概率第七章樣本分布

概率第七章樣本分布第一頁，共五十一頁，2022年，8月28日本章轉(zhuǎn)入課程的第二部分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計第二頁，共五十一頁，2022年，8月28日從歷史的典籍中，人們不難發(fā)現(xiàn)許多關(guān)于錢糧、戶口、地震、水災(zāi)等等的記載，說明人們很早就開始了統(tǒng)計的工作.但是當(dāng)時的統(tǒng)計，只是對有關(guān)事實的簡單記錄和整理，而沒有在一定理論的指導(dǎo)下，作出超越這些數(shù)據(jù)范圍之外的推斷.第三頁，共五十一頁，2022年，8月28日到了十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初，隨著近代數(shù)學(xué)和概率論的發(fā)展，才真正誕生了數(shù)理統(tǒng)計學(xué)這門學(xué)科.數(shù)理統(tǒng)計學(xué)第四頁，共五十一頁，2022年，8月28日學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計無須把過多時間化在計算上，可以更有效地把時間用在基本概念、方法原理的正確理解上.國內(nèi)外著名的統(tǒng)計軟件包：SAS，SPSS，STAT等，都可以讓你快速、簡便地進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和分析,常用的表格處理文件excel文件也有很多數(shù)據(jù)處理的功能.計算機(jī)的誕生與發(fā)展，為數(shù)據(jù)處理提供了強(qiáng)有力的技術(shù)支持，數(shù)理統(tǒng)計與計算機(jī)的結(jié)合是必然的發(fā)展趨勢.第五頁，共五十一頁，2022年，8月28日

數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科.它是研究怎樣以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以便對所考察的問題作出推斷和預(yù)測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議.第六頁，共五十一頁，2022年，8月28日數(shù)理統(tǒng)計不同于一般的資料統(tǒng)計，它更側(cè)重于應(yīng)用隨機(jī)現(xiàn)象本身的規(guī)律性進(jìn)行資料的收集、整理和分析.由于大量隨機(jī)現(xiàn)象必然呈現(xiàn)出它的規(guī)律性，因而從理論上講，只要對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次觀察，被研究的隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)出來.只允許我們對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行次數(shù)不多的觀察試驗，也就是說,我們獲得的只是局部觀察資料.但客觀上第七頁，共五十一頁，2022年，8月28日數(shù)理統(tǒng)計的任務(wù)就是研究怎樣有效地收集、整理、分析所獲得的有限的資料，對所研究的問題,盡可能地作出精確而可靠的結(jié)論.第八頁，共五十一頁，2022年，8月28日

由于推斷是基于抽樣數(shù)據(jù)，抽樣數(shù)據(jù)又不能包括研究對象的全部信息.因而由此獲得的結(jié)論必然包含不肯定性.在數(shù)理統(tǒng)計中，不是對所研究的對象全體(稱為總體)進(jìn)行觀察，而是抽取其中的部分(稱為樣本)進(jìn)行觀察獲得數(shù)據(jù)（抽樣），并通過這些數(shù)據(jù)對總體進(jìn)行推斷.第九頁，共五十一頁，2022年，8月28日(1)怎樣設(shè)計試驗，決定觀察的數(shù)目；(2)怎樣利用試驗觀察的結(jié)果作出推斷等.數(shù)理統(tǒng)計所要研究的問題：第十頁，共五十一頁，2022年，8月28日第一個問題是怎樣進(jìn)行抽樣，使抽得的樣本更合理,并有更好的代表性？這是抽樣方法和試驗設(shè)計問題：最簡單易行的是進(jìn)行隨機(jī)抽樣.第二個問題是怎樣從取得的樣本去推斷總體？這種推斷具有多大的可靠性？統(tǒng)計推斷(核心)問題.第十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日統(tǒng)計推斷統(tǒng)計估計統(tǒng)計檢驗參數(shù)估計非參數(shù)估計點估計區(qū)間估計參數(shù)假設(shè)檢驗非參數(shù)假設(shè)檢驗第十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日概率論是數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)，而數(shù)理統(tǒng)計是概率論的重要應(yīng)用.但它們是并列的兩個學(xué)科，并無從屬關(guān)系.可見，在數(shù)理統(tǒng)計中必然要用到概率論的理論和方法.因為隨機(jī)抽樣的結(jié)果帶有隨機(jī)性，不能不把它當(dāng)作隨機(jī)現(xiàn)象來處理.由此也可以說，第十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日統(tǒng)計方法具有“部分推斷整體”的特征.因為我們是從一小部分樣本觀察值去推斷該全體對象（總體）情況，即由部分推斷全體.這里使用的推理方法是“歸納推理”：它在作出結(jié)論時，是根據(jù)所觀察到的大量個別情況，“歸納”起來所得。第十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日推斷統(tǒng)計學(xué)——對已取得的觀測值進(jìn)行整理、分析，作出推斷、決策，從而找出所研究的對象的規(guī)律性．?dāng)?shù)參估計(第六章)假設(shè)檢驗(第七章)回歸分析(第八章)方差分析(第八章)推斷統(tǒng)計學(xué)第十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日

