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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材人教A版必修第一冊(cè)學(xué)案:2.1第1課時(shí)不等關(guān)系與比較大小含解析第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2。1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【素養(yǎng)目標(biāo)】1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的等量關(guān)系與不等關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)2.了解不等式(組)的實(shí)際背景,會(huì)用不等式(組)表示不等關(guān)系.(數(shù)學(xué)建模)3.掌握不等式的性質(zhì)及應(yīng)用.(邏輯推理)4.會(huì)用作差法(或作商法)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)或代數(shù)式值的大?。〝?shù)學(xué)運(yùn)算)5.能運(yùn)用等式的性質(zhì)或不等式的性質(zhì)解決相關(guān)問題.(邏輯推理)【學(xué)法解讀】在相等關(guān)系與不等關(guān)系的學(xué)習(xí)中,學(xué)生通過類比學(xué)過的等式與不等式的性質(zhì),進(jìn)一步探索等式與不等式的共性與差異.第1課時(shí)不等關(guān)系與比較大小必備知識(shí)·探新知基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1不等式與不等關(guān)系不等式的定義所含的兩個(gè)要點(diǎn).(1)不等符號(hào)<,>,__≤__,__≥__或≠。(2)所表示的關(guān)系是__不等關(guān)系__.思考1:不等式“a≤b”的含義是什么?只有當(dāng)“a〈b”與“a=b”同時(shí)成立時(shí),該不等式才成立,是嗎?提示:不等式a≤b應(yīng)讀作“a小于或者等于b",其含義是指“a<b或者a=b”,等價(jià)于“a不大于b”,即若a<b或a=b之中有一個(gè)正確,則a≤b正確.知識(shí)點(diǎn)2比較兩實(shí)數(shù)a,b大小的依據(jù)eq\a\vs4\al(比較兩,實(shí)數(shù)a,b,的大小)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(依據(jù)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(如果a-b〉0,那么__a>b__,如果a-b〈0,那么__a<b__,如果a-b=0,那么__a=b__)),結(jié)論:確定任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b的大小關(guān)系,只,需確定它們的差a-b與0的大小關(guān)系))思考2:(1)在比較兩實(shí)數(shù)a,b大小的依據(jù)中,a,b兩數(shù)是任意實(shí)數(shù)嗎?(2)若“b-a〉0”,則a,b的大小關(guān)系是怎樣的?提示:(1)是(2)b〉a基礎(chǔ)自測(cè)1.判斷正誤(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×")(1)不等式x≥2的含義是指x不小于2。(√)(2)若x2=0,則x≥0.(√)(3)若x-1≤0,則x<1.(×)(4)兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b之間,有且只有a>b,a=b,a<b三種關(guān)系中的一種.(√)[解析](1)不等式x≥2表示x〉2或x=2,即x不小于2。(2)若x2=0,則x=0,所以x≥0成立.(3)若x-1≤0,則x<1或者x=1,即x≤1。(4)任意兩數(shù)之間,有且只有a〉b,a=b,a〈b三種關(guān)系中的一種,沒有其他大小關(guān)系.2.大橋橋頭立著的“限重40噸”的警示牌,是提示司機(jī)要安全通過該橋,應(yīng)使車和貨物的總質(zhì)量T滿足關(guān)系(C)A.T<40 B.T〉40C.T≤40 D.T≥403.已知x〈1,則x2+2與3x的大小關(guān)系為__x2+2〉3x__.關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一用不等式(組)表示不等關(guān)系例1某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元銷售,每天可銷售100件,現(xiàn)在他采用提高售價(jià),減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn).已知這種商品的售價(jià)每提高1元,銷售量就相應(yīng)減少10件.若把提價(jià)后商品的售價(jià)設(shè)為x元,怎樣用不等式表示每天的利潤(rùn)不低于300元?[分析]由“這種商品的售價(jià)每提高1元,銷售量就相應(yīng)減少10件”確定售價(jià)變化時(shí)相應(yīng)每天的利潤(rùn),由“每天的利潤(rùn)不低于300元"確定不等關(guān)系,即可列出不等式.[解析]若提價(jià)后商品的售價(jià)為x元,則銷售量減少eq\f(x-10,1)×10件,因此,每天的利潤(rùn)為(x-8)·[100-10(x-10)]元,則“每天的利潤(rùn)不低于300元"可以用不等式表示為(x-8)·[100-10(x-10)]≥300。[歸納提升]將不等關(guān)系表示成不等式的思路(1)讀懂題意,找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量.(2)用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連接.例2某礦山車隊(duì)有4輛載重為10t的甲型卡車和7輛載重為6t的乙型卡車,且有9名駕駛員,此車隊(duì)每天至少要運(yùn)360t礦石至冶煉廠.已知甲型卡車每輛每天可往返6次,乙型卡車每輛每天可往返8次,寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式.[分析]首先用變量x,y分別表示甲型卡車和乙型卡車的車輛數(shù),然后分析已知量和未知量間的不等關(guān)系:(1)卡車數(shù)量與駕駛員人數(shù)的關(guān)系;(2)車隊(duì)每天運(yùn)礦石的數(shù)量;(3)甲型卡車的數(shù)量;(4)乙型卡車的數(shù)量.再將不等關(guān)系用含未知數(shù)的不等式表示出來,要注意變量的取值范圍.