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INET】1.(2022·安徽十校聯(lián)盟聯(lián)考)已知a=log23,b=2log53,c=,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.a(chǎn)>c>b B.a(chǎn)>b>cC.b>a>c D.c>b>a答案B解析∵a=log23>1,b=2log53=log59>1,c=<0,∴eq\f(a,b)=eq\f(log23,log59)=eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg5,lg9)=eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg5,2lg3)=eq\f(lg5,2lg2)=eq\f(lg5,lg4)=log45>1,∴a>b,∴a>b>c.2.若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在區(qū)間(-∞,1]上單調(diào)遞減,則a的取值范圍為()A.[1,2) B.[1,2]C.[1,+∞) D.[2,+∞)答案A解析令函數(shù)g(x)=x2-2ax+1+a=(x-a)2+1+a-a2,對(duì)稱軸為x=a,要使函數(shù)f(x)在(-∞,1]上單調(diào)遞減,則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g?1?>0,,a≥1,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2-a>0,,a≥1,))解得1≤a<2,即a∈[1,2).思維升華求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,必須弄清三個(gè)問(wèn)題:一是定義域;二是底數(shù)與1的大小關(guān)系;三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成.跟蹤訓(xùn)練3(1)若實(shí)數(shù)a,b,c滿足loga2<logb2<logc2<0,則下列關(guān)系中正確的是()A.a(chǎn)<b<c B.b<a<cC.c<b<a D.a(chǎn)<c<b答案C解析根據(jù)不等式的性質(zhì)和對(duì)數(shù)的換底公式可得eq\f(1,log2a)<eq\f(1,log2b)<eq\f(1,log2c)<0,即log2c<log2b<log2a<0,可得c<b<a<1.(2)若函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logax,x≥2,,-logax-4,0<x<2))存在最大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(\r(2),2)))解析當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)=logax在[2,+∞)上單調(diào)遞增,無(wú)最值,不滿足題意,故0<a<1.當(dāng)x≥2時(shí),函數(shù)f(x)=logax在[2,+∞)上單調(diào)遞減,f(x)≤f(2)=loga2;當(dāng)0<x<2時(shí),f(x)=-logax-4在(0,2)上單調(diào)遞增,f(x)<f(2)=-loga2-4,則loga2≥-loga2-4,即loga2≥-2=logaa-2,即eq\f(1,a2)≥2,0<a≤eq\f(\r(2),2),故實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(\r(2),2))).課時(shí)精練1.(2022·重慶巴蜀中學(xué)月考)設(shè)a=eq\f(1,2),b=log7eq\r(5),c=log87,則()A.a(chǎn)>b>c B.a(chǎn)>c>bC.c>b>a D.c>a>b答案D解析a=eq\f(1,2)=log7eq\r(7)>b=log7eq\r(5),c=log87>log8eq\r(8)=eq\f(1,2)=a,所以c>a>b.2.若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的反函數(shù)且f(2)=1,則f(x)等于()A.log2xB.eq\f(1,2x)C.D.2x-2答案A解析函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的反函數(shù)是f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1,所以a=2.故f(x)=log2x.3.函數(shù)y=loga(x+c)(a,c為常數(shù),其中a>0,a≠1)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論成立的是()①a>1;②0<c<1;③0<a<1;④c>1.A.①② B.①④C.②③ D.③④答案C解析由圖象可知函數(shù)為減函數(shù),∴0<a<1,令y=0得loga(x+c)=0,x+c=1,x=1-c,由圖象知0<1-c<1,∴0<c<1.4.(2022·銀川模擬)我們知道:人們對(duì)聲音有不同的感覺(jué),這與它的強(qiáng)度有關(guān)系.一般地,聲音的強(qiáng)度用(W/m2)表示,但在實(shí)際測(cè)量時(shí),聲音的強(qiáng)度水平常用L1=10lg?eq\f(I,I0)(單位:分貝,L1≥0,其中I0=1×10-12是人們平均能聽(tīng)到的最小強(qiáng)度,是聽(tīng)覺(jué)的開(kāi)端).某新建的小區(qū)規(guī)定:小區(qū)內(nèi)公共場(chǎng)所的聲音的強(qiáng)度水平必須保持在50分貝以下,則聲音強(qiáng)度I的取值范圍是()A.(-∞,10-7) B.[10-12,10-5)C.[10-12,10-7) D.(-∞,10-5)答案C解析由題意可得,0≤10·lg?eq\f(I,I0)<50,即0≤lgI-lg(1×10-12)<5,所以-12≤lgI<-7,解得10-12≤I<10-7,所以聲音強(qiáng)度I的取值范圍是[10-12,10-7).5.設(shè)函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x,x>0,,?-x?,x<0.))若f(a)>f(-a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)答案C解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,,log2a>))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,,?-a?>log2?-a?,))解得a>1或-1<a<0.6.(2022·漢中模擬)已知log23=a,3b=7,則log2156等于()A.eq\f(ab+3,a+ab) B.eq\f(3a+b,a+ab)C.eq\f(ab+3,a+b) D.eq\f(b+3,a+ab)答案A解析由3b=7,可得log37=b,所以log2156=eq\f(log3?7×23?,log3?3×7?)=eq\f(log37+log323,log33+log37)=eq\f(b+3×\f(1,a),1+b)=eq\f(ab+3,a+ab).7.