江蘇省高三高考數學考前最后卷（一）

/27/27/2020屆江蘇省高三高考數學考前最后押題卷（一）一、填空題1．已知集合，，則集合=________．【答案】{1}【解析】先化簡集合B，然后利用集合的交集運算求解.【詳解】因為集合，，所以＝{1}．故答案為：{1}【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及一元二次不等式的解法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.2．已知復數滿足(i為虛數單位)，則______．【答案】5【解析】根據復數的代數形式的四則運算法則可求出，再根據復數的模的計算公式即可求出．【詳解】因為，所以，即．故答案為：5．【點睛】本題主要考查復數的代數形式的四則運算法則和復數的模的計算公式的應用，屬于容易題．3．某工生產、、三種不同型號的產品，產量之比為．現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取1個容量為的樣本，若樣本中種型號的產品有8件，則樣本容量的值為______．【答案】48【解析】直接根據分層抽樣的定義求解即可．【詳解】解：設出樣本容量為，由題意知產品的數量之比依次為，，，故答案為：48．【點睛】本題主要考查分層抽樣的定義的應用，屬于基礎題．4．如圖是某算法的偽代碼，輸出的結果的值為_______.【答案】18【解析】模擬程序運行，觀察變量值的變化，判斷循環(huán)條件可得結論．【詳解】程序運行時變量值為：，滿足，開始循環(huán)，；滿足，；滿足，；滿足，；不滿足，輸出．故答案為：18．【點睛】本題考查偽代碼，考查循環(huán)結構，解題時可模擬程序運行，觀察變量值的變化，判斷循環(huán)條件，從而得出結論．5．由于新冠肺炎疫情，江蘇緊急抽調甲?乙?丙?丁四名醫(yī)生支援武漢和黃岡兩市，每市分配2名醫(yī)生，則甲?乙兩人恰好分配在同一個城市的概率為_______.【答案】【解析】求出每市分配兩名醫(yī)生的方法數，再求出甲?乙兩人恰好分配在同一個城市的方法數后可得概率．【詳解】四名醫(yī)生平均分配到兩市的方法為，甲?乙兩人恰好分配在同一個城市的方法數是2，所求概率為．故答案為：．【點睛】本題考查古典概型，解題關鍵是求出基本事件的個數．平均分組時要注意組間有無區(qū)別．6．已知雙曲線的兩條漸近線與直線圍成正三角形，則雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】求出雙曲線的漸近線方程，利用兩條漸近線與直線圍成正三角形，求出漸近線的傾斜角，然后求解離心率即可．【詳解】解：雙曲線的兩條漸近線與直線圍成正三角形，所以雙曲線的漸近線的傾斜角為和，所以，所以，所以雙曲線的離心率為：.故答案為：．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，涉及雙曲線漸近線方程和離心率，是基本知識的考查．7．若函數的部分圖象如圖所示，則的值為_______________．【答案】.【解析】由所給函數圖像過點,，列式，利用誘導公式可得.【詳解】由函數圖像過點,,得，，所以，又兩點在同一周期，所以，.故答案為4.【點睛】本題考查三角函數的圖像與性質，考查簡單三角方程的解，考查圖形識別與運算求解能力，屬于基礎題.8．已知等差數列的前n項和為．若與的等差中項為8，則______．【答案】2【解析】由為等差數列，且，可得，又根據等差中項，可得，即可求出的值，代入公式，即可求解.【詳解】因為，由等差數列的性質可得，又與的等差中項為8，所以，即，所以，即，所以，故答案為：2．【點睛】本題考查了等差數列的性質，重點考查了等差數列的前n項和公式的應用，考查分析理解，計算化簡的能力，屬基礎題．9．如圖，某種螺帽是由一個半徑為2的半球體挖去一個正三棱錐構成的幾何體，該正三棱錐的底面三角形內接于半球底面大圓，頂點在半球面上，則被挖去的正三棱錐體積為_______．【答案】【解析】設BC的中點為D，連結AD，過點P作PO平面ABC，角AD于點O，則A0=PO=R=2，AD=3，AB=BC=，由此能求出挖去的正三棱錐的體積，得到答案.【詳解】由題意，某中螺帽是由一個半徑為R=2的半球體挖去一個正三棱錐P-ABC構成的幾何體，該正三棱錐P-ABC的底面三角形ABC內接于半球底面的大圓，頂點P在半球面上，設BC的中點為D，連結AD，過點P作PO平面ABC，交AD于點O，則AO=PO=R=2，AD=3，AB=BC=，所以，所以挖去的正三棱錐的體積為.