量由幅值、角頻率和初相位三個(gè)要素確定，而正弦量的這些特征，可以用正弦波和三角函數(shù)表示出來(lái)。除此之外，還可以用相量表示，復(fù)數(shù)是相量的基礎(chǔ)。

（1）復(fù)數(shù)

如圖2-6所示，一復(fù)數(shù)A，a1為其實(shí)部，a2為其虛部，a為其長(zhǎng)度，則復(fù)數(shù)A可用四種形式來(lái)表示：

圖2-6復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)A

①代數(shù)式

A=a1+ja2（2-8）

為虛單位。

②三角函數(shù)式令復(fù)數(shù)A的模|A|=a，φ角是復(fù)數(shù)A的輻角，有

A=｜A｜（cosφ+jsinφ）=a（cosφ+jsinφ）（2-9）

式中，，，

③指數(shù)式根據(jù)歐拉公式ejφ=cosφ+jsinφ

A=aejφ（2-10）

④極坐標(biāo)式

極坐標(biāo)式是復(fù)數(shù)指數(shù)式的簡(jiǎn)寫(xiě)，這四種復(fù)數(shù)的表示形式，可以相互轉(zhuǎn)換。

復(fù)數(shù)的指數(shù)形式（或極坐標(biāo)形式）與復(fù)數(shù)的三角函數(shù)式之間可以通過(guò)歐拉公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，指數(shù)形式（或極坐標(biāo)形式）要變換成代數(shù)式可以通過(guò)歐拉公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換；代數(shù)式變換成指數(shù)形式（或極坐標(biāo)形式）可以通過(guò)式（2-9）進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

（2）正弦量的相量表示

用復(fù)數(shù)來(lái)表示正弦量的方法稱(chēng)為正弦量的相量表示法，即用復(fù)數(shù)的模來(lái)表示正弦量的幅值（最大值或有效值），用復(fù)數(shù)的輻角來(lái)表示正弦量的初相位。只有同頻率的正弦量用相量進(jìn)行分析計(jì)算才有意義，它使得正弦交流電路的分析和計(jì)算變得更為簡(jiǎn)單。

在線性正弦交流電路中，各部分的電流和電壓都是同頻率的正弦量。因?yàn)轭l率不變，所以可以用相量來(lái)表示正弦量。

正弦量的相量形式是用大寫(xiě)字母上面加小圓點(diǎn)表示。例如，“”“”“”等。

同理，可自行寫(xiě)出和相量。

相量、、稱(chēng)為有效值相量，、、稱(chēng)為最大值相量或幅值相量。

相量在復(fù)平面上的幾何圖形叫做相量圖，如圖2-7所示。

圖2-7正弦量的相量圖

同頻率的正弦量，由于它們之間相位的相對(duì)位置不變，即相位差不變，因此可以將它們的相量畫(huà)在同一個(gè)坐標(biāo)上。不同頻率的正弦量，用相量表示時(shí)，不能畫(huà)在同一相量圖上。

（3）相量運(yùn)算

相量的運(yùn)算規(guī)則符合復(fù)數(shù)運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律和分配律等。

①加、減運(yùn)算加、減運(yùn)算用復(fù)數(shù)的代數(shù)式進(jìn)行。運(yùn)算時(shí)，只需把實(shí)部與實(shí)部相加、減，虛部與虛部相加、減即可。

例如，A1=a1+jb1，A2=a2+jb2，則

A1±A2=（a1+jb1）±（a2+jb2）=（a1±a2）+j（b1±b2）（2-13）

如果復(fù)數(shù)是其他形式，應(yīng)先把其轉(zhuǎn)換成代數(shù)式，再進(jìn)行加、減運(yùn)算。

②乘、除運(yùn)算乘、除運(yùn)算用復(fù)數(shù)的指數(shù)形式（或極坐標(biāo)形式）進(jìn)行較為方便。兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘積（商）的模等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)的模的乘積（商）；兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘積（商）的幅角等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)的輻角的和（差）。

【例2-4】已知頻率均為50Hz的電壓相量：①；②

；。試寫(xiě)出它們所代表的正弦電壓瞬時(shí)值表達(dá)式。

解：角頻率為ω=2πf=2π×50=314rad/s。各正弦電壓的瞬時(shí)值表達(dá)式為

③U3=10Vφ3=-90°

【例2-5】已知：i1=70.7sin（314t-30°）A，i2=60sin（314t+60°）A。試求：i1+i2=i。

解：首先用相量表示i1、i2

再通過(guò)寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的正弦量

學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：

1.如何把代數(shù)形式變換成極坐標(biāo)形式？

2.極坐標(biāo)形式又如何化為代數(shù)形式？

3.相量等于正弦量的說(shuō)法對(duì)嗎？

4.正弦量的解析式和相量式之間能用等號(hào)嗎？

5.寫(xiě)出下列正弦電壓對(duì)應(yīng)的有效值相量。

①