點的概念、運動及應(yīng)力應(yīng)變,力學論文

點的概念、運動及應(yīng)力應(yīng)變,力學論文摘要：從0到無窮小的躍遷具體表現(xiàn)出了從無到有的質(zhì)變.力學中有基于0和基于無窮小的關(guān)于點的兩種類型的定義，它們是準確分析點的運動、點的應(yīng)力應(yīng)變等理論的關(guān)鍵基礎(chǔ).討論了基于0的和基于無窮小的點的兩類定義，分析了它們在不同內(nèi)容中含義的詳細差異.并基于點的不同定義，深切進入地辨析了點的運動、點的應(yīng)力應(yīng)變等問題，為準確認知相關(guān)概念提供借鑒.本文關(guān)鍵詞語：點;0;無窮小;運動;變形;Abstract：Thetransitionfromzerotoinfinitesimalrepresentsaqualitativechangefromnonexistencetoexistence.Therearetwotypesofdefinitionsofpointsinmechanics,zerobasedandinfinitesimalbased,andtheyarethekeybasisforanaccurateanalyzingofthetheoryofpointmotion,pointstressandstrain.Twokindsofdefinitionsofzerobasedandinfinitesimalpointsarediscussed,andthespecificdifferencesoftheirmeaningsindifferentcontentsareanalyzed.Basedonthedifferentdefinitionsofpoints,themotion,stressandstrainareanalyzedindetail,aswellasthereferenceforaccuratecognitionofrelatedconceptsisprovided.Keyword：point;zero;infinitesimal;motion;deformation;點是一個抽象模型，在剛體力學和變形體力學中的含義有明顯不同.同時，力學中很多概念如關(guān)于點的運動、應(yīng)力、應(yīng)變的定義均是基于點來表述的.文獻[1,2,3]中文章分析了點的兩類定義，對兩類定義作了比照研究，進而辨析了點的運動、應(yīng)力、應(yīng)變等問題.1、點的概念關(guān)于點，圍繞形狀和大小，有兩種類型的定義，一類是大小為0的幾何點〔幾何存在〕，另一類是大小為非0無窮小的微元.要弄盤點的這些不同特性，需要辨清0和無窮小兩個相關(guān)概念，并分析其與點的關(guān)系.1.1、0與點的第一類定義1.1.1、0的認知要認知點的大小為0，需分析0的性質(zhì).前十個自然數(shù)中，0出現(xiàn)最晚.0始于古印度，印度大乘fo教中有一切皆空、絕對無、空無這樣的宗義，被以為具有發(fā)明0的思想基礎(chǔ).早期的0不具有數(shù)值意義，僅用作占位符號，用于標識位置.印度數(shù)學家婆什伽羅第一個用圓圈表示零.婆羅摩笈多第一個把零作為數(shù)字進行描繪敘述，給零以量的含義，并描繪敘述了零的算術(shù)性質(zhì)[4,5,6].在量的意義上，0是最小的自然數(shù)，有確切的數(shù)值含義，是正負數(shù)的界標，在數(shù)軸上或坐標系上具有確切的位置.漢語中與0在量的語義上相近的零，就有表示沒有數(shù)量的意思，印度-阿拉伯數(shù)字中，0也表示沒有，并作為獨立的數(shù)字介入運算.而在幾何上，0不具有與之對應(yīng)的幾何圖形，這應(yīng)理解為0是沒有形狀概念的[7].可見，起初0僅用作占位符號，具有標識位置的意思.之后，作為數(shù)字的0，其數(shù)值意義是無.1.1.2、點的第一類定義在這里，把大小為0的點作為點的第一類定義.在幾何上是無形狀的幾何存在.點的基本解釋為數(shù)學上指沒有長寬高而只要位置的不可分割的幾何圖形.