高考數(shù)學培優(yōu)專題13：排列組合二項式定理

高考數(shù)學培優(yōu)專題13：排列組合二項式定理一、真題特點分析：從2個紅球，3個黑球，5個白球（同色球完全相同）中任意取6個，有種不同的取法．設k個人進行互相傳球游戲，每個拿球的人等可能地把球傳給其他人中的任何一位，妙3?若初始時球彺甲手中，則第n次傳球之后，球又回到甲手中的概率為?3?從0到9這十個數(shù)中任取五個數(shù)組成一個五位數(shù)abCde（a可以等于0）,則396ObCde的概率為（)?率為（)?1□1°1A.B.C.396324315D?1210二、知識要點拓展分類加法原理(加法原理)：N=m+m+???+m.12n分步計數(shù)原理(乘法原理)：N=mxmm.12nn!3?排列數(shù)公式：Pm=n(n-1)…(n-m+1)=.(n,mUN*,且m<n)?注：規(guī)定0!=1.n(n-m)!4?排列恒等式:(1)Pm=nPm-1；(2)nPn=Pn+1-Pn；(3)Pm=Pm+mPm-1；nn-1nn+1nn+1nn(4)1+2-2!+3-3!+???+n-n!=(n+1)-1?5?組合數(shù)公式：Pmn(n—1)?…(n—m+1)n!Cm=—^==(ngN*,mgN，且m<n).nPm1x2x…xmm!?(n一m)!m組合數(shù)的兩個性質：(1)Cm=Cn-m；(2)Cm+Cm-1=Cm；注：規(guī)定C0=1.TOC\o"1-5"\h\znnnnn+1n組合恒等式nn(1)Cm=Cm-1；(2)工Cr=2n；(3)Cr+Cr+Cr+…+Cr=Cr+1；nmn-1nrr+1r+2nn+1r=0(4)C1+C3+C5+…=C0+C2+C4+…=2n-1；nnnnnn

Ci+2C2+3C3+???+nCn=n?2n-1；TOC\o"1-5"\h\znnnn(C0)2+(C1)2+(C2)2+…+(Cn)2=Cn；nnnn2n8?排列數(shù)與組合數(shù)的關系：Pm=m!?Cm.nn9.二項式定理：(a+b)n=C0an+C1an-1b+C2an-2b2++Cran-rbr++Cnbn;nnnnn二項展開式的通項公式：T=Cran-rbr(r=0,1，…，n).r+1n(A)幾個基本組合恒等式：①Ck=Cn-k；②Ck=Ck+Ck-1；③kCk=nCk-1；④nnnn-1n-1nn-1C0+C1+???+Cn=2n；nnnC0+C2+C4+???=C1+C3+C5…=2n-1FCkCq-k=Cq(氾德家厶式)°\o"CurrentDocument"nnnnnnnmm+nk=0不盡相異的m個元素的全排列：在m個元素中，有n個元素相同，又另有n個元素相12同，一直到另有n個元素相同，且n+n+???+n=m，這m個元素的全排列叫做不盡相異的r12rm個元素的全排列。不難得到，此全排列數(shù)計算公式為：X=m—n!n!???n!12r從n個元素里取m個元素的環(huán)排列：從n個不同元素中任取m(1<m<n)個元素按照圓

圈排列，這種排列叫做從n個元素里取m個元素的環(huán)排列。如果元素之間的相對位置沒有改

變，它們就是同一種排列。把一個m個元素的環(huán)在m個不同的位置拆開，即得m個不同的線

排列。由于n個不同元素中任務m個元素的排列方法Pm種，所以n個不同元素中任取m個元n素的環(huán)排列方法有亠種。特別地，n個不同元素的環(huán)排列方法有一=(n-1)!(種)。mn注：排列數(shù)Pm，有些地方也記為Am。nn—次不定方程x+x+…+x=r的非負整數(shù)解的個數(shù)等于Cr(或Cn-1)；正整數(shù)解12nn+r-1n+r-1的個數(shù)等于Cn-1(或Cr-n)。TOC\o"1-5"\h\zr-1r-1錯位排列問題：設集合I={1,2,…,n},所有元素的一種全排列t,t，…t,滿足12nt豐i(i=1,2,…力，則稱這樣的排列t,t，…t為錯位全排列。用D表示I={1,2,???n}錯位全排i12nn列總數(shù)，則D列總數(shù)，則D=nn1-1+—--+???+(-1)n1!2!3!排列、組合應用題常用的解法有：①運用兩個基本原理(加法原理、乘法原理)；②特殊元素(位置)優(yōu)先考慮；③捆綁法;④插入法；⑤排除法；⑥機會均等法；⑦轉化法。證明組合恒等式的常用方法有：①賦值法；②母函數(shù)法；③構造組合模型法。

