Ch1n階行列式課件

1線性代數(shù)與空間解析幾何國家精品課2

學時:64+32學時

成績:100

分

平時:30分，期末:70分.《線性代數(shù)與解析幾何》序言3

線性代數(shù)的應用:有很多實際問題,都可以轉(zhuǎn)成線性代數(shù)的方法去解決.在工程學、計算機科學、物理學、數(shù)學、生物學、密碼學、經(jīng)濟學和統(tǒng)計學中都有很多應用.

線性代數(shù)的重要性：線性代數(shù)與微積分是大學數(shù)學基礎課.無論這樣評價其重要性都不為過。而學好這些數(shù)學基礎課程，將受益終生.5二、課程特點

內(nèi)容抽象概念多，符號多計算原理簡單但計算量大證明簡潔但技巧性強應用廣泛6掌握三基——基本概念

(定義、符號)

基本理論(定理、公式)

基本方法(計算、證明)提前預習——體會思路多動手，勤思考——深入體會思想方法培養(yǎng)——自學能力，獨立分析問題能力

和獨立解決問題的能力三、學習方法7《線性代數(shù)與空間解析幾何》第一章

n階行列式哈工大數(shù)學系代數(shù)與幾何教研室

王寶玲2007.99設二元線性方程組為1.1.1

二階和三階行列式其中

行列式是一種算式,是根據(jù)線性方程組求解的需要引進的.也是一個基本的數(shù)學工具,有很多工程技術和科學研究問題的解決都離不開行列式.1.1

n階行列式10對方程組用加減消元法求出解:

此解不易記憶，因此有必要引進新的符號“行列式”來表示解．如果定義二階行列式如下(對角線法則）：+11

當系數(shù)行列式D

0時,則方程組有唯一解,其解可表示為:13如果定義三階行列式如下(對角線法則）：那么對三元一次方程組在系數(shù)行列式D0

時,方程組有唯一解,其解可表示為:14其中例215問題1：怎樣定義n階行列式?定義由1,2,…,n

組成的有序數(shù)組稱

為一個n階(全)排列,一般記為:例如自然數(shù)1,2,3

的排列共有六種.

例如12…n

是一個n階排列,叫自然排列.1.1.2全排列的逆序數(shù)、對換階排列共有

種n17例3因為所以23541

是一個奇排列.例418

對換:在一個排列中互換兩個數(shù)位置的變動(其它數(shù)不動).對換改變排列的奇偶性.需要進行2s+1

次相鄰對換.證(1)相鄰對換(2)不相鄰對換定理1.1所以對換改變排列的奇偶性.19奇排列s個偶排列t個(1,2)對換(1,2)對換證全部n(2)階排列中奇偶排列各占一半.推論設個階排列中有s(t)個奇(偶)排列n21定義記一階行列式此行列式可簡記或n階行列式定義:22由個元素組成;為n!項代數(shù)和;

每項為取自不同行列的n個元素之積;

行按自然順序取時,每項符號由列標排列的奇偶性決定.歸納如下：注用定義只能計算一些簡單的行列式.23證明對角形行列式,上(下)三角形行列式都等于其主對角元素的乘積,即例525其中*表示此處元素可以是任意的數(shù).例626

這個行列式的值一般并不等于當n=4,5

時:當n=6,7

時:問題2:

如何決定下面一般項的符號?注意29(換法)換行(列)換號,即性質(zhì)230兩行(列)同值為零,即推論31(倍法)把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以數(shù)k,等于用數(shù)k乘以這個行列式,即性質(zhì)332如果行列式有兩行(列)成比例，則該行列式為零．推論1例如如果行列式某一行(列)有公因子k時,則該公因子k可以提到行列式符號的外面．推論233(分拆)如果行列式某行(列)的所有元素都是兩數(shù)之和，則該行列式為兩個行列式之和,即性質(zhì)43435例如36(消法)將行列式的某一行(列)的各元素乘以常數(shù)加到另一行(列)的對應元素上去,則行列式的值不變,即性質(zhì)537總結(jié)行列式性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2推論性質(zhì)3推論

