化工數(shù)學(xué)第一章

化工數(shù)學(xué)第一章第一頁，共六十七頁，2022年，8月28日第一章概述一、學(xué)習(xí)《化工數(shù)學(xué)》的目的二、《化工數(shù)學(xué)》涉及的內(nèi)容三、通過實(shí)例說明《化工數(shù)學(xué)》的用途四、教材及參考文獻(xiàn)第二頁，共六十七頁，2022年，8月28日一、學(xué)習(xí)《化工數(shù)學(xué)》的目的1、能夠科學(xué)的設(shè)計(jì)試驗(yàn)：減少試驗(yàn)次數(shù)，獲得更可靠的結(jié)果；2、學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)語言描述問題；3、能選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)運(yùn)算獲得結(jié)果；4、能夠?qū)λ媒Y(jié)果進(jìn)行合理的分析和解釋。第三頁，共六十七頁，2022年，8月28日化學(xué)與化工研究過程

找到隱藏在化工現(xiàn)象背后的規(guī)律，從而建立一個(gè)能夠正確地反映所研究對(duì)象或過程的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型化過程第四頁，共六十七頁，2022年，8月28日過程模型化的方法主要分為兩類：（1）分析法：這種方法在運(yùn)用有關(guān)專業(yè)理論知識(shí)對(duì)所研究的對(duì)象或過程進(jìn)行機(jī)理分析的基礎(chǔ)上，通過合理的簡化，結(jié)合具體問題及其條件，推導(dǎo)出描述過程特性的數(shù)學(xué)模型。然后通過實(shí)驗(yàn)，確定模型中的未知參量，再回到實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行反復(fù)的檢驗(yàn)和修正，從而獲得既能在一定程度上反映過程機(jī)理，又在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合的過程模型。第五頁，共六十七頁，2022年，8月28日（2）經(jīng)驗(yàn)法：它放棄了對(duì)所研究對(duì)象或過程的機(jī)理分析，即視過程為一“黑箱”，僅考察這一“黑箱”的輸入和輸出特性，從而運(yùn)用統(tǒng)計(jì)回歸分析的方法獲取刻畫過程特性的數(shù)學(xué)模型。應(yīng)該指出：經(jīng)驗(yàn)法所確定的過程模型中參數(shù)的物理意義是不明確的，它們僅用以在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；而分析法中所確定的未知參量是反映過程機(jī)理的參數(shù)。第六頁，共六十七頁，2022年，8月28日二、《化工數(shù)學(xué)》涉及的內(nèi)容微分（高等數(shù)學(xué)已學(xué)）積分（高等數(shù)學(xué)已學(xué)）試驗(yàn)設(shè)計(jì)及數(shù)據(jù)處理（6學(xué)時(shí)）線性代數(shù)（24學(xué)時(shí)）概率論（16學(xué)時(shí)）數(shù)理統(tǒng)計(jì)（8學(xué)時(shí)）數(shù)值分析（研究生階段）第七頁，共六十七頁，2022年，8月28日試驗(yàn)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)處理概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)第八頁，共六十七頁，2022年，8月28日想讓你成為數(shù)學(xué)家嗎？No初步建立用數(shù)學(xué)語言表達(dá)這類問題的基本思想和方法。只是針對(duì)化學(xué)與化工中經(jīng)常出現(xiàn)或典型的問題，討論數(shù)學(xué)方法的選擇、運(yùn)用和技巧，把數(shù)學(xué)作為一種研究現(xiàn)象和過程的手段。第九頁，共六十七頁，2022年，8月28日

數(shù)學(xué)研究已出現(xiàn)一種過分專門化和過于強(qiáng)調(diào)抽象的趨勢(shì)，而忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及與其他領(lǐng)域的聯(lián)系。數(shù)學(xué)工作者要對(duì)此負(fù)一定的責(zé)任。數(shù)學(xué)教學(xué)有時(shí)竟演變成空洞的解題訓(xùn)練。這種訓(xùn)練雖然可以提高形式推導(dǎo)的能力，但卻不能導(dǎo)致對(duì)數(shù)學(xué)的真正理解，也無助于提高獨(dú)立思考的能力。