——

組成總體的每一個元素即總體的每個數(shù)量指標(biāo)，可以看作隨機(jī)變量

X的某個取值。

研究對象全體元素組成的集合所研究的對象的某個(或某些)數(shù)量指標(biāo)的全體，X

的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征．一.總體和樣本總體——個體例如：一批燈泡，全體燈泡的使用壽命就是總體，每個燈泡的使用壽命是個體.它是一個隨機(jī)變量(或多維隨機(jī)變量)．記為X．第十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日樣本

——從總體中抽取的部分個體．稱為總體

X的一個容量為n

的樣本觀測值，或稱樣本的一個實現(xiàn)．用表示樣本，

n稱為樣本容量．樣本空間

——樣本所有可能取值的集合．

第十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日

在進(jìn)行抽樣時，樣本的選取是隨機(jī)的，即總體中每個實際中，如總體樣數(shù)很大，而抽取的樣本容量相對小，簡單隨機(jī)樣本：進(jìn)行重復(fù)抽樣所得的隨機(jī)樣本.個體都有同等機(jī)會被選入樣本。抽樣通常有兩種方式：一種是不重復(fù)抽樣，另一種是重復(fù)抽樣。如果總體單位數(shù)是無限的，抽取有限個不影響總體的分布（此時重復(fù)抽取與不重復(fù)抽取沒有多大區(qū)別）。即可認(rèn)為總體為無限的..(現(xiàn)在我們只研究簡單隨機(jī)樣本)第十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日簡單隨機(jī)樣本具有以下兩個性質(zhì)：（2）代表性：即

中的每一個都與（1）獨立性：即中，各個隨機(jī)變量的取值互不影響，這時，我們稱是相互獨立的隨機(jī)變量．總體

有相同的概率分布．

相同分布的隨機(jī)變量離散型的具有相同的概率分布律連續(xù)型的具有相同的概率密度，所以期望與方差全相同第十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日樣本容量為n的樣本是n個相互獨立且與總體有相同分布記為

的隨機(jī)變量（n為樣本容量）,是n元隨機(jī)變量的一個樣本觀測值，

記為

構(gòu)成的一個n元隨機(jī)變量,一個容量為n的樣本---------（1）指一個n元隨機(jī)變量。從這個角度來說，（2）指某一次抽樣的具體數(shù)值。從這個角度來說，第二十頁，共五十一頁，2022年，8月28日統(tǒng)計量定義：為統(tǒng)計量，其中不含未知參數(shù)都是統(tǒng)計量

