層次分析法介紹

層次分析法介紹第一頁，共五十七頁，2022年，8月28日AHP第一講

層次分析法第二頁，共五十七頁，2022年，8月28日§1.1引言與引例

層次分析法（AnalyticHierarchyProcess，簡稱AHP）是美國運(yùn)籌學(xué)家T.L.Saaty教授于上世紀(jì)70年代初期提出的一種簡便、靈活而又實(shí)用的多準(zhǔn)則決策方法。第三頁，共五十七頁，2022年，8月28日人們在進(jìn)行社會的、經(jīng)濟(jì)的以及科學(xué)管理領(lǐng)域問題的系統(tǒng)分析中，面臨的常常是一個由相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜而往往缺少定量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)。在這樣的系統(tǒng)中，人們感興趣的問題之一是：就n個不同事物所共有的某一性質(zhì)而言，應(yīng)該怎樣對任一事物的所給性質(zhì)表現(xiàn)出來的程度（排序權(quán)重）賦值，使得這些數(shù)值能客觀地反映不同事物之間在該性質(zhì)上的差異？第四頁，共五十七頁，2022年，8月28日層次分析法為這類問題的決策和排序提供了一種新的、簡潔而實(shí)用的建模方法。它把復(fù)雜問題分解成組成因素，并按支配關(guān)系形成層次結(jié)構(gòu)，然后用兩兩比較的方法確定決策方案的相對重要性。第五頁，共五十七頁，2022年，8月28日層次分析法在經(jīng)濟(jì)、科技、文化、軍事、環(huán)境乃至社會發(fā)展等方面的管理決策中都有廣泛的應(yīng)用。常用來解決諸如綜合評價、選擇決策方案、估計(jì)和預(yù)測、投入量的分配等問題。

第六頁，共五十七頁，2022年，8月28日引例：綜合評價某公司招聘工作人員，擬從能力、知識和儀態(tài)三個方面考核應(yīng)聘者的綜合表現(xiàn)。為此建立了如下評價指標(biāo)的層次結(jié)構(gòu)：第七頁，共五十七頁，2022年，8月28日其中

x1=寫作水平，x2=外語程度，

x3=公關(guān)能力，x4=國內(nèi)外政治經(jīng)濟(jì)時事，

x5=計(jì)算機(jī)操作知識，x6=容貌與風(fēng)度，

x7=體形高矮與肥瘦，x8=音色。第八頁，共五十七頁，2022年，8月28日如能知道底層指標(biāo)x1,…,x8

對最高層的權(quán)系數(shù)w1,…,w8

以及各底層指標(biāo)的得分，就可以按照如下的評價公式對應(yīng)聘者進(jìn)行考核、排序。

第九頁，共五十七頁，2022年，8月28日引例：綜合決策某地要改善一條河道的過河運(yùn)輸條件，為此需要確定是否要建立橋梁或隧道以代替現(xiàn)有的輪渡。在此問題中過河方式的確定取決于過河的效益與代價（即成本）。通常我們用費(fèi)效比（即效益/代價）作為選擇方案的標(biāo)準(zhǔn)。為此分別給出了兩個層次結(jié)構(gòu)（圖1.1.2和圖）。它們分別考慮了影響過河的效益與代價的因素，這些因素可分為三類：經(jīng)濟(jì)的、社會的和環(huán)境的。第十頁，共五十七頁，2022年，8月28日第十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日第十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日決策的制定將取決于根據(jù)這兩個層次結(jié)構(gòu)確定的方案的效益權(quán)重與代價權(quán)重之比，即如能知道底層方案Di（i=1,2,3）對最高層Aj（j=1,2）的權(quán)系數(shù)wij（i=1,2,3，j=1,2），則可根據(jù)如下的決策公式Si=wi1/wi2，i=1,2,3對三個方案進(jìn)行排序、選擇。第十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日引例：預(yù)測或估計(jì)在體育比賽中預(yù)測一個代表隊(duì)的成績，有三種可能的前景：

x1=名列第一

x2=名列前八名（不包括第一）

x3=名落孫山所用的評價指標(biāo)有三個：競技實(shí)力、自信心、環(huán)境因素。為此構(gòu)建如下的層次結(jié)構(gòu)：

第十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日如能知道底層指標(biāo)x1,x2,x3對最高層的權(quán)系數(shù)w1j,w2j,w3j（j=1,2,3），將各相同前景的權(quán)系數(shù)相加，就可以按照如下的預(yù)測公式

