電動力學課件2015-第二章-4

§2.5格林函數(shù)法第3節(jié)討論無電荷區(qū)域的靜電場第4節(jié)討論點電荷產(chǎn)生的靜電場本節(jié)討論更一般的情況問題1接地無限大平面導體附近有一點電荷Q，求空間中的電場。如果有兩個自由點電荷呢？有電荷的連續(xù)分布呢？象電荷是一個點電荷,電量為-q,位于z=-a在電勢為V的導體內(nèi)有一半徑為R的球形空腔,空腔內(nèi)充滿介電常量為ε的電介質(zhì),有一點電荷q位于離空腔中心為a(a<R)的地方,求空腔內(nèi)的電勢

為什么有V？邊界的影響！問題2靜電問題的唯一性定理設已知V內(nèi)自由電荷分布,在V的邊界S上給定(1)電勢或(2)電勢的法線方向偏導數(shù)則V內(nèi)的電勢由泊松方程和邊值關系唯一確定。

n由j指向i給定給定兩類邊界兩類影響第一類邊值問題的Green公式解V給定了S(V內(nèi))邊界條件：G稱為Green函數(shù)電荷分布所激發(fā)的場邊界條件所激發(fā)的場

Green函數(shù)一般用表示，表示單位電荷所在的位置，代表觀察點，Green函數(shù)所滿足的方程和邊界條件為第一類邊值問題的格林函數(shù)例上半空間的第一類邊值問題的G？例：接地導體板上的電場如果有兩個自由點電荷呢？有電荷的連續(xù)分布呢？邊界條件：V給定了S第二類邊值問題的Green公式解

Green函數(shù)一般用表示，表示單位電荷所在的位置，代表觀察點，Green函數(shù)所滿足的方程和邊界條件為第二類邊值問題的格林函數(shù)S是界面的總面積在電勢為V的導體內(nèi)有一半徑為R的球形空腔,空腔內(nèi)充滿介電常量為ε的電介質(zhì),有一點電荷q位于離空腔中心為a(a<R)的地方,求空腔內(nèi)的電勢

為什么有V？邊值條件的影響一、點電荷密度的函數(shù)表示因為點電荷分布的特點是在點電荷所在處的電荷密度變?yōu)闊o窮大，而在其他地方電荷密度為零。若在處有一點電荷Q，則電荷密度可寫為顯然對于單位點電荷而言，Q=1，其密度為二、Green函數(shù)Green函數(shù)一般用表示，表示單位電荷所在的位置，代表觀察點，Green函數(shù)所滿足的方程和邊界條件為滿足上述兩類邊界條件的解稱為泊松方程在區(qū)域V的第一類或第二類邊值問題的Green函數(shù)。實際上就是單位點電荷在V內(nèi)滿足邊界條件所激發(fā)的場函數(shù)！Green函數(shù)法的基礎：格林定理已知ψ、φ皆為連續(xù)、可微的標量點函數(shù)ψ和φ對調(diào)格林定理1格林定理2待求的邊值問題：選取的Green函數(shù)在V內(nèi)滿足：S邊界滿足：取滿足V給定了S三、邊值問題的Green公式解x’是V內(nèi)任選的固定點

取滿足代入Green第二公式式中積分,微分都是對變量進行的,由于Green函數(shù)關于源點和場點是對稱的,即為習慣起見，把變量換為，

改為，即得該式左邊第二項為得到x與x’交換,故得到這就是用Green函數(shù)求解靜電問題的形式解。

討論：

a)在區(qū)域V中，任一點的勢唯一地決定于電荷分布及邊界的值其中每一項都已知與G有關嗎？注意

b)如果所取的Green函數(shù)屬于第一類問題，取第一類Green函數(shù)這時則有就是第一類邊值問題的解

c)如果所取的Green函數(shù)屬于第二類問題，取第二類Green函數(shù)在這里要說明一點的是：對第二類靜電邊值問題不能用因為Green函數(shù)所代表的物理意義是在處存在一個單位電荷在空間所激發(fā)的電勢。因此即代表單位電荷在邊界上所激發(fā)的電場的垂直分量，由Gauss定理知道由此可見故從而，Green函數(shù)在邊界上的最簡單的形式是取這樣第二類靜電邊值問題的Green函數(shù)解的形式為：式中為在邊界面S上的平均值。