3．統(tǒng)計量的函數(shù)樣本

統(tǒng)計量一般是樣本的連續(xù)函數(shù)，由于樣本是隨機(jī)變量，因而它的函數(shù)也是隨機(jī)變量。如：第二十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日二．樣本分布函數(shù)在實際統(tǒng)計工作中，數(shù)據(jù)的處理形式為表和圖。統(tǒng)計表有簡單表和分組表；統(tǒng)計圖有頻數(shù)（率）圖，頻率直方圖和累計頻率直方圖。1.分組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計表和頻數(shù)直方圖簡單表就是依出現(xiàn)的先后次序或按其數(shù)值大小列成表格，一般用處不大。如果數(shù)據(jù)較多，可分成若干組，按各組數(shù)值大小列成表格或制圖例1.觀察新生女嬰兒的體重(它是一個連續(xù)型隨機(jī)變量)取170號按順序測得體重如表7-1.第二十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日此表是體重按出生順序排序.單位為克(g)第二十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表分組時一般采取等區(qū)間分組,區(qū)間長度稱為組距.制作分組數(shù)據(jù)表的步驟:(1)從數(shù)據(jù)找出最大值M與最小值L,并求出它們的差.這里：L=1800,M=4280,M-L=2480（2）決定分組的界限。一般采用包含區(qū)域（L,M)的稍寬區(qū)域(a,b)為分組的界限。這里?。篴=1700,b=4300,[L,M][a,b](3)決定組距(用D表示)和組數(shù)(用k表示),它們之間的關(guān)系為D=(b-a)/k，取組數(shù)時常常按照一定的經(jīng)驗法則,一般來說,決定組數(shù)應(yīng)使每組至少有個4、5個數(shù)據(jù)，當(dāng)數(shù)據(jù)很多時，只要可以反映分布的趨勢，也可以每組很多數(shù)據(jù)。這里：取k=13,D

=(b-a)/k=(4300-1700)/13=200第二十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日其中落到各組的數(shù)據(jù)個數(shù)稱為組頻數(shù)。第二十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日例2將例1中前20個新生嬰兒體重按大小順序列成一簡單統(tǒng)計表，如下表所示。25832組頻數(shù)37503450315028502550組中值3600-39003300-36003000-33002700-30002400-2700組限54321分組編號若進(jìn)一步把20個數(shù)據(jù)分成5組（每組不包括上限）。試給出分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表。解：這里取：a=2400,b=3900要分5個組，組距=(b-a)/5=(3900-2400)/5=300第二十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日畫頻率分布直方圖的步驟:1.求b-a3.將數(shù)據(jù)分組5.畫頻率分布直方圖4.列頻率分布表圖中小長方體的面積等于對應(yīng)的頻率各小長方體的面積之和等于1２．頻率直方圖和累計頻率直方圖組頻率：是指組頻數(shù)與樣本容量的比值。累積頻率：相應(yīng)一些組頻率累加起來的和。2.決定組距與組數(shù)第二十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日25832組頻數(shù)37503450315028502550組中值3600-39003300-36003000-33002700-30002400-2700組限54321分組編號10090652510累積頻率1025401510組頻率第二十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日累積頻率直方圖25832組頻數(shù)37503450315028502550組中值3600-39003300-36003000-33002700-30002400-2700組限54321分組編號10090652510累積頻率1025401510組頻率第二十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日其上某區(qū)間上的長方形面積約等于同底的曲頂梯形面積.(只適用于連續(xù)型隨機(jī)變量)故各長方形的頂點連成的曲線可近似模擬概率密度.第三十頁，共五十一頁，2022年，8月28日經(jīng)驗分布函數(shù)根據(jù)觀察結(jié)果來確定總體分布函數(shù)是數(shù)理統(tǒng)計的重要問題之一,為此我們引進(jìn)經(jīng)驗分布函數(shù)的概念.設(shè)來自于總體X的樣本的一組觀察值,即對X進(jìn)行n次獨立重復(fù)觀察,測得一組觀察值.對任一實數(shù)x,用vn(x)表示事件{X≤x}出現(xiàn)的頻數(shù),即小于等于x的觀測值xi

