湖南大學(xué)古典概型與概率課件

概率與統(tǒng)計(jì)

第二講古典概型與概率e-mail:古典概型的幾類基本問題乘法公式：設(shè)完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法復(fù)習(xí)：排列與組合的基本概念加法公式：設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。無(wú)重復(fù)排列：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k次，每次取一個(gè)，取后不放回，將所取元素排成一列，共有Ank=n(n-1)…(n-k+1)種排列方式.nn-1n-2n-k+1組合：從含有n個(gè)元素的集合中隨機(jī)抽取k個(gè)，共有種取法.1、抽球問題

例1設(shè)盒中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個(gè)球，求取到一紅一白的概率。解:設(shè)A-----取到一紅一白答:取到一紅一白的概率為3/5解法一:一般地，設(shè)盒中有N個(gè)球，其中有M個(gè)白球，現(xiàn)從中任抽n個(gè)球，則這n個(gè)球中恰有k個(gè)白球的概率是在實(shí)際中，產(chǎn)品的檢驗(yàn)、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問題均可化為隨機(jī)抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數(shù)學(xué)意義更加突出，而不必過多的交代實(shí)際背景。2、分球入盒問題例2將3個(gè)球隨機(jī)的放入3個(gè)盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:設(shè)A:每盒恰有一球,B:空一盒(1)(2)解法一:(用對(duì)立事件)一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分配到N個(gè)盒子中去(nN)，則每盒至多有一球的概率是：某班級(jí)有n個(gè)人(n365)，問至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率有多大？?3.分組問題例330名學(xué)生中有3名運(yùn)動(dòng)員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運(yùn)動(dòng)員的概率；（2）3名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組的概率。解:設(shè)A:每組有一名運(yùn)動(dòng)員;B:3名運(yùn)動(dòng)員集中在一組30人(1)(2)(3)一般地，把n個(gè)球隨機(jī)地分成m組(n>m),要求第i組恰有ni個(gè)球(i=1,…m)，共有分法：30人(1)(2)(3)(2)解法二(“3名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組”相當(dāng)于“取一組有3名運(yùn)動(dòng)員,7名普通隊(duì)員,其余兩組分配剩余的20名普通隊(duì)員.)答:每組有一名運(yùn)動(dòng)員的概率為50/203;3名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組的概率為18/203.4隨機(jī)取數(shù)問題例4從1到200這200個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè),(1)求取到的數(shù)能被6整除的概率(2)求取到的數(shù)能被8整除的概率(3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率解:N(S)=200,N(3)=[200/24]=8N(1)=[200/6]=33,N(2)=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分別為:33/200,1/8,1/25EX52張撲克平均分發(fā)給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，求(1)甲拿到4個(gè)A的概率(2)4個(gè)A在一個(gè)人手上的概率。(3)每人手上都有A的概率。歷史上曾有人做過試驗(yàn),試圖證明拋擲勻質(zhì)硬幣時(shí)，出現(xiàn)正反面的機(jī)會(huì)均等。實(shí)驗(yàn)者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.5005p8頻率的性質(zhì)(1)0

fn(A)1；(2)fn(S)＝1；fn()=0(3)可加性：若AB＝

，則

fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).實(shí)踐證明：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，fn(A)逐漸趨向一個(gè)穩(wěn)定值。可將此穩(wěn)定值記作P(A)，作為事件A的概率若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間S中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，滿足：(1)非負(fù)性:P(A)≥0；(2)歸一性:P(S)＝1； (3)可列可加性：設(shè)A1，A2，…,是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,…,有

P(A1

A2

…

)＝P(A1)＋P(A2)+….則稱P(A)為事件A的概率（p10)。

概率的公理化定義(5)加法公式：對(duì)任意兩事件A、B，有P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)該公式可推廣到任意n個(gè)事