《什么是數(shù)學(xué)》－－Ｒ·柯朗（1941出版）第十頁，共六十七頁，2022年，8月28日三、化學(xué)與化工中的數(shù)學(xué)方法舉例化工中的一般問題含有多個(gè)組分的兩相或多相物質(zhì)在某個(gè)給定的工程體系之中相互接觸，在一定條件下，每種組分可能發(fā)生相轉(zhuǎn)變，并伴隨著熱效應(yīng)；也可能發(fā)生放熱或吸熱的化學(xué)反應(yīng)。給定初始條件，要求確定系統(tǒng)在規(guī)定點(diǎn)的狀態(tài)（在一定的接觸時(shí)間以后），或者達(dá)到一定狀態(tài)裝置的尺寸大小。第十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日(一）為了描述這種一般系統(tǒng)，通常要用到下述四種類型的關(guān)系（1）物料平衡：對(duì)每種組分有著不同的物料平衡關(guān)系；如果存在化學(xué)反應(yīng)，還要使用相應(yīng)的化學(xué)計(jì)量關(guān)系式。它所依據(jù)的是質(zhì)量守恒定律。（2）能量平衡：熱力學(xué)第一定律表明系統(tǒng)內(nèi)能的變化，等于加進(jìn)系統(tǒng)內(nèi)的熱量與系統(tǒng)對(duì)外界所做功之差，即△U=Q-W。如果沒有熱量加進(jìn)系統(tǒng)，系統(tǒng)對(duì)外也沒有做功，則熱力學(xué)第一定律可簡化為焓平衡。第十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日（3）速率方程：當(dāng)考慮時(shí)間因素時(shí)，就要應(yīng)用速率方程，它包括傳遞速率和反應(yīng)速率，例如各種相界面間的質(zhì)量傳遞，發(fā)生在不同相中的單個(gè)的化學(xué)反應(yīng)等。（4）平衡關(guān)系：平衡狀態(tài)是指系統(tǒng)的壓力、溫度和濃度等不隨時(shí)間而變化的狀態(tài)。在多相系統(tǒng)中要考慮到從一相到另一相的傳遞凈速率問題，平衡一般發(fā)生在相間的邊界界面上。第十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日二、大多數(shù)化學(xué)與化工問題可以用微分方程進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，一般步驟是：（1）畫出示意圖，列出所給數(shù)據(jù)；（2）確定自變量和因變量：通?？瑟?dú)立選擇用來描述系統(tǒng)變化的量稱為自變量，而當(dāng)自變量變化時(shí)，反映體系某些性質(zhì)的隨之變化的量稱為因變量。自變量和因變量是由不同的問題所決定的。對(duì)于非穩(wěn)態(tài)問題，時(shí)間一般選做自變量；（3）寫出系統(tǒng)規(guī)定的自變量及其對(duì)應(yīng)的因變量的數(shù)值，這就是所謂的邊界條件或初始條件；（4）選用前述的四種關(guān)系式，列出問題的數(shù)學(xué)模型或方程式，其中要注意簡化問題時(shí)所采取的假設(shè)和近似的合理性；（5）求解數(shù)學(xué)模型，獲得合乎邏輯的解。第十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日關(guān)于邊界條件，以傳熱過程為例一般有：（1）指定的溫度。表面的溫度或邊界的溫度是已知常數(shù)，或是位置或時(shí)間的函數(shù)；（2）指定的熱流量。穿過邊界的熱流量是已知常數(shù)，或是位置或時(shí)間的函數(shù)，例如：第十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日（3）無熱流的情況或絕熱系統(tǒng)，邊界條件為：（4）由對(duì)流作用熱量傳到系統(tǒng)外部，邊界條件為：

其中λ是導(dǎo)熱系數(shù)，h為傳熱系數(shù)，T0為環(huán)境溫度，q為常數(shù)，L為邊界。第十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日四、教材及參考書目教材《工程數(shù)學(xué)—線性代數(shù)》，高等教育出版社，同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編，ISBN7-04-011941-2《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，西南財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，李捷等編，ISBN7-81088-240-6參考書目《化學(xué)與化工中的數(shù)學(xué)方法》，北京理工大學(xué)出版社，潘亞明等編《化工數(shù)學(xué)》，化學(xué)工業(yè)出版社，[日]河村佑治《化工應(yīng)用數(shù)學(xué)》，上海交通大學(xué)出版社，胡乾定等編《化工數(shù)學(xué)》，復(fù)漢出版社，P.G.Francis，馬俊雄編譯《化學(xué)中的數(shù)學(xué)》，上海教育出版社，[日]鐸木啟三《化學(xué)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)手冊(cè)》，化學(xué)工業(yè)出版社，[美]E.L.Bauer第十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日

如果要解決化學(xué)與化工中的數(shù)學(xué)問題，化學(xué)工作者當(dāng)然要求助于數(shù)學(xué)家，希望數(shù)學(xué)家能把問題變成用已知方法可以解決的數(shù)學(xué)命題，然而這條路是行不通的，因?yàn)閿?shù)學(xué)家要把問題變成簡單的數(shù)學(xué)假說，卻沒有必要的化工基礎(chǔ)知識(shí)，而化學(xué)家又沒有必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，因而無法幫助數(shù)學(xué)家對(duì)問題進(jìn)行解析。

——第十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日試驗(yàn)為什么要設(shè)計(jì)？

