Laplace-算子的特征函數(shù)系在三個(gè)空間中的完備性

PAGEPAGE16Laplace算子的特征函數(shù)系在三個(gè)空間中的完備性表示實(shí)維Euclid空間，設(shè)是中的有界開集，邊界適當(dāng)光滑?？臻g上的內(nèi)積記為，范數(shù)記為；空間內(nèi)積記為，范數(shù)記為；定義5.1,稱為Laplace算子.定義5.2如果存在實(shí)數(shù),和非零函數(shù)，使得，（5.1）則稱為算子（或問題（5.1））的特征值,稱為對應(yīng)于特征值的特征函數(shù).例如，(5.2)就是（5.2）的特征值和對應(yīng)于特征值的特征函數(shù).且有,,在中正交,任意函數(shù)在中可用展開成Fourier級數(shù).,（未必相等）,令，則有.系數(shù)的記法.定義5.3對實(shí)數(shù),如果存在函數(shù),使得（5.3）則稱為為算子的（廣義）特征值,稱為對應(yīng)于特征值的廣義特征函數(shù).顯然由定義5.2定義5.3,反之,在一定條件下,定義5.3定義5.2.5.2特征值的存在性若是（5.3）的特征值與特征函數(shù),則有,,于是我們引入泛函.由Friedrichs不等式,,.此式說明泛函有正的下界,因此有下確界.如果定義,（5.4）則今證明是算子的最小特征值.由下確界的定義,對任意正整數(shù),存在滿足（）于是得在中有界,由索伯列夫嵌入定理,存在的子序列和函數(shù),使得（在中）,，在中弱收斂,再由得,又,故,即存在,,使得（條件極值）下面證明就特征值與特征函數(shù).,對任意根據(jù)上式得出即在處達(dá)到最小值.由此知得,,即因此,是算子的特征值,為對應(yīng)于特征值的特征函數(shù).再證是最小的特征值,設(shè)是的任意特征值,即存在,使得在此式中,取,得出,.這就證明是的最小特征值.5.3算子的所有特征值我們可以采用下列方法依次求出算子的所有特征值.,顯然,可以證明,存在,,使得,同上面可證,滿足即是特征值,為對應(yīng)于特征值的特征函數(shù).假設(shè)我們已經(jīng)得出算子的個(gè)特征值,(),且,（5.5）對應(yīng)于的特征函數(shù)為,（5.6）且.函數(shù)組（5.6）的所有線性組合成為的一個(gè)線性子空間,叫做組（5.6）在中生成的子空間,記為以表示在中的正交補(bǔ)空間,即.根據(jù)泛函有下界性,我們將證明,（5.7）就是算子的第個(gè)特征值.重復(fù)上面的討論變分問題（5.4）的步驟可以證明,存在函數(shù),使得,（5.8）,（5.9）是算子的第個(gè)特征值,為對應(yīng)于特征值的特征函數(shù).由（5.7）易知.由于是無限維空間,按（5.7）得出算子的特征值的無限序列,（5.10）相應(yīng)的的特征函數(shù)序列為,（5.11）5.3特征值序列及對應(yīng)的特征函數(shù)系的性質(zhì)性質(zhì)1最小特征值對應(yīng)的特征函數(shù)可以取來滿足.性質(zhì)2對應(yīng)于不同特征值的特征函數(shù)在中是正交的.證明設(shè)特征值對應(yīng)的特征函數(shù)分別為,且由此知道,當(dāng)時(shí),性質(zhì)3特征值序列（5.10）滿足.證明由于是單調(diào)遞增的，只須證明是無界的。假若有界，由，，于是在中有界，利用緊嵌入，得到中存在子列（仍記為）在中收斂，，但當(dāng)時(shí)，，矛盾，所以是無界的。故有。性質(zhì)4對應(yīng)于同一特征值只有有限個(gè)線性無關(guān)的特征函數(shù),或者說,對應(yīng)于每一個(gè)特征值的特征函數(shù)空間是有限維的.性質(zhì)5特征函數(shù)序列（5.11）是空間的基底,即對任意,在中.若,則.眾所周知,存在特征值序列和相應(yīng)的特征函數(shù)系，滿足這里，,,,且．可以證明．即在中是標(biāo)準(zhǔn)正交系.其中表示上的范數(shù)，表示上的內(nèi)積.引理3.1.4有如下結(jié)論：1)是中的一組正交完備基，對，，．