的個數(shù).設(shè)函數(shù)(i=1,2,….,n)顯然是隨機(jī)變量將對總體X的一次觀察作為一次試驗,記A={X≤x},則:X的分布函數(shù)F(x)=P(X≤x)=P(A)=p.第三十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日將對總體X的一次觀察作為一次試驗,記A={X≤x},則:于是,對總體X的n次觀察相當(dāng)于n重貝努里試驗,vn(x)表示事件{X≤x}出現(xiàn)的頻數(shù),即n重貝努里試驗中事件{X≤x}發(fā)生的次數(shù),故有vn(x)~B(n,F(x))根據(jù)貝努里大數(shù)定律(定理5.2在n重貝努里試驗中，事件A的頻率是,是n次試驗中A發(fā)生的次數(shù)），依概率收斂于事件A發(fā)生的概率p，即對p=P(A)=F(x)vn(x)表示事件{X≤x}出現(xiàn)的頻數(shù)X的分布函數(shù)F(x)=P(X≤x)=P(A)=p.第三十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日這表明,當(dāng)樣本容量n充分大時,可用總體X的函數(shù)來近似表示X的分布函數(shù),所以稱為X的經(jīng)驗分布函數(shù).第三十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日設(shè)是總體

的一個樣本觀察值，按大小則的圖形就是累積頻率的曲線，它是跳躍式上升順序排列：的一條階梯曲線?！瓕θ我粚崝?shù)x,vn(x)表示事件{X≤x}出現(xiàn)的頻數(shù),則：第三十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日若觀察值不重復(fù)，則每一躍度為若有重復(fù)，則按的倍數(shù)跳躍上升。

第三十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日例.隨機(jī)地觀察總體,得到10個數(shù)據(jù)如下：3.2，2.5，-4，2.5，0，3，2，2.5，4，2將它們從小到大排列為：-4<0<2=2<2.5=2.5=2.5<3<3.2<4其樣本分布函數(shù)為：12345678910第三十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日三．樣本分布的數(shù)字特征即樣本分布的某些特征的數(shù)字，經(jīng)常用它估計總體的樣本平均數(shù)定義：對于樣本

稱

為樣本平均數(shù)對某些具體的樣本值其樣本平均數(shù)是數(shù)字特征。(1)不考慮分組時:第三十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日若樣本的觀察值已整理成分組數(shù)據(jù)（設(shè)分成組，（加權(quán)平均值）(2)考慮分組時第三十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日例：例7.2中20個新生女嬰兒的平均體重是?2．樣本方差

定義：對于樣本稱

及分別為樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差由定義有，

解:25832組頻數(shù)37503450315028502550組中值3600-39003300-36003000-33002700-30002400-2700組限54321分組編號第三十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日在具體計算樣本方差時常用此式若數(shù)據(jù)已分成k組，

和分別為第

組的組頻數(shù)和組中值或證：使用以下公式:第四十頁，共五十一頁，2022年，8月28日例2中的=?

=112736.84例:解:25832組頻數(shù)37503450315028502550組中值3600-39003300-36003000-33002700-30002400-2700組限54321分組編號第四十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日3.樣本方差和樣本平均數(shù)的簡算公式.設(shè)

為樣本的個觀察值

(1)對任意常數(shù),記為,則(2)對任意常數(shù)

及非零常數(shù)

,記,則適當(dāng)?shù)剡x取常數(shù)

使變換后的

盡量簡單(對分組數(shù)據(jù)也適用,可令第四十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日例.在例2中的分組數(shù)據(jù),計算

及解:令a=3150,c=30085038450-3-441014210-1-225832組頻數(shù)

37503450315028502550組中值54321分組編號

第四十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日由上表得

的計算比直接計算樣本平均數(shù)和方差要簡便的多則

85038450-3-441014210-1-225832組頻數(shù)

37503450315028502550組中值54321分組編號

第四十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日4.幾個常用統(tǒng)計量的分布定理7.1.設(shè)相互獨立,服從正態(tài)分布,則它們的線性函數(shù)

也服從正態(tài)分布,且

(1)推論:設(shè)是取自正態(tài)總體

的樣本,則(2)第四十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日證明:(1)因

則取

由Th7.1知

的期望

方差從而

(2)對