性質(zhì)4

性質(zhì)5換行(列)變號.兩行(列)同，值為零.某行(列)乘數(shù)k=kD.兩行(列)成比例,值為零.D可按某行(列)分拆成兩行列式之和.D某行(列)乘數(shù)

k

加至另行(列),行列式值不變.(轉(zhuǎn)置)(換法)(倍法)(消法)38計算例7解

通過行變換將D化為上三角行列式3940設有四階行列式:則展開式中x4的系數(shù)是().(A)2;(B)2;(C)1;(D)1.解含x4的項只有一項例8(1)(4321)

a14a23a32a41=2x441已知計算例942解由性質(zhì)44344

學習大學數(shù)學，要了解大學數(shù)學與中學數(shù)學的差別：中學的數(shù)學是靜態(tài)的，并且只學計算的方法，內(nèi)容少而簡單；大學的數(shù)學是變量數(shù)學，以分析為主要特色，內(nèi)容多而理解起來難，老師講課進度快。所以，大家應該全方位地學習，要有快速接受知識的能力。盡快從中學過渡到大學，適應大學的學習對于培養(yǎng)科學素質(zhì)和創(chuàng)新能力，大學數(shù)學是最有用且最值得你努力的課程。45引入

下面討論將n階行列式轉(zhuǎn)化為n-1階行列式計算的問題,即1.3行列式展開定理46定義

在給定的n階行列式中,把元素所在的i行和j列的元素劃去,剩余元素記作

;而元素的代數(shù)余子式記作構成的n-1階行列式稱為元素的余子式,4748在行列式中例1049若

D

的第

i行(列)元素除

外都是零，引理則行(列)的所有元素與其對應的代數(shù)余子式的乘積之和,即定理3n階行列式等于它的任意一5051n階行列式

,則定理452證及降階法將G按j行展開有第

i行第j行由531.定義法—利用n階行列式的定義計算;2.三角形法—利用性質(zhì)化為三角形行列式來

計算；3.降階法—利用行列式的按行(列)展開性質(zhì)對行列式進行降階計算；4.加邊法(升階法);5.遞推公式法；6.歸納法.總結(jié)n行列式的計算方法54計算

n

階行列式(行和相同)例155解5657計算

n

階行列式（兩道一點）例2解58計算n+1階行列式(爪形)其中例359解60當全不為零時61證明n階(三對角)行列式例4其中62對行列式階數(shù)n用數(shù)學歸納法證明n=2

時，結(jié)論成立.證n=1

時，結(jié)論成立.63則對于n階行列式按第一行展開有設n-1,n-2時結(jié)論成立,64證明范德蒙(Vandermonde)行列式例565用數(shù)學歸納法證明證n=2

時，結(jié)論成立.假設對n-1階行列式結(jié)論成立,下證n階成立

從第

n

行開始,每一行減去前一行的x1倍,目的是把第一列除1以外的元素都化為零.然后按第一列展開,并提取各列的公因子,可以得到:

6667

或者利用遞推公式

由上述遞推結(jié)果即可得到結(jié)論.681.4克萊姆（Cramer)法則(Cramer法則)如果n元線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，(1)定理5

下面給出利用n階行列式求解方程個數(shù)與未知量個數(shù)都是n而且系數(shù)行列式不為零的線性方程組的求解公式.69即則方程組(1)只有唯一解,且其解為

70

其中是把的的第j列各元素依次換成方程組(1)右端的常數(shù)項所得到的n階行列式,即71如果n元齊次線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即推論1則此方程組只有唯一零解,即72如果n元齊次線性方程組推論2有非零解,則系數(shù)行列式等于零,即73求解線性方程組例1線性方程組的系數(shù)行列式解所以方程組有唯一解.74所以方程組的唯一解為75典型例題76練習若行列式D的某一行元素的代數(shù)余子式全是零,則這個行列式D=.2.若4階行列式D的某一行的所有元素及其余子式都相等,則D=

.3.在一個n階行列式D中,如果等于零的元素多于個,則D

=.1.77不計算行列式值，利用性質(zhì)證明證令4.78由于是的三次多項式,且79因此有注的系數(shù)為1.80計算行列式的值5．81解82計算行列式:6.83解此行列式用加邊法計算,即848586已知計算（1）7.（2）87解=–3=–2588

分析:

a相當于第2行的元素乘上的第4

行的代數(shù)余子式,根據(jù)行列式的性質(zhì),應該為0,答案為(C).設a=4A41+8A42+5A43+6A44