在實際問題中，常遇到這類問題：在所考察的區(qū)域包含有無窮大的邊界面，假如，考察一導體球外的空間電勢分布問題，這時所考察的區(qū)域是球面和無窮大曲面間包圍的區(qū)域，所以這時邊界面S→∞故有于是故得到此式稱為第二類邊值問題的Green函數(shù)解的形式。四、Green函數(shù)的制作以上的討論，表面上似乎把靜電邊值問題的解找到了，其實并非如此，因為只有把問題的Green函數(shù)找到了，才能對表達式（第一類邊值問題的形式解和第二類邊值問題的形式解）作出具體的計算。實際求Green函數(shù)本身并不是件容易的事，所以以上解的形式只具有形式解的意義。當然，它把唯一性定理更具體地表達出來了。下面介紹幾種不同區(qū)域的Green函數(shù)的制作方法。（1）無界空間的Green函數(shù)在無窮大空間中放一個單位點電荷,求空間某處的電勢,就是Green函數(shù)。其中，代表單位電荷的所在位置（源點坐標），代表觀察點坐標（場點坐標）。上述Green函數(shù)滿足微分方程和邊界條件。這里把與互換，不變，即有這就說明Green函數(shù)具有對稱性。（2）上半空間的Green函數(shù)在接地導體平面的上半空間，由于，屬于第一類邊值問題。

根據(jù)鏡象法得到：yzor2r1點放置單位電荷上半空間的解,z=0平面電勢為0點電荷從(0,0,a)換為(x’,y’,z’)這也可看到（3）球外空間的

Green函數(shù)在接地導體球外的空間，由，屬于第一類邊值問題。yzxRR'R0r'αθθ'oa→R’θ→αyzxRR'R0r'αθθ'o注意注意其中：根據(jù)鏡象法得例1:y=0的xoz平面是無限大導體平面,使從x=-a到x=a的一段電勢為U0,其余部分電勢為零,求y>0空間的電勢分布半空間第一類格林函數(shù)為

例2:在無窮大導體平面上有半徑為a的圓,設圓內(nèi)電勢為V0,其余部分電勢為零,求上半空間的電勢。azxyRP(R,φ,z)P'(R',φ',z')V0R'柱坐標注意到cos(φ-φ')對φ'一個或數(shù)個2π周期的積分為零，故利用其中例3:已知半徑為R0的球面上電勢為f(θ,φ),試求球外空間的電勢分布

球外空間沒有電荷,給定了球面上的電勢分布,這是球外空間拉普拉斯方程第一邊值問題積分在球面上和無窮大球面上進行,但無窮大球面上φ(x’)≡0,對積分無貢獻。在球面上有φ(x’)=f(θ,φ),利用球外空間第一邊值問題的格林函數(shù)例4:半徑為R0的球,上半球電勢為Φ0,下半球電勢為-Φ0,中間用絕緣盤隔開,求球外電勢。

結(jié)果

在制作Green函數(shù)時，必須注意：求Green函數(shù)不是很容易的，只有當區(qū)域具有簡單幾何形狀時才能得出解析的解，如果時，Green函數(shù)法也可以用來解Laplaceequation的邊值問題。分離變量法和鏡像法能解的情況1、分離變量法能解的情況：自由電荷在邊界上,在要求解電場區(qū)域沒有自由電荷(泊松方程轉(zhuǎn)變?yōu)槔绽狗匠?+邊界條件。2、鏡像法能解的情況：在求解區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷,或者只有有限幾個點電荷,并且區(qū)域邊界或介質(zhì)界面規(guī)則(電場能用等效電荷代替)+邊界條件。

能用Green定理求解