三、典例精講例1?在(1+X)2n+X(l+X)2n-14卜Xn(1+X)n的展開式中，Xn的系數(shù)為()o(A)(2n+1)!(B)(2n+1)!(2n+2)!(2n+2)!n!(n+1)!n!n!n!n!n!(n+1)!例2.數(shù)列｛a｝共有11項，a=0,a=4，且Ia-a1=1,k=1,2?.?10o滿足這種條件的不同n111k+1k數(shù)列的個數(shù)為()A)100(B)120A)100(B)120C)140(D)160例3?對于一個四位數(shù)，其各位數(shù)字至多有兩個不相同，試求共有多少個這種四位數(shù)？TOC\o"1-5"\h\z例4.三邊均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形共有()個。(A)20(B)26(C)30(D)36例5.若多項式x2+x10=a+a(1+x)+—a(1+x)9+a(1+x)10，則a=019109例6?(1+x)+(1+x)2++(1+x)98+(1+x)99中x3的系數(shù)為O例7.通信工程中常用n元數(shù)組(a,a,aa)表示信息，其中a=0或1(i,ngN*)。設123niu=(a,a,aa),v=(b,b,bb),d(u,v)表示u和v中相對應的元素不同的個數(shù)。123n123nu=(0,0,0,0,0)問存在多少個5元數(shù)組v，使得d(u,v)=1；u=(1,1,1,1,1問存在多少個5元數(shù)組v，使得d(u,v)=3；令w=(0,0,0,???0),u=(a,a,a，…a),v=(b,b,b???b),求證：d(u,w)+d(v,w)>d(u,v)o123n123nn個0例8.8個女孩和25個男孩圍成一圈，任何兩個女孩之間至少站兩個男孩，問共有多少種不同的排列方法(只要把圈旋轉一下就重合的排法認為是相同的).例9.求證:對任意的正整數(shù)n,(1+J2)n必可表示成的形式，其中sgN*o三、真題訓練1?設有n+1個不同顏色的球，放入n個不同的盒子中，要求每個盒子至少有一個球，則不同的放法有()種。(A)(n+1)!(B)n(n+1)!(C)丄⑺+1)!(D)1n(n+1)!222?在二項式x1+丄的展開式中，若前3項的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中有理項的項數(shù)V2x4丿為()(A)2(B)3(C)4(D)5二項式(1+x)i0啲展開式中系數(shù)之比為33:68的相鄰兩項是()。(A)第29、30項(B)第33、34項(C)第55、56項(D)第81、82項4.5個不同元素a(i=123,4,5)排成一列，規(guī)定a不許排第一，a不許排第二，不同的排法共i12有()(A)64種(B)72種(C)78種(D)84種5?設A=｛a,a,a｝是由三個不同元素組成的集合，且T是A的子集族，滿足性質：空集和A屬123于T,并且T中任何兩個元的交集和并集還屬于T。問所有可能的T的個數(shù)為()。(A)29(B)33(C)43(D)596.將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使一條棱的兩端點異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法的總數(shù)為()(A)120(B)260(C)340(D)4207?在(邁-43)50的展開式中有()項為有理數(shù)。TOC\o"1-5"\h\z(A)10(B)11(C)12(D)138?在集合｛1,2,…11｝中任選兩個數(shù)作為橢圓方程乂+蘭=1中的a和b，則能組成落在矩形區(qū)a2b2域｛(x,y)11xl<11,1yl<9｝內(nèi)的橢圓個數(shù)是()(A)70(B)72(C)80(D)889.某停車場內(nèi)有序號為1,2,3,4,5的五個車位順次排成一排，現(xiàn)在A,B,C,D四輛車需要停放,若A,B兩車停放的車位必須相鄰，則停放方式種數(shù)為()。(A)120(B)48(C)24(D)12(1\010?