任意角-高一下學期數(shù)學北師大版（2019）必修第二冊

1.2任意角情境導入有公共端點的兩條射線組成的幾何圖形叫角.范圍：0°～360°初中學過角的概念是什么，角的范圍是多大?有超出0°～360°的角嗎？新知探索（1）跳水中有前空翻轉(zhuǎn)體540°，后空翻轉(zhuǎn)體720°，這些角的度數(shù)都大于360°，而且方向不相同；（1）跳水運動員身體在空中旋轉(zhuǎn)的周數(shù)如何用數(shù)學語言描述？（2）如果你的手表快了5分鐘，該如何校準？校準完成后，分針、秒針各轉(zhuǎn)了多少度？（3）工人師傅在擰緊或擰松螺絲時，扳手如何轉(zhuǎn)動？轉(zhuǎn)動的角度如何用數(shù)學語言描述？新知探索（2）通過校準手表我們發(fā)現(xiàn)時針和分針都進行了逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)也不同，分針按逆時針方向旋轉(zhuǎn)了30°，秒針按逆時針方向旋轉(zhuǎn)了5圈．（3）擰緊螺絲時，需要將扳手順時針方向旋轉(zhuǎn)，如順時針轉(zhuǎn)2圈，即順時針旋轉(zhuǎn)720°．擰松螺絲時，需要將扳手逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如逆時針轉(zhuǎn)2圈，即逆時針旋轉(zhuǎn)720°．新知探索

角的概念：

平面內(nèi)一條射線OA繞著端點O按照箭頭所示方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，形成角α．其中，點O是角α的頂點，射線OA是角α的始邊，射線OB是角α的終邊．OAB頂點始邊終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角；如果一條射線沒有旋轉(zhuǎn)，則稱它形成了一個零角．α我們?nèi)绾伪硎灸切┐笥?60°的角，和朝兩個相反方向旋轉(zhuǎn)的角呢？新知探索正角(逆時針)負角(順時針)零角(沒有做任何旋轉(zhuǎn))

新知探索正角α＝210°即角的始邊逆時針旋轉(zhuǎn)210°負角β＝－150°即角的始邊順時針旋轉(zhuǎn)－150°負角γ＝－660°即角的始邊順時針旋轉(zhuǎn)－660°學習了任意角的概念，同學們能畫出下列各角嗎？正角α＝210°，負角β＝－150°，負角γ＝－660°．α＝210°β＝－150°γ＝－660°新知探索辨析1：判斷正誤.(1)大于90°的角都是鈍角.（

）(2)零角的終邊與始邊重合.（

）(3)從13:00到13:10,分針轉(zhuǎn)過的角度為60°.（

）(4)一條射線繞端點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)越多，則這個角越大.（

）答案：×，√，×，×.

答案：A.新知探索xyO我們常在直角坐標系內(nèi)討論角，并使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么對一個任意角，角的終邊可能落在哪些位置？以角的終邊（除端點外）在平面直角坐標系的位置對角分類：使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么對一個任意角，角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角.如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限．第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角新知探索1.指出它們分別是第幾象限角？

405°，－200°，－510°，－50°，310°Oxy－200°Oxy405°第一象限角Oxy－510°Oxy－50°310°第二象限角第三象限角第四象限角新知探索2.銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角么？銳角一定是第一象限角．第一象限角不一定是銳角．例如：405°是第一象限角，但卻不是銳角．Oxy405°第一象限角新知探索相等的角終邊一定相同嗎？終邊相同的角一定相等嗎？如果不相等，他們的度數(shù)有什么關系呢？相等的角的終邊一定相同．終邊相同的角不一定相等．Oxy－50°310°第四象限角670°終邊相同的角的度數(shù)都相差360°嗎？

新知探索

新知探索

在直角坐標系中，角的終邊繞原點旋轉(zhuǎn)360°后回到原來的位置.因此，在直角坐標系中討論角可以很好地表現(xiàn)角的“周而復始”的變化規(guī)律.新知探索判斷下列各角是第幾象限角．（1）－60°；（2）945°；（3）－950°12′．解：（1）因為－60°角的終邊在第四象限，所以它是第四象限角；（2）因為945°＝225°＋2×360°，所以945°與225°角的終邊相同，而225°角的終邊在第三象限，所以945°角是第三象限角；（3）因為－950°12′＝129°48′＋（－3）×360°，所以－950°12′與129°48′角的終邊相同，而129°48′角的終邊在第二象限，所以－950°12′角是第二象限角．新知探索寫出終邊在平面直角坐標系y軸上的角的集合．Oxy90°270°

y軸分為正半軸和負半軸兩部分新知探索軸線角的集合：角終邊的位置角的集合表示在軸的非負半軸上在軸的非正半軸上在軸的非負半軸上在軸的非正半軸上在軸上在軸上在坐標軸上新知探索

新知探索已知角α為銳角，那么角α的終邊與角α＋π，α－π，π－α終邊的幾何關系是什么？xyOαα＋πxyOαα－πxyOαπ－α關于原點對稱關于y軸對稱新知探索

若角α為任意角，那么角α的終邊與角α＋π，α－π，π－α終邊的幾何關系是什么？xyOαα＋π關于原點對稱xyOαα－πxyOαπ－α關于y軸對稱新知探索已知集合A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，則下面關系正確的是(

)A．A＝B＝C

B．A?CC．A∩C＝B

D．B∪C?C解：由已知得B?C，所以B∪C＝C，故D正確．故選D.D新知探索下列各個角中與2019°終邊相同的是(

)A．－149°

B．679°

C．319°

D．219°解：因為2019°＝360°×5＋219°，所以與2019°終邊相同的角是219°.故選D.D新知探索

在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角：(1)－120°；(2)640°.解：(1)與－120°終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍．∵－120°＋360°＝240°，∴在0°到360°范圍內(nèi)，與－120°終邊相同的角是240°，它是第三象限角．(2)與640°終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍．∵640°－360°＝280°，∴在0°到360°范圍內(nèi)，與640°終邊相同的角為280°，它是第四象限角．

新知探索寫出角α的終邊落在第二、四象限角平分線上的角的集合為

．解：落在第二象限時，表示為k?360°＋135°.落在第四象限時，表示為k?360°＋180°＋135°，故可合并為{α|α＝k?180°＋135°，k∈Z}．{α|α