(2022·??谀M)log3eq\r(27)+lg25+lg4++的值等于.答案eq\f(7,2)解析原式=log3+lg52+lg22+2+=eq\f(3,2)+2lg5+2lg2+2+(-2)=eq\f(3,2)+2(lg5+lg2)+2+(-2)=eq\f(3,2)+2+2+(-2)=eq\f(7,2).8.已知函數(shù)y=loga(x-3)-1的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.答案(4,-1)解析令x-3=1,則x=4,∴y=loga1-1=-1,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,-1).9.設(shè)f(x)=log2(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=log212.(1)求a,b的值;(2)當(dāng)x∈[1,2]時(shí),求f(x)的最大值.解(1)因?yàn)閒(x)=log2(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=log212,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2?a-b?=1,,log2?a2-b2?=log212,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a-b=2,,a2-b2=12,))解得a=4,b=2.(2)由(1)得f(x)=log2(4x-2x),令t=4x-2x,則t=4x-2x=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(1,2)))2-eq\f(1,4),因?yàn)?≤x≤2,所以2≤2x≤4,所以eq\f(9,4)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(1,2)))2≤eq\f(49,4),即2≤t≤12,因?yàn)閥=log2t在[2,12]上單調(diào)遞增,所以ymax=log212=2+log23,即函數(shù)f(x)的最大值為2+log23.10.(2022·棗莊模擬)已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.(1)判斷f(x)的奇偶性并予以證明;(2)當(dāng)a>1時(shí),求使f(x)>0的x的解集.解(1)f(x)是奇函數(shù),證明如下:因?yàn)閒(x)=loga(x+1)-loga(1-x),所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+1>0,,1-x>0,))解得-1<x<1,f(x)的定義域?yàn)?-1,1).f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(1+x)-loga(-x+1)]=-f(x),故f(x)是奇函數(shù).(2)因?yàn)楫?dāng)a>1時(shí),y=loga(x+1)是增函數(shù),y=loga(1-x)是減函數(shù),所以當(dāng)a>1時(shí),f(x)在定義域(-1,1)內(nèi)是增函數(shù),f(x)>0即loga(x+1)-loga(1-x)>0,logaeq\f(x+1,1-x)>0,eq\f(x+1,1-x)>1,eq\f(2x,1-x)>0,2x(1-x)>0,解得0<x<1,故使f(x)>0的x的解集為(0,1).11.設(shè)a=log0.20.3,b=log20.3,則()A.a(chǎn)+b<ab<0 B.a(chǎn)b<a+b<0C.a(chǎn)+b<0<ab D.a(chǎn)b<0<a+b答案B解析∵a=log0.20.3>log0.21=0,b=log20.3<log21=0,∴ab<0.∵eq\f(a+b,ab)=eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=log0.30.2+log0.32=log0.30.4,∴1=log0.30.3>log0.30.4>log0.31=0,∴0<eq\f(a+b,ab)<1,∴ab<a+b<0.12.若實(shí)數(shù)x,y,z互不相等,且滿足2x=3y=log4z,則()A.z>x>y B.z>y>xC.x>y,x>z D.z>x,z>y答案D解析設(shè)2x=3y=log4z=k>0,則x=log2k,y=log3k,z=4k,根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象易得4k>log2k,4k>log3k,即z>x,z>y.13.函數(shù)f(x)=log2eq\r(x)·(2x)的最小值為.答案-eq\f(1,4)解析依題意得f(x)=eq\f(1,2)log2x·(2+2log2x)=(log2x)2+log2x=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x+\f(1,2)))2-eq\f(1,4)≥-eq\f(1,4),當(dāng)log2x=-eq\f(1,2),即x=eq\f(\r(2),2)時(shí)等號(hào)成立,所以函數(shù)f(x)的最小值為-eq\f(1,4).14.已知函數(shù)f(x)=|log2x|,實(shí)數(shù)a,b滿足0<a<b,且f(a)=f(b),則a+b的取值范圍是________.答案(2,+∞)解析∵f(x)=|log2x|,∴f(x)的圖象如圖所示,又f(a)=f(b)且0<a<b,∴0<a<1,b>1且ab=1,∴a+b≥2eq\r(ab)=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).又0<a<b,故a+b>2.15.(2022·貴陽(yáng)模擬)若3a+log3a=9b+2log9b,則()A.a(chǎn)>2b B.a(chǎn)<2bC.a(chǎn)>b2 D.a(chǎn)<b2答案B解析f(x)=3x+log3x,易知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∵3a+log3a=32b+log3b,∴f(2b)=32b+log3(2b)>32b+log3b=3a+log3a=f(a),∴2b>a.16.已知函數(shù)f(x)=log2(2x+k)(k∈R).(1)當(dāng)k=-4時(shí),解不等式f(x)>2;(2)若函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)P(0,1),且關(guān)于x的方程f(x)=x-2m有實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)當(dāng)k=-4時(shí),f(x)=log2(2x-4).由f(x)>2,得log2(2x-4)>2,得2x-4>4,得2x>8,解得x>3.故不等式f(x)>2的解集是(3,+∞).(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=log2(2x+k)(k∈R)的圖象過(guò)點(diǎn)P(0,1),所以f(0)=1,即log2(1+k)=1,解得k=1.所以f(x)=log2(2x+1).因?yàn)殛P(guān)于x的方程f(x)=x-2m有實(shí)根,即log2(2x+
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