化工過程模型化需要使用大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如何取得典型信息以使建立起來的過程模型具有準(zhǔn)確性和通用性，如何用較少的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)反映現(xiàn)象及過程的規(guī)律，這在實(shí)際的化學(xué)與化工實(shí)驗(yàn)中有著特別重要的意義。因此有必要研究獲取高質(zhì)量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，減少盲目增加實(shí)驗(yàn)次數(shù)帶來損失的方法，這就是試驗(yàn)設(shè)計(jì)的內(nèi)容。第二章試驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理第十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日

試驗(yàn)設(shè)計(jì)（包括數(shù)據(jù)處理）是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一門重要分枝，它的主要內(nèi)容是討論如何合理的安排試驗(yàn)以及試驗(yàn)后的數(shù)據(jù)如何分析等。

本課程僅僅介紹在實(shí)際中應(yīng)用最廣的正交設(shè)計(jì)法。試驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理第二十頁，共六十七頁，2022年，8月28日第二章試驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理一、試驗(yàn)設(shè)計(jì)1、簡單試驗(yàn)設(shè)計(jì)2、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)2.1因子間無交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)選取正交表，直觀分析法2.2因子間有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)正交表和交互作用列表2.3因子水平數(shù)不同的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)混合水平正交表擬水平法2.4多指標(biāo)的分析方法綜合平衡法綜合評(píng)分法第二十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日第二章試驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理一、試驗(yàn)設(shè)計(jì)3、回歸正交設(shè)計(jì)二、數(shù)據(jù)的表達(dá)與處理1、數(shù)據(jù)的圖示方法2、經(jīng)驗(yàn)方程3、方差與隨機(jī)誤差分布三、最小二乘法和線性回歸第二十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日例2-1：某地想移植外地的優(yōu)良小麥品種，選了A、B、C三種品種進(jìn)行試驗(yàn)，看那一種品種在本地更合適一些？

第二十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日

（1）一種試驗(yàn)的方法是把三種品種種在圖①所示的三塊田里。如果試驗(yàn)的結(jié)果是品種A產(chǎn)量最高，B其次，C最少，我們能否下結(jié)論說品種A在本地最合適呢？仔細(xì)觀察一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)，三種品種盡管種在相鄰的三塊地上，但三塊地的土質(zhì)不會(huì)完全一樣，如果正好種A的這塊田土質(zhì)等條件①最好，種B的那塊田稍次，種C的那塊田最差，那么A的產(chǎn)量高并不一定說明A最適合本地生產(chǎn)。這是品種的好壞與土壤的情況混雜在一起，給如何下結(jié)論帶來了困難。因此，圖①的這種設(shè)計(jì)顯然是不好的。

ABC第二十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日

（2）另一種試驗(yàn)的方法是一種隨機(jī)化的方法。把原來的三大塊田每塊各分成三小塊，在每大塊上三種品種都種，三種品種分別種在哪一地，由抽簽的方法決定，如圖②所示。這種方法比①要好，它使土質(zhì)等因素對(duì)試驗(yàn)的影響大大減弱了，得到的結(jié)論就比較可靠。但是這種方法還有不足之處，②即土地從縱的方向來看是安排得比較好的，但如果從橫的方向把土地分成三大塊安排得就不那么好了。如果土壤按橫的三大塊劃分土質(zhì)相差較大，則給結(jié)果又帶來了干擾。

ACACBBBAC第二十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日

（3）還有一種拉丁方的方法，種植的情況如圖③

我們無論從縱的方向還是從橫的方向來看，每大塊三種品種都有，這樣，品種的情況就不會(huì)和土壤等因素的作用混起來。

（3）

ABCBCACAB第二十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日試驗(yàn)設(shè)計(jì)一般分三個(gè)階段：（1）試驗(yàn)：首先要明確試驗(yàn)的目的和要求；其次是合理選擇試驗(yàn)考察的指標(biāo)和影響因素（即因子）；最后確定試驗(yàn)中影響因素的具體條件（即因子的水平）。在這一階段中，沒有影響或影響很小的因子應(yīng)該除去；而影響不明或有爭議的因子應(yīng)該盡量考慮；要注意因子各水平之間有無對(duì)指標(biāo)有影響的交互作用；因子水平的選擇是確定的還是隨機(jī)的等等。（2）設(shè)計(jì)：根據(jù)因子及因子的水平，確定試驗(yàn)方案；決定試驗(yàn)的順序，試驗(yàn)的方法，測(cè)量的點(diǎn)數(shù)以及重復(fù)的次數(shù)等。（3）分析：對(duì)試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，制成易于計(jì)算的表格，建立假設(shè)，計(jì)算分析用的各種統(tǒng)計(jì)量；確定顯著性水平進(jìn)行檢驗(yàn)，得出結(jié)論。第二十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日常用術(shù)語指標(biāo)：試驗(yàn)需要考察的結(jié)果稱為指標(biāo)。因素（因子）：對(duì)指標(biāo)可能有影響，且在試驗(yàn)中提出明確條件加以對(duì)比的因素，也稱為因子。水平：每個(gè)因素在試驗(yàn)中要對(duì)比的各個(gè)具體條件稱為因素的水平。