在x2--的展開式中系數(shù)最大的項是()。Ix丿(A)第4,6項(B)第5,6,項(C)第5,7項(D)第6,7項11?對所有滿足1<n<m<5的m,n，極坐標方程p=-表示的不同雙曲線條數(shù)為1-Cncos8m(A)6(B)9(C)12(D)1512.a,b,c,d,e五人站成一排準備合影，如果a要求既不與B相鄰，也不與c相鄰，那么不同的排法有()(A)12種(B)24種(C)36種(D)72種13?設｛a｝是等差數(shù)列，從｛a,a,a，…a｝中任取3個不同的數(shù)，使這三個數(shù)仍能成等差數(shù)列，n12320則這樣不同的等差數(shù)列最多有（）。（A）90個（B）120個（C）180個（D）200個如果9名同學分別到三個不同的工廠進行社會實踐調查活動，每個工廠3人，那么不同的分配方案共有（）（A）C3C3C3種（B）3C3C3C3種（C）C3C3C3A3種（D）4種9639639633A33一個口袋中裝有大小相同的3個紅球和2個白球，從袋中每次至少取一個球，共4次取完那么不同的取球方式共有（）（A）40種（B）28種（C）16種（D）10種TOC\o"1-5"\h\z16?在（1-2x）n（ngN*）的展開式中，各項系數(shù)之和是（）。（A）1（B）2n（C）-1（D）（-l）n五、強化訓練A組1、在(1+X)2n+X(1+X)2n-1+???+xn(1+x\的展開式，xn的系數(shù)為()(2n+1)!⑷n!(n+1)!(2n+1)!⑻n!n!(2n+2)!(C)n!n!(2n+2)!(D)n!(n+1)!n112、在二項式X2+——的展開式中，若前3項的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中有理項的項數(shù)為（）V2X4丿(A)2(B)3(C)4(D)53、5個不同兀素ai（i=1,2,3,4,5）排成一列，規(guī)定a1不許排第一,a不許排第二，不同的排法共有（2)(A)64種(B)72種(C)78種(D)84種4、設A=｛a,a,a｝是由三個不同元素所組成的集合，且T是A的子集族，滿足性質：空集和A屬于T，123并且T中任何兩個元的交集和并集還屬于T。問所有可能的T的個數(shù)為（）TOC\o"1-5"\h\z（A）29（B）33（C）43（D）595、將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使一條棱的兩端點異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法的總數(shù)為（）（A）120（B）260（C）340（D）4206、求3100（在十進制中最后4位。7、10人圍圓桌而坐，如果甲、乙兩個中間相隔4個，有多少種坐法？8、通信工程中常用n元數(shù)組(a,a，…,a)表示信息，其中a=0或1CngN*12niU=(ai，行…,3)，V=(b1，b2,…,bn)，d(U，V)表示U和V中相對應的元素不同的個數(shù)。(1)u=(0,0,0,0,0)，問存在多少個5元數(shù)組V，使得d(u,v)=1；u=(1,1,1,1,1，問存在多少個5兀數(shù)組v，使得d(u,v)=3；令w=(0,0,???,0)，u=(a,a，…,a),v=(b,b，…,b)，求證：d(u,w)+d(v,w)>d(u,v)o12n12nn個09、設a,bgN,ab=22-33-55，計算:a的不同取值個數(shù)；a的所有不同取值的積與和。B組1、求證：對任意的正整數(shù)n，C+P2)必可表示成和不+Js-1的形式，其中sgN*。2、在1,2,…，2012中取一組數(shù)，使得任意兩數(shù)之和不能被其差整除，最多能取多少個數(shù)？3、世界杯預選賽中，中國、澳大利亞、卡塔爾和伊拉克被分在A組，進行主客場比賽。規(guī)定每場比賽勝者得三分，平局各得一分，敗者不得分。比賽結束后前兩名可以晉級。由于4支隊伍均為強隊，每支隊伍至少得3分。于是甲專家預測：中國隊至少得10分才能確保出線；乙專家預測：中國隊至少得11分才能確保出線。問：甲、乙專家