對各前景x1,x2,x3對進(jìn)行先驗(yàn)預(yù)測。第十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日引例：投入量的分配在這種問題中，投入量給定，要把它們分配到若干部門去。如能知道各部門對投入量的需求權(quán)重，把權(quán)系數(shù)看成分配的百分比率即可。

第十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日§1.2層次分析法的基本原理和步驟

運(yùn)用層次分析法解決問題，大體可以分為四個步驟：

1.建立問題的遞階層次結(jié)構(gòu)；

2.構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣；

3.由判斷矩陣計(jì)算被比較元素相對權(quán)重；

4.計(jì)算各層次元素的組合權(quán)重。第十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日§1.2.1建立遞階層次結(jié)構(gòu)建立遞階層次結(jié)構(gòu)是層次分析法中的第一步。第十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日首先，將復(fù)雜問題分解為稱之為元素的各組成部分，把這些元素按屬性不同分成若干組，以形成不同層次。同一層次的元素作為準(zhǔn)則，對下一層次的某些元素起支配作用，同時它又受上一層次元素的支配。這種從上至下的支配關(guān)系形成了一個遞階層次。處于最上面的的層次通常只有一個元素，一般是分析問題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果。中間層次一般是準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則。最低一層包括決策的方案。層次之間元素的支配關(guān)系不一定是完全的，即可以存在這樣的元素，它并不支配下一層次的所有元素。

第十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日一個典型的層次可以用下圖表示出來：

第二十頁，共五十七頁，2022年，8月28日

其次，層次數(shù)與問題的復(fù)雜程度和所需要分析的詳盡程度有關(guān)。每一層次中的元素一般不超過9個，因一層中包含數(shù)目過多的元素會給兩兩比較判斷帶來困難。第三，一個好的層次結(jié)構(gòu)對于解決問題是極為重要的。層次結(jié)構(gòu)建立在決策者對所面臨的問題具有全面深入的認(rèn)識基礎(chǔ)上，如果在層次的劃分和確定層次之間的支配關(guān)系上舉棋不定，最好重新分析問題，弄清問題各部分相互之間的關(guān)系，以確保建立一個合理的層次結(jié)構(gòu)。第二十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日一個遞階層次結(jié)構(gòu)應(yīng)具有以下特點(diǎn)：

(1)從上到下順序地存在支配關(guān)系，并用直線段表示。除第一層外，每個元素至少受上一層一個元素支配，除最后一層外，每個元素至少支配下一層次一個元素。上下層元素的聯(lián)系比同一層次中元素的聯(lián)系要強(qiáng)得多，故認(rèn)為同一層次及不相鄰元素之間不存在支配關(guān)系。

(2)整個結(jié)構(gòu)中層次數(shù)不受限制。

(3)最高層只有一個元素，每個元素所支配的元素一般不超過9個，元素多時可進(jìn)一步分組。

(4)對某些具有子層次的結(jié)構(gòu)可引入虛元素，使之成為遞階層次結(jié)構(gòu)。第二十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日§1.2.2構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣在建立遞階層次結(jié)構(gòu)以后，上下層次之間元素的隸屬關(guān)系就被確定了。假定上一層次的元素Ck作為準(zhǔn)則，對下一層次的元素A1,…,An有支配關(guān)系，我們的目的是在準(zhǔn)則Ck之下按它們相對重要性賦予A1,…,An相應(yīng)的權(quán)重。第二十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日對于大多數(shù)社會經(jīng)濟(jì)問題，特別是對于人的判斷起重要作用的問題，直接得到這些元素的權(quán)重并不容易，往往需要通過適當(dāng)?shù)姆椒▉韺?dǎo)出它們的權(quán)重。層次分析法所用的是兩兩比較的方法。第二十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日第一，在兩兩比較的過程中，決策者要反復(fù)回答問題：針對準(zhǔn)則Ck，兩個元素Ai

和Aj

哪一個更重要一些，重要多少。需要對重要多少賦予一定的數(shù)值。這里使用1—9的比例標(biāo)度，它們的意義見表。第二十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日表1.3.1標(biāo)度的意義1表示兩個元素相比，具有同樣的重要性3表示兩個元素相比，一個元素比另一個元素稍微重要5表示兩個元素相比，一個元素比另一個元素明顯重要7表示兩個元素相比，一個元素比另一個元素強(qiáng)烈重要9表示兩個元素相比，一個元素比另一個元素極端重要2，4，6，8為上述相鄰判斷的中值第二十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日例如，準(zhǔn)則是社會經(jīng)濟(jì)效益，子準(zhǔn)則可分為經(jīng)濟(jì)、社會和環(huán)境效益。如果認(rèn)為經(jīng)濟(jì)效益比社會效益明顯重要，它們的比例標(biāo)度取5，而社會效益對于經(jīng)濟(jì)效益的比例標(biāo)度則取1/5。第二十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日