第二十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日例2-2

某化工廠想提高某化工產(chǎn)品的質(zhì)量和產(chǎn)量，對(duì)工藝中三個(gè)主要因素分三個(gè)等級(jí)進(jìn)行試驗(yàn)，因素和水平表如下：

因素水平A：溫度B:壓力C:加堿量180℃5MPa2.0kg2100℃6MPa2.5kg3120℃7MPa3.0kg第二十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日1、簡單試驗(yàn)設(shè)計(jì)（1）全面試驗(yàn)法：是指對(duì)影響指標(biāo)的各個(gè)因子的不同水平進(jìn)行全面搭配的方法。這種方法只在因子不多，水平數(shù)較少的情況下才可行。例如一個(gè)三因子的試驗(yàn)，每個(gè)因子要對(duì)比三個(gè)水平，則全面試驗(yàn)法至少需作3×3×3=27次試驗(yàn)。而六因子五水平的全面試驗(yàn)數(shù)目為56=15625次，一般是不可能做到的。第三十頁，共六十七頁，2022年，8月28日1、簡單試驗(yàn)設(shè)計(jì)

（2）孤立因子法試驗(yàn)次數(shù)較少：孤立因子法的做法是首先人為地固定A和B的量，變化C：

C1A1B1C2C3

試驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)C2最好，然后固定A為A1，C為C2，變化B：

B1A1C2B2

B3

試驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)B3最好，然后固定B為B3，C為C2，變化A：

A1B3C2

A2A3

結(jié)果是A2最好。于是簡單對(duì)比法得出結(jié)論：最適宜的分析條件是A2

B3

C2第三十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日1、簡單試驗(yàn)設(shè)計(jì)（3）完全隨機(jī)化法：將試驗(yàn)的不同處理完全隨機(jī)地分配至試驗(yàn)單位，其中試驗(yàn)處理指因子或水平，試驗(yàn)單位指一次試驗(yàn)處理的對(duì)象。（4）隨機(jī)區(qū)組法：是當(dāng)試驗(yàn)單位不均勻一致時(shí)，可把相對(duì)均勻的放在一組，再將不同的處理隨機(jī)分配到各試驗(yàn)單位，且使處理的個(gè)數(shù)與試驗(yàn)單位的個(gè)數(shù)相同。

第三十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日簡單試驗(yàn)設(shè)計(jì)的缺點(diǎn)：（1）當(dāng)因子間交互作用影響較大時(shí)，不一定給出的是各因子水平的最好組合；（2）這種方法安排試驗(yàn)，同樣的試驗(yàn)次數(shù)，提供的信息量不豐富；（3）若不做重復(fù)試驗(yàn)，給不出誤差的估計(jì)。因此，在試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，既要考慮試驗(yàn)次數(shù)少，又要得出全面的結(jié)論（盡量提高試驗(yàn)的精度，排除誤差的干擾)，這就需要用科學(xué)的方法進(jìn)行合理的安排。第三十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日2、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

所謂正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)，是利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)與正交性原理，從大量試驗(yàn)點(diǎn)中選取適量的具有代表性的試驗(yàn)點(diǎn)，應(yīng)用正交表合理安排試驗(yàn)的科學(xué)方法。

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的內(nèi)容包括正交設(shè)計(jì)，正交試驗(yàn)的直觀分析，多指標(biāo)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的分析方法，水平數(shù)不同的正交設(shè)計(jì)，有交互作用的正交設(shè)計(jì)，正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析等。

第三十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日1、正交拉丁方例2-3

生產(chǎn)某染料，用四種主要原料A－硫磺，B－硫化堿，C－燒堿，D－二硝基，每種原料均取三個(gè)水平，需要找一個(gè)較好的配方，使質(zhì)量又好，成本又低。2.1因子間無交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)第三十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日

（1）如果每個(gè)因素各個(gè)水平的所有組合都做試驗(yàn)，要做34＝81次。試驗(yàn)次數(shù)太多，能否只做一部分試驗(yàn)，又能得出較好的結(jié)果呢？（2)我們先考慮A,B兩個(gè)因素，全部試驗(yàn)要作9次，安排如下：

我們看到只考慮兩個(gè)因素時(shí)，二因素的三個(gè)水平相互各碰一次，這樣反映的情況比較全面。

BAB1B2B3A1A1B1A1B2A1B3A2A2B1A2B2A2B3A3A3B1A3B2A3B3第三十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日

