2020-2021高中數(shù)學(xué)人教版第一冊學(xué)案：1.5 第2課時全稱量詞命題與存在量詞命題的否定含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材人教A版必修第一冊學(xué)案：1.5第2課時全稱量詞命題與存在量詞命題的否定含解析第2課時全稱量詞命題與存在量詞命題的否定必備知識·探新知基礎(chǔ)知識知識點1全稱量詞命題的否定全稱量詞命題p?p結(jié)論?x∈M，p（x）__?x∈M，?p(x）__全稱量詞命題的否定是存在量詞命題思考1:用自然語言描述的全稱量詞命題的否定形式唯一嗎？提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四邊形"，它的否定是“存在一個菱形不是平行四邊形”，也可以是“有些菱形不是平行四邊形”．知識點2存在量詞命題的否定存在量詞命題p?p結(jié)論?x∈M，p（x)__?x∈M，?p（x）__存在量詞命題的否定是全稱量詞命題思考2：一般命題的否定與含有一個量詞的命題的否定相同嗎?提示：（1)一般命題的否定通常是在條件成立的前提下否定其結(jié)論，得到真假性完全相反的兩個命題；含有一個量詞的命題的否定，是在否定結(jié)論p（x）的同時，改變量詞的屬性，即將全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞．(2）與一般命題的否定相同,含有一個量詞的命題的否定的關(guān)鍵也是對關(guān)鍵詞的否定．因此,對含有一個量詞的命題的否定，應(yīng)根據(jù)命題所敘述對象的特征，挖掘其中的量詞并按要求改變量詞．基礎(chǔ)自測1．寫出下列命題的否定：（1)?n∈Z,n∈Q；(2)任意奇數(shù)的平方還是奇數(shù)；(3)每個平行四邊形都是中心對稱圖形．［解析]（1）?n∈Z，n?Q;(2)存在一個奇數(shù)的平方不是奇數(shù)；(3)存在一個平行四邊形不是中心對稱圖形．2．寫出下列命題的否定：（1)有些三角形是直角三角形;（2)有些梯形是等腰梯形；(3)存在一個實數(shù),它的絕對值不是正數(shù)．[解析］(1）任意三角形都不是直角三角形；（2)所有的梯形都不是等腰梯形;（3)任意一個實數(shù)，它的絕對值都是正數(shù)．關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一全稱量詞命題的否定例1寫出下列全稱量詞命題的否定：（1)任何一個平行四邊形的對邊都平行；（2)?a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有實數(shù)根；(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)可以被5整除的整數(shù)，末位是0。[分析]把全稱量詞改為存在量詞，然后否定結(jié)論．[解析］（1)存在一個平行四邊形，它的對邊不都平行．(2）?a∈R，方程x2＋ax＋2＝0沒有實數(shù)根．（3）?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)存在被5整除的整數(shù)，末位不是0。［歸納提升］1.全稱量詞命題的否定的兩個關(guān)注點(1）寫出全稱量詞命題的否定的關(guān)鍵是找出全稱量詞命題的全稱量詞和結(jié)論，把全稱量詞改為存在量詞,結(jié)論變?yōu)榉穸ǖ男问骄偷玫矫}的否定．(2）有些全稱命題省略了量詞，在這種情況下，千萬不要將否定寫成“是”或“不是”．2．常見詞語的否定詞語詞語的否定等于不等于大于不大于(即小于或等于）小于不小于（即大于或等于）是不是都是不都是【對點練習(xí)】?寫出下列全稱量詞的否定：（1)?x∈{－2，－1,0，1，2｝，|x－2|≥2；(2)任何一個實數(shù)除以1，仍等于這個數(shù)；（3)所有分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)；（4)任意兩個等邊三角形都相似．［解析](1）該命題的否定：?x∈｛－2，－1,0,1，2}，|x－2｜<2。(2）該命題的否定:存在一個實數(shù)除以1，不等于這個數(shù)．(3)該命題的否定:存在一個分?jǐn)?shù)不是有理數(shù)．(4）該命題的否定:存在兩個等邊三角形，它們不相似．題型二存在量詞命題的否定例2寫出下列存在量詞命題的否定，并判斷其真假．（1)p:存在x∈R，2x＋1≥0；(2)q：存在x∈R,x2－x＋eq\f(1，4）<0；(3）r：有些分?jǐn)?shù)不是有理數(shù)．[分析]把存在量詞改為全稱量詞，然后否定結(jié)論．[解析］（1)任意x∈R,2x＋1〈0,為假命題．(2）任意x∈R，x2－x＋eq\f（1，4）≥0。