19的標(biāo)度方法是將思維判斷數(shù)量化的一種好方法。首先，在區(qū)分事物的差別時，人們總是用相同、較強(qiáng)、強(qiáng)、很強(qiáng)、極端強(qiáng)的語言。再進(jìn)一步細(xì)分，可以在相鄰的兩級中插入折衷的提法，因此對于大多數(shù)決策判斷來說，19級的標(biāo)度是適用的。其次，心理學(xué)的實(shí)驗(yàn)表明，大多數(shù)人對不同事物在相同程度屬性上差別的分辨能力在59級之間，采用19的標(biāo)度反映多數(shù)人的判斷能力。再次，當(dāng)被比較的元素其屬性處于不同的數(shù)量級時，一般需要將較高數(shù)量級的元素進(jìn)一步分解，這可保證被比較元素在所考慮的屬性上有同一個數(shù)量級或比較接近，從而適用于19的標(biāo)度。第二十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日第二，對于n個元素A1,…,An

來說，通過兩兩比較，得到兩兩比較判斷矩陣A：A=(aij)nn其中判斷矩陣具有如下性質(zhì)：（1）aij>0；（2）aij=1/aji；（3）aii=1。我們稱A為正的互反矩陣。根據(jù)性質(zhì)（2）和（3），事實(shí)上，對于n階判斷矩陣僅需對其上（下）三角元素共n(n-1)/2個給出判斷即可。第二十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日§1.2.3計(jì)算單一準(zhǔn)則下元素的相對權(quán)重這一步是要解決在準(zhǔn)則Ck

下，n個元素A1,…,An

排序權(quán)重的計(jì)算問題。對于n個元素A1,…,An，通過兩兩比較得到判斷矩陣A，解特征根問題Aw=maxw所得到的w經(jīng)歸一化后作為元素A1,…,An

在準(zhǔn)則Ck

下的排序權(quán)重，這種方法稱為計(jì)算排序向量的特征根法。第三十頁，共五十七頁，2022年，8月28日特征根方法的理論依據(jù)是如下的正矩陣的Perron定理，它保證了所得到的排序向量的正值性和唯一性：

定理設(shè)n階方陣A>0，max

為A的模最大的特征根，則有

(1)max

必為正特征根，而且它所對應(yīng)的特征向量為正向量；

(2)A的任何其它特征根

恒有||<max；

(3)max

為A的單特征根，因而它所對應(yīng)的特征向量除差一個常數(shù)因子外是唯一的。第三十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日特征根方法中的最大特征根max

和特征向量w，可用Matlab軟件直接計(jì)算。例如：計(jì)算矩陣的最大特征值及相應(yīng)的特征向量。第三十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日相應(yīng)的Matlab程序如下：A=[1,1,1,4,1,1/2;1,1,2,4,1,1/2;1,1/2,1,5,3,1/2;…1/4,1/4,1/5,1,1/3,1/3;1,1,1/3,3,1,1/3;2,2,2,3,3,1];[x,y]=eig(A);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1)y_lamda=x(:,1)y是特征值，且從大到小排列；x是特征向量矩陣，每一列為相應(yīng)特征值的一個特征向量。第三十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日輸出結(jié)果：lamda=6.3516y_lamda=-0.3520-0.4184-0.4223-0.1099-0.2730-0.6604

第三十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日§1.2.4判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)在特殊情況下，判斷矩陣A的元素具有傳遞性，即滿足等式aij

ajk=aik例如當(dāng)Ai

和Aj

相比的重要性比例標(biāo)度為3，而Aj

和Ak

相比的重要性比例標(biāo)度為2，一個傳遞性的判斷應(yīng)有Ai

和Ak

相比的重要性比例標(biāo)度為6。當(dāng)上式對矩陣A的所有元素均成立時，判斷矩陣A稱為一致性矩陣。第三十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日一般地，我們并不要求判斷具有這種傳遞性和一致性，這是由客觀事物的復(fù)雜性與人的認(rèn)識的多樣性所決定的。但在構(gòu)造兩兩判斷矩陣時，要求判斷大體上的一致是應(yīng)該的。出現(xiàn)甲比乙極端重要，乙比丙極端重要，而丙又比甲極端重要的判斷，一般是違反常識的。一個混亂的經(jīng)不起推敲的判斷矩陣有可能導(dǎo)致決策的失誤，而且當(dāng)判斷矩陣過于偏離一致性時，用上述各種方法計(jì)算的排序權(quán)重作為決策依據(jù)，其可靠程度也值得懷疑。因而必須對判斷矩陣的一致性進(jìn)行檢驗(yàn)。