（3）如果同時(shí)還要考慮因素C，而試驗(yàn)次數(shù)不增加，怎么安排呢？當(dāng)三個(gè)因素時(shí)，要反映的情況比較全面，必須任兩個(gè)因素間的不同水平各碰一次?？刹捎萌缦碌陌才牛?/p>

CBAB1B2B3A1A1B1C1A1B2C2A1B3C3A2A2B1C2A2B2C3A2B3C1A3A3B1C3A3B2C1A3B3C2第三十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日

這樣的安排很均衡，A的每個(gè)水平和B的三個(gè)水平各碰一次，和C的三個(gè)水平也各碰一次；同樣B的每個(gè)水平和A、C的三個(gè)水平也是正好各碰一次；對(duì)C也有同樣的性質(zhì)?？梢栽O(shè)想，雖然只做了9次試驗(yàn)（全部要做33＝27次），還是可以反映比較全面的情況的。為了書寫的簡便，上面的試驗(yàn)設(shè)計(jì)表可以簡化為：好各出現(xiàn)一次，具有這種性質(zhì)的方塊叫拉丁方

CBA123112322313312

我們發(fā)現(xiàn)，在每一行、每一列中，1，2，3正好各出現(xiàn)一次。具有這種性質(zhì)的方塊叫拉丁方。第三十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日

（4）若還要考慮因素D，能否還保持上述的要求，而試驗(yàn)次數(shù)不增加呢？根據(jù)方才的經(jīng)驗(yàn)，D的三個(gè)水平必須構(gòu)成拉丁方，這樣和A，B才能均衡。我們用1，2，3表示D的三個(gè)水平，試驗(yàn)安排如下：CDBA123111223322233113331122

可以看到，A，B和C之間很均衡，A，B和D之間也很均衡，但C和D之間就不均衡了。C的1水平只和D的1相碰，和2，3一次也沒碰上，C的其它水平也有類似的情形。這樣的安排是不好的，需要改進(jìn)設(shè)計(jì)。第三十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日

D的三個(gè)水平要排成拉丁方這一點(diǎn)是不能變的，問題是D的拉丁方和C的拉丁方不能一樣，兩個(gè)拉丁方之間要搭配均勻。按此原則改成如下的設(shè)計(jì)：CDBA123111223322331123321321

這樣，在滿足和A，B之間搭配均衡的前提下，D和C之間也很均衡，D的每個(gè)水平和C的1，2，3各碰一次，達(dá)到設(shè)計(jì)的要求。第四十頁，共六十七頁，2022年，8月28日

123231312

發(fā)現(xiàn)1，2，3與1，2，3各碰一次，既無重復(fù)又無遺漏。具有這種性質(zhì)的兩個(gè)拉丁方叫正交拉丁方。正交拉丁方設(shè)計(jì)由于互相搭配均勻，在分析數(shù)據(jù)時(shí)可以把每個(gè)因素的作用分得清清楚楚，不會(huì)混雜，并且可以方便地找到最優(yōu)的工藝條件。正交拉丁設(shè)計(jì)可以大大減少試驗(yàn)次數(shù)，因此當(dāng)因素較多時(shí)，用正交拉丁方來安排試驗(yàn)就更好了，它既能減少試驗(yàn)次數(shù)，又能達(dá)到因素間的均衡，同時(shí)提供分析試驗(yàn)的信息比較豐富，還能給出試驗(yàn)誤差的估計(jì)。123312231

我們將C和D的兩個(gè)拉丁方疊在一起：112233233112321321第四十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日2、正交表：是正交拉丁方的自然推廣

正交表是正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的工具，它是對(duì)大量的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)，并根據(jù)數(shù)學(xué)理論整理而得到的成果。表1-1所示為L9（34）正交表，記號(hào)的一般形式為LN（mk），其中L表示正交表，N表示試驗(yàn)次數(shù)，k表示可能安排的因子的最大數(shù)目，m表示因子的水平數(shù)。

表2-1

L9（34）正交表正交表的正交性：（1）每個(gè)縱列中不同數(shù)字（例如表1中的“1”、“2”和“3”）出現(xiàn)的次數(shù)相同，這意味著每個(gè)因子的不同水平在全部試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)相同。（2）任意兩列之間，不同水平之間正好各碰相同的次數(shù)。這意味著任意兩個(gè)因子之間不同的搭配在全部試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)相同。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)對(duì)全體因子而言是部分試驗(yàn)，但對(duì)其中任意兩個(gè)因子而言是具有相同重復(fù)次數(shù)的全面試驗(yàn)，所以用正交表安排的試驗(yàn)是均衡搭配的，且整齊可比，代表性高，效率高。