2)是中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基．對，在成立．3)是中的一組正交基．對，成立．證明對，記，顯然與在中正交，，于是，由此，而，所以。對任意實(shí)數(shù)，記，顯然與在中正交，，于是，由此，1）任意，；于是是中的一組正交系；對，顯然與在中正交，，成立，于是，易知，；由于，且與都正交，所以有，，由，得到，對，有在中收斂于；對任意，，于是在中收斂，且在中收斂；故在中收斂于；2）設(shè)，對任意，存在，使得，記，，則有在中收斂于；易知成立，于是，從而得到在中收斂于；或者由，得到在中收斂于；3）已有，再證，因?yàn)椋?，?)知，在中．利用估計(jì)：對成立，，.故是中的一組正交基．定理是中的一組正交完全系，證明任意，；于是是中的一組正交系；若,則.證明；由，可得，；假若，可設(shè)，，由于，；所以有，這與矛盾，故，這證明了是是中的一組正交完全系。由于是Banach空間，于是是中的一組正交完備系，即對任意，，記，成立在中收斂于。參考文獻(xiàn)[1]Courant,R.andHilbert,D.著,錢敏,郭敦仁譯.數(shù)學(xué)物理方法(Ⅰ)[M].北京:科學(xué)出版社,1958.319-355.[2]Smoller,J.,ShockWavesandReaction-Diffusions[M].Springer-Verlag,1983.ADVANCE[3]Gilbarg,D.,Trudinger,N.S.著.葉其孝等譯.二階橢圓型偏微分方程[M].上海：科學(xué)技術(shù)出版社，1981.52-55.[4]葉其孝,李正元.反應(yīng)擴(kuò)散方程引論[M].北京:科學(xué)出版社,1990.[5]陳恕行,洪家興.偏微分方程近代方法[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1988.[6]陸文端.微分方程中的變分方法[M].北京:科學(xué)出版社,2003.17-169.[7]陳祖墀.偏微分方程[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2002.[8]張恭慶.變分學(xué)講義[M].北京:高等教育出版社,2011.[9]王耀東.偏微分方程的理論[M].北京:北京大學(xué)出版社,1989.[10]張恭慶,林源渠.泛函分析講義（上冊）[M].北京：北京大學(xué)出版社，1987.18-19.[11]丘成桐,孫理察.微分幾何講義[M];.北京:高等教育出版社,2004.[12]郭柏靈.粘性消去法和差分格式的粘性[M].北京：科學(xué)出版社，1993.26-30.[13]陳國旺.索伯列夫空間導(dǎo)論[M].北京:科學(xué)出版社.2013.397-399.8-12,180-181.[14]陳國旺，陳翔英.非線性高階發(fā)展方程[M].北京:科學(xué)出版社.2017.[15]魏光祖,袁忠信,王恩三,王玉林.索伯列夫空間與偏微分方程[M].開封:河南大學(xué)出版社,1994.43-107.[16]曹策問.微分算子的跡[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,1989,18(2):170-178.[17]唐燕武.Laplace算子的特征函數(shù)的正則性[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2000,6(4):24-26.[18]吳發(fā)恩,曹林芬.任意階Laplace算子的特征值估計(jì)[J].中國科學(xué)A輯：數(shù)學(xué)，2007，37（5）：587-594.[19]定光桂.等距線性延拓問題[J].中國科學(xué)：數(shù)學(xué)，2015，45（1）：1-8.[20]李上達(dá),周振榮.特征函數(shù)的梯度估計(jì)[J].華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2015,49(2):182-185.[21]黃俊杰，阿拉坦倉