文獻[8]能夠理解為點具有這樣的性質(zhì)，一是無大小，二是無形狀，三是存在且具有位置.較早的關(guān)于點的學術(shù)性定義是源于歐幾里得的(幾何本來〕：點是沒有部分的東西.沒有部分，即不可分成兩部分，或不可再分為更小的東西[9].引申以為點是沒有大小的，或講點的大小為0.數(shù)學家丹尼亨利翁注釋點是沒有長度、沒有寬度、沒有高度的幾何形狀.文獻[9]中德國數(shù)學家戴維希爾伯特在(幾何基礎(chǔ)〕中沒有給出點的定義，把點、直線和平面作為不加定義的基本概念.但點的屬性還是無大小、不可分的.文獻[10]二維歐氏空間中，點可表示為一組有序數(shù)對；笛卡爾坐標系中，點能夠精到準確定義位置；微積分定義空間的點是一個0維的對象.物理學和剛體力學對質(zhì)點〔點〕的定義大致一樣，以為點是沒有大小和形狀，但具有物體的全部質(zhì)量.忽略物體的大小和形狀，而將其抽象為一個有質(zhì)量而無大小和形狀的幾何點.能夠進一步認知微元V上的內(nèi)力對V內(nèi)任一點的力矩都等于0[11,12,13].可見，點是沒有形狀的幾何存在；點的大小等于0.應(yīng)明確，此點其大小是0而不是無窮小.就點的運動分析而言，點是濃縮的點或整體被視為點，即把有限濃縮于0，是沒有部分的.1.2、無窮小與點的第二類定義1.2.1、無窮小極限是指不可逾越的數(shù)值，它是一個無限的變化經(jīng)過，是變量的歸宿.無窮小是一個以0為極限的函數(shù)，也是一個變化經(jīng)過，它的歸宿是0.文獻[14]中從0到無窮小的躍遷具體表現(xiàn)出了從無到有的質(zhì)變.微積分中定義，假如函數(shù)f(x)當x?x0〔或x?〕時的極限為零，那么稱函數(shù)f(x)為當x?x0〔或x?〕時為無窮小[15,16].可見，無窮小是以0為極限的；它不是0；它比任意給定的數(shù)都要小，需要多小就有多小.應(yīng)明確，無窮小不是很小很小的數(shù)；極限和無窮小都不能作為靜止的量來對待.1.2.2、點的第二類定義在這里，把大小為非0無窮小的點作為點的第二類定義.在幾何上是一個微元.微積分中，從鄰域的概念來認知點.鄰域是這樣一種集合，設(shè)a、是實數(shù)且0，定義點a的鄰域，記作U(a,)，為以下集合：U(a,)={x||x-a|}.文獻[14]進一步設(shè)想，如是任意給定的極小正數(shù)，其小的程度沒有限制，那么，這個鄰域的極限就用來表述點.還能夠從空間向量上認知點，它是一個0維的向量空間.變形體力學以為，圍繞一個點取微元〔一維、二維或三維〕，當描繪敘述該微元的尺度從對應(yīng)方向上都趨于無窮小時，微元即視為點.文獻[17]能夠進一步引申，微元V上的內(nèi)力對V內(nèi)任一點的力矩一般都不等于0，只是力矩很小.可見，這里的點是沒有確切形狀的微元，或者講能夠取任意形狀；點的大小不是0.就應(yīng)力應(yīng)變分析而言，點是取出的實際點或?qū)嶋H單元，是沒有被縮脹的點，點的應(yīng)力應(yīng)變分析是在從整體上取出的一個點上進行的，是整體中的部分.2、點的運動基于0的點的運動點的運動是基于點的第一類定義的.在這里，點是大小為0的幾何存在.研究這類點的幾何位置隨時間變化的規(guī)律，描繪敘述運動的參數(shù)只要線運動量沒有角運動量.反映在運動軌跡上是直線的或曲線的；反映在速度上是線速度，而無角速度；反映在加速度上是切向加速度和法向加速度，而無角加速度.對于點的合成運動，絕對運動和相對運動是點分別相對于定系和動系的運動，兩者都是點的運動，應(yīng)遵從點的運動特征和運動規(guī)律，分析運動的參數(shù)只能用表征點的運動的參數(shù)來表述.牽連運動是動系相對于定系的運動，是剛體運動而非點的運動，分析運動的參數(shù)只能用表征剛體運動的參數(shù)來表述，其可能的運動形式是平移、轉(zhuǎn)動或其他較復(fù)雜的剛體運動.進一步推及到剛體的平面運動，在引入基點的定義之后，剛體平面運動則分解為隨基點的平移和繞基點的轉(zhuǎn)動，剛體平移按點的運動來分析，繞基點的轉(zhuǎn)動則按剛體瞬時的定軸轉(zhuǎn)動來分析.3、點的應(yīng)力應(yīng)變基于無窮小的點的應(yīng)力應(yīng)變應(yīng)力應(yīng)變分析是基于點的第二類定義的.