【點睛】本題主要考查了組合體的結構特征，以及三棱錐的體積的計算，以及空間中線線、線面、面面位置關系等基礎題知識，其中解答中根據組合體的結構特征，求得正三棱錐的底面邊長和三棱錐的高，利用體積公式求解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.10．若，則______．【答案】【解析】，可得，利用和差公式、同角三角函數基本關系式及其倍角公式即可得出．【詳解】，，，化為：，，，解得．，故答案為【點睛】本題考查了余弦和正切和差公式、同角三角函數基本關系式及其倍角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．11．邊長為2的三個全等的等邊三角形擺放成如圖形狀，其中B，D分別為AC，CE的中點，N為GD與CF的交點，則______．【答案】【解析】根據等邊三角形的性質、平面向量的線性運算，用分別表示出，再求．【詳解】由已知得，，所以．因為等邊三角形的邊長為2，所以．故答案為：【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質、平面向量的線性運算，數量積的運算，考查學生的運算求解能力.12．在平面直角坐標系xOy中，已知A，B為圓C：（x＋4）2＋（y－a）2＝16上的兩個動點，且AB＝，若直線l：y＝2x上存在唯一的一個點P，使得，則實數a的值為________．【答案】2或－18【解析】由“圓C的弦AB長度為定值AB＝”知，弦AB的中點M的軌跡是以點C為圓心的圓，由“”得，可求得動點P的軌跡也在圓上，此時直線l上存在唯一的一個點P符合要求，故直線l和動點P的軌跡（圓）相切．【詳解】設AB的中點為M（x0，y0），P（x，y），則由AB＝得，CM＝，即點M的軌跡為（x0＋4）2＋（y0－a）2＝5.又因為，所以，即（x0－x，y0－y）＝，從而，則動點P的軌跡方程為，又因為直線l上存在唯一的一個點P，所以直線l和動點P的軌跡（圓）相切，則，解得，a＝2或a＝－18.故答案為：2或－18【點睛】此題考查直線與圓的位置關系，結合弦長分析點M的軌跡，轉化成直線與圓相切，充分體現(xiàn)了轉化與化歸思想.13．已知函數f(x)＝x3－ax＋1，g(x)＝3x－2，若函數F(x)＝有三個零點，則實數a的取值范圍是__________．【答案】【解析】當a≤0時，函數f(x)在R上單調遞增，F(xiàn)(x)至多兩個零點，不滿足題意．當a＞0時，根據圖像可知：當f()0時，所以F(x)至多兩個零點；當f()＜0，即時，列式f()＜0或者，可解得結果.【詳解】易得f'(x)＝3x2－a．當a≤0時，，函數f(x)在R上單調遞增，F(xiàn)(x)至多兩個零點，不滿足題意．當a＞0時，令f'(x)＝3x2－a＝0，解得x＝±，由，得或，由，得，所以函數f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上單調遞增，在(－，)上單調遞減，在同一坐標系中，分別作出函數f(x)，g(x)的圖像，根據圖像可知：當f()0時，所以F(x)至多兩個零點；當f()＜0，即，又，所以，即，所以時，要使得F(x)有三個不同的零點，則f()＜0或者，即或，即或，解得a＞．又且，所以.故答案為：.或【點睛】本題考查了數形結合思想，考查了利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數研究函數的零點，屬于中檔題.14．在中，若，則的最大值為_____.【答案】【解析】根據同角三角函數中的商數關系式，結合正弦和角公式化簡，并由正弦定理將角化為邊，代入余弦定理即可表示出，再由基本不等式即可求得的取值范圍，進而結合同角三角函數關系式求得的取值范圍，即可求得的最大值.【詳解】在中，，則，通分化簡可得，由正弦和角公式可得，所以，由正弦定理代入可得，即，又由余弦定理，代入可得，所以，當且僅當時取等號，則，所以，即，所以，則的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查了同角三角函數關系式的綜合應用，正弦和角公式化簡三角函數關系式，正弦定理與余弦定理在解三角形中的應用，基本不等式求最值，綜合性強，屬于難題.二、解答題15．如圖，在中，已知sin2A－sinA·sinC＝sin2(A＋C)－sin2C.（1）求的值；（2）若D是BC邊上一點，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的長．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理的邊角互化以及余弦定理求出B＝，再利用兩角和的余弦公式即可求解.（2）在中，利用余弦定理求出，在中，利用正弦定理即可求解.