因素試驗(yàn)號(hào)ABCD111112122231333421235223162312731328321393321第四十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日如何使用正交表？（1）根據(jù)試驗(yàn)的目的，確定試驗(yàn)要考察的因素。如果對(duì)事物的變化規(guī)律了解不多，因素可以多取一些，如果對(duì)其規(guī)律已有相當(dāng)了解，可以準(zhǔn)確的判斷主要因素，這時(shí)因素可取少一些。（2）確定每個(gè)因素變化的水平。每個(gè)因素的水平數(shù)可以相等，也可以不等。重要的因素，或者特別希望詳細(xì)了解的因素水平可多一些，其余可少一些。（3）估計(jì)試驗(yàn)條件的情況，看看一次能作多少試驗(yàn)，一次作不完，需要分成幾次。（4）綜合上述三點(diǎn)選取L表。第四十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的應(yīng)用

例2-4

某聚合反應(yīng)條件的試驗(yàn)問題為提高某聚合反應(yīng)生成物產(chǎn)量，對(duì)反應(yīng)條件做進(jìn)一步研究，考察三個(gè)因子，即溶劑用量A，配比B和催化劑用量C，每個(gè)因子取三個(gè)水平，如表2-2所示。

表2-2因子—水平表

水平因子溶劑用量A[ml]配比B催化劑用量C[g]184010402850156038602080第四十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日解法一、若采用全面試驗(yàn)法這類問題在化學(xué)與化工中經(jīng)常出現(xiàn)，稱其為多因子對(duì)比試驗(yàn)問題。對(duì)于k個(gè)因子，若每個(gè)因子取m個(gè)水平，則記為mk型試驗(yàn)。若采用全面試驗(yàn)法，因子與水平間不同的搭配共有33=27種。為從這27種不同的搭配方案中選出對(duì)提高產(chǎn)量最有利的條件，沒有必要將它們?nèi)荚囼?yàn)一遍，并且在因子數(shù)目和水平數(shù)目較多的情況下也不可能。第四十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日解法二：因子間無交互作用的正交設(shè)計(jì)

先考慮一種簡單情況，假設(shè)三個(gè)因子，即溶劑用量A，配比B和催化劑用量C之間沒有交互作用（或交互作用可以忽略）。試驗(yàn)設(shè)計(jì)步驟：（1）根據(jù)試驗(yàn)的目的和要求，確定指標(biāo)、因子及其水平后，選取合適的正交表。（2）表頭設(shè)計(jì)：往正交表表頭的列號(hào)中填因子以制定試驗(yàn)方案的過程，稱為表頭設(shè)計(jì)。（3）按正交表規(guī)定的試驗(yàn)條件進(jìn)行具體的科學(xué)實(shí)驗(yàn)。（4）實(shí)驗(yàn)完畢后，把測(cè)得的生成物產(chǎn)量（指標(biāo)）填入正交表右側(cè)的欄中。（5）對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行直觀分析第四十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日

選取正交表

選取如表2-1所示的L9（34）正交表，該表可以安排不超過四個(gè)因子的三水平試驗(yàn)，將因子A、B和C任意填入不同的列中，得到表2-3。

表2-3L9（34）正交表表中填了因子的各列數(shù)字“1”、“2”和“3”分別是所填因子的水平，于是表2-2所確定的九個(gè)試驗(yàn)條件分別是：（1）A1B1C1；（2）A1B2C2

；（3）A1B3C3

；（4）A2B2C3

；（5）A2B3C1

；（6）A2B1C2

；（7）A3B3C2

；（8）A3B1C3

；（9）A3B2C1其中試驗(yàn)條件（1）A1B1C1詳細(xì)寫出是：溶劑用量為840[ml]，配比為10，催化劑用量為40[g]，其余的試驗(yàn)條件類似。試驗(yàn)號(hào)ABC111112122231333421235223162312731328321393321第四十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日選取正交表

安排正交表時(shí)，還有兩點(diǎn)可以考慮：分區(qū)組對(duì)于一批試驗(yàn)，如果要在幾臺(tái)不同的機(jī)器（或用幾種原料）上進(jìn)行，為了防止由于機(jī)器（或原料）的不同而帶來誤差，從而干擾試驗(yàn)的分析，那么在安排試驗(yàn)時(shí)，可以用L表中未排因素的一列來安排機(jī)器（或原料）。與此類似，如果指標(biāo)檢驗(yàn)需要幾個(gè)人（或幾臺(tái)儀器）檢驗(yàn)，為了消除不同人（儀器）檢驗(yàn)的水平不同給試驗(yàn)分析帶來干擾，也可采用在L表中用一列來安排的方法。這樣一種方法叫做分區(qū)組的方法。第四十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日選取正交表