在這里，點是大小為非0無窮小的微元.3.1、點的應(yīng)力應(yīng)力是截面上分布內(nèi)力系在一點的集度，如此圖1所示.垂直于截面的分量為正應(yīng)力，切于截面的分量為切應(yīng)力t，如此圖2所示.這里出現(xiàn)點和面的概念.關(guān)于面，在這里處是基于無窮小的微元，其大小是無窮小而不是0，在幾何上是一個極小的面，即微面積.正應(yīng)力和切應(yīng)力就作用于這個微面積上，切應(yīng)力在截面內(nèi)切于截面.關(guān)于點，由于微元的大小是無窮小，微面積的極限為0，所以又可以為它表征的是點的應(yīng)力情況，即點的應(yīng)力.圖1微面積及其內(nèi)力Fig.1Micro-areaanditsinternalforces圖2點的正應(yīng)力和切應(yīng)力Fig.2Thenormalstressandshearingstressatapoint3.2、點的切應(yīng)變物體受力變形，體內(nèi)各點處的變形并不一樣，其變形程度由線應(yīng)變ε和切應(yīng)變來度量.切應(yīng)變指兩條正交線段的夾角的改變量，定義為點在x-y平面內(nèi)的切應(yīng)變.先分析平面的存在，根據(jù)幾何學，兩條相交線段組成平面，切應(yīng)變即反映這兩條正交線段夾角的改變情況，它發(fā)生在由這兩條正交直線組成的平面內(nèi).該平面其大小為非0的無窮小，在幾何上就是一個微面積，應(yīng)從該面上來分析直角的改變量.同理，從點的視角分析切應(yīng)變，當兩條正交線段的長度趨近于0時，該平面的大小以0為極限，平面趨近于點.所以，切應(yīng)變是以點度量的.切應(yīng)變是由切應(yīng)力引起的，切應(yīng)力互等定理決定切應(yīng)力的作用方式.相鄰的正交面上的切應(yīng)力不能單獨存在，是成對生成并作用的，實際上是兩對知足互等定理的切應(yīng)力在共同產(chǎn)生作用，在這兩對切應(yīng)力作用的相關(guān)平面上，產(chǎn)生對應(yīng)的切應(yīng)變.所以，切應(yīng)變不是某一個切應(yīng)力單獨作用的結(jié)果，而是互等定理構(gòu)架內(nèi)的所有切應(yīng)力共同作用的結(jié)果，如此圖3所示.圖3點的切應(yīng)力與切應(yīng)變Fig.3Theshearingstressandshearingstrainofpoint4、結(jié)論文章辨析了基于0和基于無窮小的關(guān)于點的兩類定義的詳細差異，并基于點的不同定義，深切進入分析點的運動、點的應(yīng)變等問題，為準確認知相關(guān)概念提供借鑒.以下為參考文獻[1]東南大學理論力學教研室.理論力學[M].3版.北京：高等教育出版社，2021.[2]劉鴻文.材料力學[M].6版.北京：高等教育出版社，2021.[3]徐芝綸.彈性力學〔上冊〕[M].2版.北京：高等教育出版社，1985.[4][美]查爾斯塞弗.神奇的數(shù)字零[M].楊立汝，譯.海口：海南出版社，2021.[5]徐品方，張紅，寧銳.(數(shù)學九章〕研究[M].北京：科學出版社，2021.[6][法]米卡埃爾洛奈.萬物皆數(shù)：從史前時期到人工智能，跨越千年的數(shù)學之旅[M].孫佳雯，譯.北京：北京聯(lián)合出版公司，2021.[7]冷玉龍，韋一心.中華字海[M].北京：中國友誼出版公司，1994.[8]講詞解字辭書研究中心.當代漢語圖解詞典[M].北京：華語教學出版社，2021.[9][古希臘]歐幾里得.幾何本來[M].蘭紀正，朱恩寬，譯.南京：譯林出版社，2020.[10][德]希爾伯特.希爾伯特幾何基礎(chǔ)[M].江澤涵，朱鼎勛，譯.北京：北京大學出版社，2020.[11]饒瑞昌，時鐘濤.大學物理學[M].2版.北京：高等教育出版社，2021.[12]哈爾濱工業(yè)大學理