【詳解】(1)因為A＋B＋C＝π，sin2A－sinA·sinC＝sin2(A＋C)－sin2C，所以由正弦定理可知BC2－BC·AB＝AC2－AB2，BC2＋AB2－AC2＝BC·AB，cosB＝＝.因為在中，B∈(0，π)，所以B＝.所以cos(B＋)＝cosBcos－sinBsin＝.(2)由余弦定理可知，在中，，因為C∈(0，π)，所以sinC＞0，sinC＝＝＝.由正弦定理可知，在中，＝，所以＝，所以AB＝.【點睛】本題考查了正弦定理的邊角互化、余弦定理解三角形，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.16．如圖，在三棱錐P－ABC中，PC?平面ABC，AC?BC，AC＝PC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點．求證：（1）AC//平面BEF；（2）PA?平面BCE．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）先證明∥，再結合平面，平面，最后證明∥平面；（2）先證明，結合和證明平面，從而證明，再證明，最后結合，證明平面.【詳解】（1）在△中，分別是的中點，所以∥.又因為平面，平面，所以∥平面.（2）因為平面，平面，所以.又因為，，平面，平面，所以平面.因為平面，所以.在△中，因為，為的中點，所以.又因為，，平面，平面，所以平面．【點睛】本題考查利用線線平行證明線面平行、利用線線垂直證明線面垂直，是中檔題.17．如圖，在市中心有一矩形空地．市政府欲將它改造成綠化景觀帶，具體方案如下：在邊上分別取點M，N，在三角形內建造假山，在以為直徑的半圓內建造噴泉，其余區(qū)域栽種各種觀賞類植物．（1）若假山區(qū)域面積為，求噴泉區(qū)域面積的最小值；（2）若，求假山區(qū)域面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設，半圓的直徑，根據假山區(qū)域面積為，找到與的關系，再表示出噴泉區(qū)域面積，求最值，注意驗證半圓是否在矩形空地內，即驗證是否能取到最小值；（2）由（1）根據以為直徑的半圓區(qū)域在矩形廣場內，求得的范圍，再將假山區(qū)域面積用表示出來，再求最值.【詳解】解：（1）設，半圓的直徑，半圓的圓心為O．在直角三角形中，，所以．因為假山區(qū)域面積為，所以所以，所以噴泉區(qū)域面積，當且僅當，即時取等號．此時．因為點O到的距離，點O到的距離，所以，即，，即．所以以為直徑的半圓區(qū)域一定在矩形廣場內．所以當時，取得最小值．噴泉區(qū)域面積的最小值為．（2）由（1）知，若，則．所以點O到的距離，點O到的距離，因為以為直徑的半圓區(qū)域在矩形廣場內，所以即所以．又因為，所以．所以假山區(qū)域面積，因為，所以，所以當時，假山區(qū)域面積的最大值為．【點睛】本題是三角函數在幾何中的應用題，結合考查了直線與圓的位置關系，二倍角公式，還考查了學生的分析理解能力，運算能力，屬于中檔題.18．如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓，其右焦點F到其右準線的距離為1，離心率為，A，B分別為橢圓的上、下頂點，過點F且不與x軸重合的直線l與橢圓交于C，D兩點，與y軸交于點P，直線與交于點Q.（1）求橢圓的標準方程；（2）當時，求直線的方程；（3）求證：為定值.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】（1）根據題意列出等式：，，聯(lián)立即得解；（2）設直線l的方程為，與橢圓聯(lián)立，利用弦長公式表示，代入求解即可；（3）設，，表示方程，聯(lián)立得到的坐標，利用韋達定理化簡，利用坐標表示，可得證.【詳解】（1）解：由題意可知，所以，，所以，所以橢圓的標準方程為（2）解：因為直線l不與x軸重合，所以斜率不為0.因為l過點，所以設直線l的方程為.由，得.設，，則，，則因為，所以，得，所以，所以直線l的方程為（3）證明：在中令得，所以.而直線的方程為，直線的方程為.由此得到.不妨設，則①，②，所以③.將①②③代入式，得，所以為定值【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了弦長公式和定值問題，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算能力，屬于較難題19．設，，，其中e為自然對數的底數（）.（1）當時，求在處的切線方程；（2）設，求的單調區(qū)間；（3）當時，恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）.