隨機(jī)化在正交表表頭設(shè)計(jì)時(shí)，每個(gè)因素的水平總是由小到大（或由大到?。┌错樞蚺帕?，這樣按正交表安排試驗(yàn)時(shí)，所有的1水平要碰在一起，而這種極端的情況有時(shí)是不希望出現(xiàn)的，有時(shí)沒有實(shí)際意義。所以當(dāng)希望出現(xiàn)某一個(gè)特定的水平組合時(shí)，最好不要完全按由小到大排列因素水平。常用的一種方法叫隨機(jī)化。一是對(duì)部分因素的水平隨機(jī)化，可以采用抽簽的方式；另一是對(duì)試驗(yàn)號(hào)碼隨機(jī)化，試驗(yàn)進(jìn)行的次序不是按正交表的試驗(yàn)號(hào)碼排列，而是采用抽簽等方法而決定的。兩種隨機(jī)化可以兼而用之，也可只采用一個(gè)，這要看具體情況來決定。

第四十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日

實(shí)驗(yàn)結(jié)果列入表中

實(shí)驗(yàn)完畢后，把測(cè)得的生成物產(chǎn)量（指標(biāo)）填入表2-3右側(cè)的欄中（如y1，y2…，y9

）。

表2-4L9（34）正交表的結(jié)果分析試驗(yàn)號(hào)ABC生成物產(chǎn)量[g]11111y1=19021222y2=20031333y3=17542123y4=16552231y5=18362312y6=21273132y7=19683213y8=17893321y9=187K1565580560T==1686K2560552608=187.3K3561554518第五十頁，共六十七頁，2022年，8月28日正交表的直觀分析

表2-4L9（34）正交表的結(jié)果分析試驗(yàn)號(hào)ABC生成物產(chǎn)量[g]K1565580560K2560552608K3561554518188.3193.3186.7186.7184202.7187184.7172.7第五十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日正交表的直觀分析

在計(jì)算基礎(chǔ)上，作因素和指標(biāo)的關(guān)系圖，即把每個(gè)因素的、、對(duì)相應(yīng)的水平作圖。一個(gè)因素對(duì)指標(biāo)影響大，是主要的，那么這個(gè)因素不同的水平，相應(yīng)的指標(biāo)平均值之間的差異較大，一個(gè)因素影響不大，是次要的，相應(yīng)的指標(biāo)平均值差異較小。反應(yīng)在圖中上，可以直觀的看出，數(shù)據(jù)波動(dòng)大的為主要影響因素，數(shù)據(jù)波動(dòng)小的為次要因素。

第五十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日實(shí)驗(yàn)結(jié)果的直觀分析

（1）直接看，可靠又方便。希望試驗(yàn)條件使生成物產(chǎn)量越高越好，直接比較這9次試驗(yàn)的結(jié)果。第6號(hào)試驗(yàn)（A2B1C2

）的生成物產(chǎn)量y6=212g最大，所以可以認(rèn)為較好的試驗(yàn)條件是A2B1C2，即溶劑用量為850[ml]，配比為10，催化劑用量為60[g]。（2）算一算，重要又簡單。表2-4中計(jì)算出每個(gè)因子的每個(gè)水平下的指標(biāo)加和Ki，例如因子B的水平2下的指標(biāo)加和：K2=y2+y4+y9=200+165+187=552[g]，其它類似。還可計(jì)算出每個(gè)因子的Ki中最大值與最小值的差，即級(jí)差。級(jí)差大的因子是重要因子，級(jí)差小的因子是次要因子。例如因子A的級(jí)差為K1與K2之差，為5，而因子B和C的級(jí)差分別為28和90。可知因子B和C，即配比和催化劑用量是重要因子，因子A，即溶劑用量是次要因子。所以，最后確定好的試驗(yàn)條件為A1B1C2

，這是因?yàn)橐蜃覣對(duì)指標(biāo)影響不大，考慮節(jié)約溶劑用量，故A可以取較少的用量（水平1，即A1=840ml）。第五十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日正交試驗(yàn)的特點(diǎn)

用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，只作次數(shù)不多的實(shí)驗(yàn)，就能得到較好的實(shí)驗(yàn)條件。正交試驗(yàn)效率高的原因在于：（1）正交表把各種實(shí)驗(yàn)條件均衡分散在排列完全的水平組合中，所以代表性強(qiáng)，易找到好的實(shí)驗(yàn)條件，這就是均衡分散性。（2）對(duì)于每列因子，在各個(gè)水平的結(jié)果之和Ki中，其它因子各個(gè)水平出現(xiàn)的次數(shù)都是相同的。這保證了在各個(gè)水平的效應(yīng)中，最大限度地排除了其它因子的干擾，突出了本列因子的作用，所以能有效地進(jìn)行比較，作出合理的分析，這就是整齊可比性。第五十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日2.2因子間具有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