因為x2－x＋eq\f(1,4)＝（x－eq\f(1，2）)2≥0,所以是真命題．（3)一切分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)，是真命題．[歸納提升］1。存在量詞命題否定的方法及關(guān)注點（1)方法:與全稱量詞命題的否定的寫法類似，要寫出存在量詞命題的否定，先確定它的存在量詞，再確定結(jié)論，然后把存在量詞改寫為全稱量詞,對結(jié)論作出否定就得到存在量詞命題的否定．（2）關(guān)注點:注意對不同的存在量詞的否定的寫法，例如,“存在”的否定是“任意的”，“有一個”的否定是“所有的”或“任意一個”等．2．對省略量詞的命題的否定對于一個含有量詞的命題，容易知道它是全稱量詞命題或存在量詞命題，可以直接寫出其否定，而對省略量詞的命題在寫命題的否定時，應(yīng)首先根據(jù)命題中所敘述的對象的特征，挖掘其隱含的量詞，確定是全稱量詞命題還是存在量詞命題，先寫成全稱量詞命題或存在量詞命題的形式，再對其進(jìn)行否定．【對點練習(xí)】?判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定:(1）某些梯形的對角線互相平分；(2)?x∈{x｜x是無理數(shù)},x2是無理數(shù);（3)在同圓中，同弧所對的圓周角相等;(4)存在k∈R，函數(shù)y＝kx＋b隨x值的增大而減?。甗解析］(1）假命題．任意一個梯形的對角線都不互相平分．(2)真命題．?x∈{x|x是無理數(shù)｝，x2是有理數(shù)．(3)真命題．在同圓中，同弧所對的圓周角不相等．(4）真命題．任意k∈R，函數(shù)y＝kx＋b不隨x值的增大而減?。`區(qū)警示寫命題的否定時忽略隱含的量詞例3寫出下列命題的否定：(1)可以被5整除的數(shù)，末位是5；（2)能被3整除的數(shù)，也能被4整除．[錯解](1）可以被5整除的數(shù),末位不是5；（2)能被3整除的數(shù)，不能被4整除．[錯因分析］對于（1），原命題為假命題，錯解中命題的否定也是假命題，故此命題的否定不正確,（2)的錯誤與(1）相仿．實際上，(1)（2）均為省略了全稱量詞的全稱量詞命題,因此寫其否定時，要補(bǔ)全量詞，不能只否定結(jié)論,不改變量詞．［正解](1)省略了全稱量詞“任何一個”,命題的否定為：有些可以被5整除的數(shù),末位不是5.（2)省略了全稱量詞“所有”，命題的否定為：存在一個能被3整除的數(shù)，不能被4整除．[方法點撥]由于全稱量詞往往省略不寫，因此在寫這類命題的否定時，必須找出其中省略的全稱量詞，寫成“?x∈M，p（x）”的形式,再把它的否定寫成“?x∈M，?p(x)”的形式．要學(xué)會挖掘命題中隱含的量詞，注意把握每一個命題的實質(zhì)，寫出命題的否定后可以結(jié)合它們的真假性(一真一假)進(jìn)行驗證．課堂檢測·固雙基1．命題“對于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是（D)A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R,x3－x2＋1≥0C．對任意的x∈R，x3－x2＋1>0D．存在x∈R,x3－x2＋1>0[解析]全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，故排除C；由命題的否定只否定結(jié)論，不否定條件，可排除A,B．2．命題“?x∈R,x3－2x＋1＝0”的否定是(D）A．?x∈R，x3－2x＋1≠0B．不存在x∈R,x3－2x＋1≠0C．?x∈R,x3－2x＋1＝0D．?x∈R，x3－2x＋1≠0[解析]存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，故排除A；由命題的否定要否定結(jié)論,可排除C；由存在量詞“?”應(yīng)改為全稱量詞“?"，可排除B．3．寫出下列命題的否定：（1)?x∈R，｜x｜＋1－x≠0；（2）?a∈R，一次函數(shù)y＝x＋a的圖象經(jīng)過原點．[解析］（1）命題的否定：?x∈R，|x｜＋1－x＝0.（2)命題的否定：?a∈R，一次函數(shù)y＝x＋a的圖象不經(jīng)過原點．4．寫出下列命題的否定，并判斷其真假．(1）p:每一個素數(shù)都是奇數(shù)；（2）p：與同一條直線垂直的兩條直線平行；(3）p：有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)；（4）p：某些平行四邊形是菱形．[解析](1）由于全稱量詞“每一個”的否定為“存在一個”，因此?p：存在一個素數(shù)不是奇數(shù)，是真命題．（2)是全稱量詞命題，省略了全稱量詞“任意”，即“任意兩條與同一條直線垂直的直線平行”，因此?p:存在兩條與同一條直線垂直的直線不平行，是假命題．(3）由