【解析】（1）當時，先求函數的導數，利用導數的幾何意義求切線方程；（2）先求函數的導數，然后分和討論求函數的單調性；（3）首先求函數的導數，討論當，由函數的單調性判斷函數的最大值說明恒成立，當時，令，則，分，兩種情況討論函數的單調性，并判斷函數的最值，說明的取值范圍.【詳解】解：（1）當時，，，，，所以在處的切線方程為，即.（2）.①當時，，所以當時，；當時，；②當時，令得，.ⅰ.若，即時，則恒成立，所以單調增區(qū)間為.ⅱ.若，即時，即或；即，所以單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為.ⅲ.若，即時，即或，即，所以單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為.（3）.①若時，則在時恒成立，所以在上單調遞減，所以當時，，所以時，恒成立.②若時，令，則，ⅰ.當時，即時，，所以單調遞減，所以，即，所以單調遞減，所以當時，恒成立.ⅱ.當時，令，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.因為在上單調遞增且，所以，所以在上，所以，所以單調遞增，所以當時，，不滿足條件.所以a的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數求函數的切線方程，判斷函數的單調性，以及根據不等式恒成立求參數的取值范圍，重點考查分類討論的思想，邏輯推理能力，屬于難題.20．已知數列{an}的前n項和為Sn，bn=(n?N).若{bn}是公差不為0的等差數列，且b2b7=b11．（1）求數列{bn}的通項公式；（2）證明：數列{an}是等差數列；（3）記cn=，若存在k1，k2?N(k1?k2)，使得成立，求實數a1的取值范圍．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．【解析】(1）直接利用遞推關系式的應用求出數列的通項公式.(2）利用遞推關系式的應用和等差數列的定義的應用求出數列為等差數列.(3）利用分類討論思想的應用和存在性問題的應用及假設法的應用求出實數a的取值范圍.【詳解】（1）設等差數列的公差為，因為，所以．由得，，即，因為，所以，從而.（2）由（1）知，，，即有，①所以，②②-①得，，整理得．兩邊除以得，（），所以數列是常數列．所以，即，所以，所以數列是等差數列．（3）因為，所以，所以．因為，當時，．顯然，①若，則，恒成立，所以，即，，所以單調遞減，所以不存在；②若，則，恒成立，所以，即，，所以單調遞減，所以不存在；③若，則，所以當n=1，成立，所以存在．④若，則．當，且時，，單調遞增；當，且時，，單調遞減，不妨取，則．綜上，若存在，使得成立，則的取值范圍是．【點睛】本題考查的知識要點:數列的通項公式的求法及應用，數列的遞推關系式的應用，分類討論思想的應用，函數的單調性的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于中檔題型.21．已知矩陣A＝，點P(3，－1)在矩陣A對應的變換作用下得到點P′(3，5)．（1）求a和b的值；（2）求矩陣A的特征值．【答案】（1）a＝3，b＝1；（2）λ1＝－1，λ2＝4.【解析】（1）由矩陣變換得到＝，，然后由求解.（2）由（1）可知A＝，先求得特征行列式，再令求解.【詳解】（1）由題意，得＝，所以＝，所以，解得，所以a＝3，b＝1.（1）由（1）可知A＝，特征行列式為＝(λ－2)(λ－1)－(－3)(－2)＝λ2－3λ－4＝(λ－4)(λ＋1)＝0，所以矩陣A的特征值為λ1＝－1，λ2＝4.【點睛】本題主要考查矩陣變換的應用以及特征值的計算，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.22．已知直線的參數方程為（t為參數），點P(1，2)在直線上．（1）求m的值；（2）以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C：ρ=4與直線交于兩點A，B兩點，求|PA|·|PB|的值．【答案】（1）；（2）11.【解析】（1）根據點P(1，2)在直線上，將點的坐標代入直線的參數方程求解.（2）將曲線的極坐標方程轉化為直角坐標方程，然后與直線的參數方程聯(lián)立，再結合韋達定理利用參數的幾何意義求解.【詳解】（1）因為，在直線上，所以，解得．（2）因為曲線C：ρ=4，所以曲線的直角坐標方程為，將直線的參數方程代入的方程得，設，所對應的參數分別為，，則，故．【點睛】本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程的轉化直線與圓的位置關系以及參數的幾何意義的應用，