交互作用：在一個(gè)試驗(yàn)里，不僅各個(gè)因素在起作用，而且因素間有時(shí)聯(lián)合起來起作用，這個(gè)作用就叫交互作用。多因子對(duì)比試驗(yàn)中，不僅要研究各因子的水平對(duì)指標(biāo)的影響，還要研究各個(gè)因子的不同水平之間的搭配，即交互作用對(duì)指標(biāo)的影響。如果因子間交互作用對(duì)指標(biāo)的影響可以忽略，則表頭設(shè)計(jì)就是將因子隨意填入適當(dāng)?shù)恼槐淼牟煌兄?；若交互作用的影響不能忽略時(shí)，就要同時(shí)使用與正交表對(duì)應(yīng)的交互作用列表。

第五十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日表2-5L8（27）正交表列號(hào)試驗(yàn)號(hào)12345671111111121112222312211224122221152121212621221217221122182212112第五十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日相應(yīng)的交互作用列表

表2-6是表2-5相應(yīng)的L8（27）兩列間交互作用列表。從正交表的交互作用列表中，可以查出任意兩列的交互作用列。例如，表2-6中表明第2列與第4列的交互作用列為第6列，其余類似。交互作用列表是考慮因子間交互作用時(shí)進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)的依據(jù)。表2-6L8（27）交互作用列表列號(hào)列號(hào)12345671（1）325476（2）16745（3）7654（4）123（5）32（6）1（7）第五十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日例2-5

如何提高乙酰胺苯磺化試驗(yàn)的反應(yīng)收率

根據(jù)試驗(yàn)的目的和要求，確定試驗(yàn)的指標(biāo)、因子及其水平。酰胺苯磺化試驗(yàn)的因子與水平如表2-7所示。

表2-7乙酰胺苯磺化試驗(yàn)的因子和水平

因子水平反應(yīng)溫度A[℃]反應(yīng)時(shí)間B[h]硫酸濃度C[%]操作條件D150117攪拌270227不攪拌第五十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日解法一、如果不考慮因子間的交互作用

如果不考慮因子間的交互作用，選用表2-5的L8（27）正交表，將因子填在任意4列上，得表2-8。表2-8無交互作用的正交試驗(yàn)表

列號(hào)試驗(yàn)號(hào)ABCD收率yi[%]11111652112274312127141221735211270621217372211628222267K1283282268273T=555K2272273287282μ=69.375第五十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日無交互作用時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析從實(shí)驗(yàn)結(jié)果看，產(chǎn)率越高越好。直接比較這8次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，第2號(hào)實(shí)驗(yàn)的產(chǎn)率y2=74%最高，所以可以認(rèn)為較好的實(shí)驗(yàn)條件是A1B1C2D2，即反應(yīng)溫度50℃，反應(yīng)時(shí)間1h，硫酸濃度27%和操作條件為不攪拌。從極差來看，極差最大的為因子C，說明硫酸濃度C是重要因子。而其它的次要因子均已滿足節(jié)約能耗，縮短反應(yīng)時(shí)間和操作方便，可以確定實(shí)驗(yàn)條件為A1B1C2D2。

第六十頁，共六十七頁，2022年，8月28日解法二：考慮因子間交互作用時(shí)的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

考慮反應(yīng)溫度與反應(yīng)時(shí)間的交互作用，甚至反應(yīng)溫度和硫酸濃度之間、反應(yīng)時(shí)間和硫酸濃度之間也可能具有交互作用，正交試驗(yàn)該如何設(shè)計(jì)呢？是否會(huì)得到相同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果呢？實(shí)驗(yàn)結(jié)果如何分析呢？第六十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日選擇正交表及其交互作用列表進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)

依據(jù)試驗(yàn)的因子與水平選擇L8（27）正交表及其交互作用列表進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)。參見表2-5和表2-6。將有交互作用的因子先填入表2-5的第1列和第2列中，由表2-6可知第1列和第2列的交互作用列在第3列。將不考察交互作用的因子C和D填在第4至第7的任意兩列。若考察A與C和B與C間的交互作用，則由交互作用列表2-6可知交互作用列分別在第5列和第6列。表頭設(shè)計(jì)如表2-9。

表2-9表頭設(shè)計(jì)

因子ABA×BCA×CB×CD列號(hào)1234567第六十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

將表2-9的表頭設(shè)計(jì)與L8（27）正交表2-5結(jié)合可得表2-10。表2-10正交設(shè)計(jì)表及結(jié)果列號(hào)試驗(yàn)號(hào)ABA×BCA×CB×CD收率yi[%]11111111652111222274312211227141222211735212121270621221217372211