空間向量加減數(shù)乘運(yùn)算練習(xí)題集

課時作業(yè)(十四)[學(xué)業(yè)水平層次]一、選擇題1．關(guān)于空間中隨意三個向量a，b,2a－b，它們必定是()A．共面向量B．共線向量C．不共面向量D．既不共線也不共面向量【分析】由共面向量定理易得答案A.【答案】A→→→2．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，則必定共線的三點(diǎn)是()A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D→→→→→【分析】BD＝BC＋CD＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，BA＝－AB→→＝－a－2b，∴BD＝－2BA，→→BD與BA共線，又它們經(jīng)過同一點(diǎn)B，A、B、D三點(diǎn)共線．【答案】A→3→1→1→3．A、B、C不共線，對空間隨意一點(diǎn)O，若OP＝4OA＋8OB＋8OC，則P、A、B、C四點(diǎn)()A．不共面B．共面C．不必定共面D．沒法判斷311【分析】∵4＋8＋8＝1，∴點(diǎn)P、A、B、C四點(diǎn)共面．【答案】B(2014·萊州高二期末)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，用向→→→→量AB，AD，AA1表示向量BD1的結(jié)果為()圖3-1-9→→→AB－AD＋AA1→→AD＋AA1－AB→→AB＋AD－AA1→→AB＋AD＋AA1→→→→→→→【分析】BD1＝BA＋AA1＋A1D1＝－AB＋AA1＋AD.應(yīng)選B.【答案】B二、填空題→→5．如圖3-1-10，已知空間四邊形ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a→6b－8c，對角線AC，BD的中點(diǎn)分別為E、F，則EF＝________(用向量a，b，c表示)．圖3-1-10→→→【分析】設(shè)G為BC的中點(diǎn)，連結(jié)EG，F(xiàn)G，則EF＝EG＋GF1→1→2AB＋2CD112(a－2c))＋2(5a＋6b－8c)3a＋3b－5c.【答案】3a＋3b－5c6．(2014·哈爾濱高二檢測)已知O為空間任一點(diǎn)，A，B，C，D→→→→四點(diǎn)知足隨意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且OA＝2xBO＋3yCO＋4zDO，則2x＋3y＋4z的值為________．【分析】由題意知A，B，C，D共面的充要條件是：對空間任→→→→意一點(diǎn)O，存在實(shí)數(shù)x1，y1，z1，使得OA＝x1OB＋y1OC＋z1OD，且x1＋y1＋z1＝1，所以，2x＋3y＋4z＝－1.【答案】－1→→7．設(shè)e1，e2是空間兩個不共線的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝→e1＋3e2，CD＝2e1－e2，且A，B，D三點(diǎn)共線，則k＝________.【分析】→→→由已知可得：BD＝CD－CB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵A，B，D三點(diǎn)共線，→→→→AB與BD共線，即存在λ∈R使得AB＝λBD.2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，∵e1，e2不共線，λ＝2，∴解得k＝－8.k＝－4λ，【答案】－8三、解答題8．已知ABCD為正方形，P是ABCD所在平面外一點(diǎn)，P在平面ABCD上的射影恰巧是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中點(diǎn)．求以下各式中x、y的值．→→→→OQ＝PQ＋xPC＋yPA；→→→→PA＝xPO＋yPQ＋PD.【解】如下圖，→→→∵OQ＝PQ－PO1→→PQ－2(PA＋PC)1→1→PQ－2PA－2PC，1x＝y(tǒng)＝－2.→→(2)∵PA＋PC＝2PO，→→PA＝2PO－PC.→→又∵PC＋PD＝2PQ，→→PC＝2PQ－PD.→→→→→→→進(jìn)而有PA＝2PO－(2PQ－PD)＝2PO－2PQ＋PD.∴x＝2，y＝－2.如圖3-1-11，四邊形ABCD、四邊形ABEF都是平行四邊形，→→且不共面，M、N分別是AC、BF的中點(diǎn)，判斷CE與MN能否共線．圖3-1-11【解】∵M(jìn)、N分別是AC、BF的中點(diǎn)，又四邊形ABCD、四邊形ABEF都是平行四邊形，→→→→1→→1→MN＝MA＋AF＋FN＝2CA＋AF＋2FB.→→→→→1→→→1→1→→1又∵M(jìn)N＝MC＋CE＋EB＋BN＝－2CA＋CE－AF－2FB，∴2CA＋AF＋2→1→→→1→→→→→→→→FB＝－2CA＋CE－AF－2FB.∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)，→→→→→→CE＝2MN，∴CE∥MN，即CE與MN共線．[能力提高層次]→1．(2014·鄭州高二檢測)若P，A，B，C為空間四點(diǎn)，且有PA＝→→αPB＋βPC，則α＋β＝1是A，B，C三點(diǎn)共線的()A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件→→→→→→【分析】若α＋β＝1，則PA－PB＝β(PC－PB)，即BA＝βBC，→→明顯，A，B，C三點(diǎn)共線；若A，B，C三點(diǎn)共線，則有AB＝λBC，故→→→→→→→PB－PA＝λ(PC－PB)，整理得PA＝(1＋λ)PB－λPC，令α＝1＋λ，β＝－λ，則α＋β＝1，應(yīng)選C.【答案】C2．(2014·雅禮高二月考)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，M為→→→→→空間隨意兩點(diǎn)，假如有PM＝PB1＋7BA＋6AA1－4A1D1，那么M必()A．在平面BAD1內(nèi)B．在平面BA1D內(nèi)C．在平面BAD內(nèi)D．在平面ABC內(nèi)1111【分析】→→→→→→→→因?yàn)镻M＝PB1＋7BA＋6AA1－4A1D1＝PB1＋BA＋6BA1－→→→→→→→→→→4A1D1＝PB1＋B1A1＋6BA1－4A1D1＝PA1＋6(PA1－PB)－4(PD1－PA1)＝→→→11PA1－6PB－4PD1，于是M，B，A1，D1四點(diǎn)共面，應(yīng)選C.【答案】C3．已知兩非零向量e1、e2，且e1與e2不共線，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，則以下三個結(jié)論有可能正確的選項(xiàng)是________．①a與

e1共線；②

a

與

e2共線；③

a與

e1，e2共面．【分析】

當(dāng)λ＝0

時，a＝μe2，故

a與

e2共線，同應(yīng)當(dāng)

μ＝0時，a與e1共線，由a＝λe1＋μe2知，a與e1、e2共面．【答案】①②③如圖3-1-12所示，M，N分別是空間四邊形ABCD的棱AB，CD的中點(diǎn)．圖3-1-12→→→試判斷向量MN