[解析]設(shè)每天派出甲型卡車x輛,乙型卡車y輛,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y≤9,,10×6x+6×8y≥360,,0≤x≤4,,0≤y≤7,,x,y∈N,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y≤9,,5x+4y≥30,,0≤x≤4,,0≤y≤7,,x,y∈N.))[歸納提升]用不等式組表示不等關(guān)系的方法首先要先弄清題意,分清是常量與常量、變量與變量、函數(shù)與函數(shù)還是一組變量之間的不等關(guān)系;然后類比等式的建立過程找到不等詞,選準(zhǔn)不等號(hào),將量與量之間用不等號(hào)連接;最后注意不等式與不等關(guān)系的對(duì)應(yīng),不重不漏,尤其要檢驗(yàn)實(shí)際問題中變量的取值范圍.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?用一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園,墻長(zhǎng)18m,要求菜園的面積不小于110m2,靠墻的一邊長(zhǎng)為xm,試用不等式表示其中的不等關(guān)系.[解析]由于矩形菜園靠墻的一邊長(zhǎng)為xm,而墻長(zhǎng)為18m,所以0〈x≤18,這時(shí)菜園的另一條邊長(zhǎng)為eq\f(30-x,2)=(15-eq\f(x,2))(m).因此菜園面積S=x·(15-eq\f(x,2)),依題意有S≥110,即x(15-eq\f(x,2))≥110,故該題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0〈x≤18,,x15-\f(x,2)≥110。))題型二比較實(shí)數(shù)的大小例3已知a,b為正實(shí)數(shù),試比較eq\f(a,\r(b))+eq\f(b,\r(a))與eq\r(a)+eq\r(b)的大?。甗解析]方法一(作差法):(eq\f(a,\r(b))+eq\f(b,\r(a)))-(eq\r(a)+eq\r(b))=(eq\f(a,\r(b))-eq\r(b))+(eq\f(b,\r(a))-eq\r(a))=eq\f(a-b,\r(b))+eq\f(b-a,\r(a))=eq\f(a-b\r(a)-\r(b),\r(ab))=eq\f(\r(a)-\r(b)2\r(a)+\r(b),\r(ab))。∵a,b為正實(shí)數(shù),∴eq\r(a)+eq\r(b)〉0,eq\r(ab)〉0,(eq\r(a)-eq\r(b))2≥0,∴eq\f(\r(a)-\r(b)2\r(a)+\r(b),\r(ab))≥0,∴eq\f(a,\r(b))+eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)+eq\r(b)。方法二(作商法):eq\f(\f(a,\r(b))+\f(b,\r(a)),\r(a)+\r(b))=eq\f(\r(a)3+\r(b)3,\r(ab)\r(a)+\r(b))=eq\f(\r(a)+\r(b)a+b-\r(ab),\r(ab)\r(a)+\r(b))=eq\f(a+b-\r(ab),\r(ab))=eq\f(\r(a)-\r(b)2+\r(ab),\r(ab))=1+eq\f(\r(a)-\r(b)2,\r(ab))≥1.∵eq\f(b,\r(a))+eq\f(a,\r(b))〉0,eq\r(a)+eq\r(b)〉0,∴eq\f(a,\r(b))+eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)+eq\r(b)。方法三(平方后作差):∵(eq\f(a,\r(b))+eq\f(b,\r(a)))2=eq\f(a2,b)+eq\f(b2,a)+2eq\r(ab),(eq\r(a)+eq\r(b))2=a+b+2eq\r(ab),∴(eq\f(a,\r(b))+eq\f(b,\r(a)))2-(eq\r(a)+eq\r(b))2=eq\f(a+ba-b2,ab)?!遖〉0,b〉0,∴eq\f(a+ba-b2,ab)≥0。又eq\f(a,\r(b))+eq\f(b,\r(a))〉0,eq\r(a)+eq\r(b)>0,故eq\f(a,\r(b))+eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)+eq\r(b).[歸納提升]比較大小的方法1.作差法的依據(jù):a-b>0?a〉b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b.步驟:作差—變形—判斷差的符號(hào)—得出結(jié)論.注意:只需要判斷差的符號(hào),至于差的值究竟是多少無關(guān)緊要,通常將差化為完全平方式的形式或多個(gè)因式的積的形式.2.作商法的依據(jù):b>(〈)0時(shí),eq\f(a,b)〉1?a>(〈)b;eq\f(a,b)=1?a=b;eq\f(a,b)〈1?a<(>)b。步驟:作商—變形-判斷商與1的大小-得出結(jié)論.注意:作商法的適用范圍較小,且限制條件較多,用的較少.3.介值比較法:(1)介值比較法的理論根據(jù):若a>b,b>c,則a〉c,其中b是a與c的中介值.(2)介值比較法的關(guān)鍵是通過不等式的恰當(dāng)放縮,找出一個(gè)比較合適的中介值.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?當(dāng)x≤1時(shí),比較3x3與3x2-x+1的大小.[解析]3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).因?yàn)閤≤1,所以x-1≤0,而3x2+1>0。所以(3x2+1)(x-1)≤0,所以3x3≤3x2-x+1.課堂檢測(cè)·固雙基1.下列說法正確的是(C)A.某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000"B.小明的身高x,小華的身高y,則小明比小華矮表示為“x>y"C.某變量x至少是a可表示為“x≥a"D.某變量y不超過a可表示為“y≥a”[解析]A應(yīng)為x≤2000,B應(yīng)為x<y,D應(yīng)為y≤a,故選C.2.設(shè)a=3x2-x+1,b=2x2+x,則(C)A.a(chǎn)〉b B.a(chǎn)<bC.a(chǎn)≥b D.a(chǎn)≤b[解析]a-b=3x2-x+1-(2x2+x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,∴a-b≥0即a≥b,故選C.3.設(shè)a,b∈R,定義運(yùn)算“?”和“⊕”如下:a?b=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a,a≤b,,b,a>b,))a⊕b=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b,a≤b,,a,a〉b。))若m?n≥2,p⊕q≤2,則(A)A.mn≥4且p+q≤4 B.m+n≥4且pq≤4C.mn≤4且p+q≥4 D.m+
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