第三十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日判斷矩陣一致性檢驗(yàn)的步驟如下：

(1)計(jì)算一致性指標(biāo)C.I.：

其中n為判斷矩陣的階數(shù)；

第三十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日(2)查找平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I.：平均隨機(jī)一致性指標(biāo)是多次（500次以上）重復(fù)進(jìn)行隨機(jī)判斷矩陣特征根計(jì)算之后取算術(shù)平均得到的。龔木森、許樹柏1986年得出的1—15階判斷矩陣重復(fù)計(jì)算1000次的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)如下：階數(shù)12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41階數(shù)9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59第三十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日(3)計(jì)算一致性比例C.R.：

當(dāng)C.R.<0.1時，一般認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的。否則應(yīng)對判斷矩陣作適當(dāng)?shù)男拚５谌彭?，共五十七頁?022年，8月28日§1.2.5計(jì)算各層元素的組合權(quán)重為了得到遞階層次結(jié)構(gòu)中每一層次中所有元素相對于總目標(biāo)的相對權(quán)重，需要把§1.2.3中的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕M合，并進(jìn)行總的一致性檢驗(yàn)。這一步是由上而下逐層進(jìn)行的。最終計(jì)算結(jié)果得出最低層次元素，即決策方案的優(yōu)先順序的相對權(quán)重和整個遞階層次模型的判斷一致性檢驗(yàn)。第四十頁，共五十七頁，2022年，8月28日假定遞階層次結(jié)構(gòu)共有m層，第k層有nk（k=1,2,…,m）個元素，如圖。

第四十一頁，共五十七頁，2022年，8月28日已經(jīng)計(jì)算出第k1層nk1個元素A1,A2,…,相對于總目標(biāo)的組合排序權(quán)重向量w(k1)=(w1(k1),w2(k1),…,wnk1(k1))T，以及第k層nk

個元素B1,B2,…,相對于第k

1層每個元素Aj（j=1,2,…,nk1）的單排序權(quán)重向量pi(k)=(p1j(k1),p2j(k1),…,pnkj(k1))T，i=1,2,…,nk

其中不受Aj

支配的元素權(quán)重取為0。第四十二頁，共五十七頁，2022年，8月28日作nk

nk1

階矩陣P(k)=(p1(k),p2(k),…,pnk1(k))那么第k層nk

個元素B1,B2,…,相對于總目標(biāo)的組合排序權(quán)重向量為w(k)=(w1(k),w2(k),…,wnk(k))T=P(k)w(k1)，并且一般公式為w(k)=P(k)P(k1)…P(3)w(k1)。第四十三頁，共五十七頁，2022年，8月28日對于遞階層次模型的判斷一致性檢驗(yàn)，需要類似地逐層計(jì)算。若分別得到了第k1層次的計(jì)算結(jié)果C.I.k1、R.I.k1

和C.R.k1，則第k層次的相應(yīng)指標(biāo)為第四十四頁，共五十七頁，2022年，8月28日第四十五頁，共五十七頁，2022年，8月28日§1.3范例工作選擇：經(jīng)雙方懇談，已有三個單位表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個層次結(jié)構(gòu)模型，如下圖所示：第四十六頁，共五十七頁，2022年，8月28日經(jīng)過仔細(xì)斟酌，該生對準(zhǔn)則層和方案層分別進(jìn)行了兩兩比較，所做的兩兩比較判斷矩陣為：第四十七頁，共五十七頁，2022年，8月28日第四十八頁，共五十七頁，2022年，8月28日第四十九頁，共五十七頁，2022年，8月28日第五十頁，共五十七頁，2022年，8月28日對矩陣A和Bj（j=1,…,6）分別進(jìn)行求最大特征值、一致性判斷、求權(quán)值等運(yùn)算，再經(jīng)過組合權(quán)重的計(jì)算和組合一致性的判斷，最終結(jié)果是：該生最滿意的工作為工作1。中間的具體計(jì)算結(jié)果如表1.3.1和表1.3.2所示。第五十一頁，共五十七頁，2022年，